Serie-26

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Aufgabe 7

307. Wertungsaufgabe
"Das Modell der letzten Woche würde ich am liebsten mit GEOMAG – Teilen nachbauen“, sagte Mike, als er sich das Bild des Modells ebenfalls im Internet angeschaut hatte. „GEOMAG, das ist doch der Magnetbaukasten, oder?“ „Aber ja doch. Du hast gleichlange magnetische Stäbe. Als Ecken nimmt man Stahlkugeln. Wenn du ein Modell der Stufe 1 baust – siehe Aufgabe 306 – dann sieht man die Lücken nicht wirklich. Es sei denn, du verwendest dreieckige Panele als Seiten für die äußeren kleinen Tetraeder. Wie viele Stäbe und  Kugeln werden für die Stufe 2 benötigt? 4 blaue Punkte – kleine Herleitung nicht vergessen. 4 rote Punkte für die Anzahl von Stäben und Kugeln der Stufe n, n – beliebige natürliche  Zahl.
Bild der Stufe 1:307

Lösung:
blau:
Stufe 0: 1*6 Stäbe + 4 Kugeln.
Das Bild zeigt die Stufe 1.
Es sind 4*6 Stäbe (24) und 4*4- 6 (10) Kugeln.
Für die Stufe zwei müssen nun vier solche Tetraeder benutzt werden, wobei die 3 oberen Kugeln der "unten stehenden" Tetraeder doppelt verwendet werden, aber die drei Kugeln, wo sich die unteren Tetraeder berühren.
24 * 6 = 96 Stäbe und 4 *10 - 6 = 34 Kugeln.
rot: n - die Stufe Anzahl der Stäbe 4n * 6 das ist leicht zu sehen.
Für die Zahl der Kugeln gab es mehere Ansätze und so waren die Formeln letztlich auch unterschiedlich "kompliziert". Richtig allerdings waren die alle.
Einen interessanten Ansatz fand Rafael.
Für die Anzahl der Kugeln multiplizierte der die Anzahl der Stangen mit 2 - macht Sinn. Um nun auf die obigen (blauen) Zahlen zu kommen wurde das Produkt durch 6 dividiert und dann kamen zwei Kugeln dazu. Setzt man nun die Anzahl der Stäbe mit 4n * 6 ein, dann ergibt sich nach wenigen Schritten: Anzahl der Kugeln K = 2(4n+1).
Wer das Ganze mal größer bauen will, der sollte folgende Anzahl Kugeln und Stäbe sich besorgen.
Stufe Stäbe Kugeln
0 6 4
1 24 10
2 96 34
3 384 130
4 1536 514
5 6144 2050
6 24576 8194
7 98304 32770
8 393216 131074
9 1572864 524290
10 6291456 2097154
11 25165824 8388610
12 100663296 33554434
13 402653184 134217730
14 1610612736 536870914
15 6442450944 2147483650
16 25769803776 8589934594
17 103079215104 34359738370
18 412316860416 137438953474
19 1649267441664 549755813890
20 6597069766656 2199023255554
21 26388279066624 8796093022210
22 105553116266496 35184372088834
23 422212465065984 140737488355330


Kommentare   

+1 #1 philips trimmer for 2015-05-25 20:28
Boo!

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