Serie 35

Serie 35

Aufgabe 1

409. Wertungsaufgabe
Bernd und Mike saßen mit ihren Freunden zusammen und sprachen über ihre Ferienerlebnisse. Heinrich berichtete über das Geocaching-Camp. Er hatte viel dazu gelernt, aber am meisten beeindruckte ihn doch noch die Tour selbst, bei der die Beteiligten mal so ganz auf die moderne Technik verzichten mussten. „Fass doch noch einmal zusammen“, sagte Mike. „Wir waren zu fünft – Felicitas, Marie, Tom, Gunnar und ich (Heinrich). Das gemeinsame Ziel wurde von jedem auf einer anderen Route (Route 1, Route 2, …) erreicht. Auf jeder Route galt es einen einzeln stehenden Baum – Birke, Eiche, Erle, Tanne, Fichte – zu finden. Am Ziel stellten wir dann fest, dass jeder unterschiedlich lange zum Ziel gebraucht hatte (75, 85, 95, 100 bzw. 110 Minuten).“
Wer lief auf welcher Route an „seinem“ Baum vorbei und wie lange hat die jeweilige Tour gedauert? … 6 blaue Punkte.
1. Heinrich lief auf Route 5.
2. Route 3 wurde in 95 Minuten absolviert.
3. Marie konnte ihre Erle erst nicht finden. So brauchte sie 10 Minuten mehr als Gunnar, der nicht die Route 4 hatte.
4. Felicitas brauchte 85 Minuten und war nicht auf Route 1 unterwegs.
5. Die Route 1 führte an der Birke vorbei.
6. Tom hatte kein Problem. die Fichte zu finden. Dieser Baum gehört nicht zur Route 2.
7. Die Eiche lag an der Route, die in der kürzesten Zeit absolviert wurde.
„Gibt es noch andere Informationen zu dieser techniklosen Tour?“, fragte Bernd. „Aber ja doch“, sagte Heinrich. „Die Hinweise für die Routen
waren auf einem farbigen Zettel notiert. (rot, blau, grün, gelb und orange). Die Hinweise waren unterschiedlich lang. (10, 15, 20, 25 bzw.
30 Zeilen). Jeder von uns steckte seinen Zettel mehr oder weniger ordentlich in ein anderes Behältnis. (Rucksack, Umhängetasche,
Brustbeutel, Gürteltasche und nun ja in die Hosentasche.)“
Wie viele Zeilen umfassten die jeweiligen Routenhinweise? Welche Farben hatten die einzelnen Zettel und wie wurden sie „transportiert“? ….6 rote Punkte
1. Der Zettel für die Route 3, der nicht in einem Rucksack, aber auch nicht im Brustbeutel  mitgenommen wurde, hatte 10 Zeilen mehr als der
gelbe Zettel.
2. Der blaue Zettel wurde in die Hosentasche gesteckt.
3. Der Zettel mit den 25 Zeilen wurde im Rucksack verstaut.
4. Die Route 1 war auf einem roten Zettel beschrieben.
5. Der Zettel für Route 5 wurde in der Umhängetasche mitgenommen. Dieser Zettel hatte 10 Zeilen weniger als der orange Zettel.
6. Der 20-zeilige Zettel für die Route 4 wurde nicht im Brustbeutel mitgenommen.

Termin der Abgabe 14.11.2013. Deadline for solution is the 14th. november 2013.

409
Bernd and Mike were sitting together with their friends, speaking about their holiday experiences. Heinrich talked about the geocaching camp. He had learned a lot but most of all he was impressed by a tour that the participants had to do completely without modern devices.
“Summarize again”, Mike said.
“There were five of us – Felicitas, Marie, Tom, Gunnar and me (Heinrich). Each of us had to reach the same finishing post by different routes (route 1, route 2, … )”. On each route we had to find a solitary tree – birch, oak, alder, fir, spruce. On arriving at the finishing post we found that each of us had taken different times (75, 85, 95, 100 and 110 minutes).”
Who passed which tree and how long did their tour take? - 6 blue points
1. Heinrich took route 5.
2. Route 3 was accomplished in 95 minutes.
3. Marie couldn't at first find her Alder. That's why she needed 10 minutes longer than Gunnar who didn't take route 4.
4. Felicitas needed 85 minutes and didn't take route 1.
5. Route 1 passed the birch.
6. Tom found it easy to find the spruce. This tree wasn't part of route 2.
7. The oak was part of the route that took the least time.
“Is there any other information on this deviceless tour?”, Bernd asked.
“Indeed there is”, Heinrich said. “The hints for the routes were written on paper of different colour (red, blue, green, yellow and orange). The hints had different lengths (10, 15, 20, 25 and 30 lines). Each of us put their hints more or less tidily into a different place (backpack, satchel, neck pouch, belt-bag and yes, into the trouser pocket).”
How many lines did the hints have, on what paper were they written and how were they carried? - 6 red points.
1. The paper for route 3 which was neither carried in the backpack nor in the neck pouch had 10 lines more than the yellow one.
2. The blue paper was put into the trouser pocket.
3. The paper with the 25 lines was in the backpack.
4. Route 1 was written on a red paper.
5. The notes for route 5 were in a satchel. They were also 10 lines shorter than the ones on the orange paper.
6. The 20 lines for route 4 weren't carried in the neck-pouch.
6 red points

Lösung/solution:

Lösung von Linus, danke

Blau

Rot

Aufgabe 2

410. Wertungsaufgabe
Bernd und Maria waren mit ihren Eltern im Sommer in Liechtenstein gewesen und hatten dort die Burg, manche sagen auch Schloss, Gutenberg in der Gemeinde Balzers besucht. An der Schlosswand war die Stelle für das Wappen zu erkennen. Noch war kein Wappen zu sehen, aber die Fläche war vorbereitet. Wie das Wappen mal aussehen würde, war nicht zu erkennen. Wegen der Nähe zur Schweiz vermuteten Bernd und Maria diese Form – das „Schweizer Wappen“.

Jedes der erkennbaren Hilfsquadrate ist 0,5 m groß. Wie groß ist die Gesamtfläche des Wappens bzw. der dunkle Anteil? - 4 blaue Punkte.

Das Wappen von Chemnitz sieht so aus:

Wie groß ist der Flächeninhalt der blauen Streifen, wenn das Wappen als Ganzes so groß ist wie das aus Balzers? 5 rote Punkte (Alle Streifen sind gleich breit.)

Termin der Abgabe 21.11.2013. Deadline for solution is the 21th. november 2013.

Bernd and Maria spent their holiday in Liechtensteintogether with their parents. There they visited the Gutenberg Castle or Palace, as some would say, in the community of Balzers. At the castle's wall there was a spot reserved for the the coat of arms.There was no coat of arms yet. It wasn't clear what the coat of armswould look like, but because of the vicinity to Switzerland Bernd and Maria assumed the Swiss shape like this:

What would the area of the blue stripes be if the coat of arms had the same overall area as the one from Balzers? - 4 blue points

The Chemnitz coat of arms looks like this:

What would the area of the blue stripes be if the coat of arms had the same overall area as the one from Balzers? - 5 red points

Lösung/solution:

Aufgabe 3

411. Wertungsaufgabe

„Was ist das denn für eine eiernde Bewegung der Kugel, die du auf dein Spielfeld rollst?,“ fragte Mike. „Schau genau hin. Es ist keine Kugel, sondern eine Globoule.“ „Globoule?“ „Pass auf, zur Herstellung der Globoule fertigt man zuerst eine Holzkugel von 6 cm an. Auf dem Bild erkennst du, dass in der Kugel eine Öffnung ist.“ „Stimmt.“ „Diese Öffnung ist eine Halbkugel, die bis zur Mitte der ursprünglichen Kugel reicht. Wie groß ist das Volumen der Globoule? 5 rote Punkte. Wie groß ist das Volumen der Ausgangskugel? 2 blaue Punkte.

Termin der Abgabe 28.11.2013. Deadline for solution is the 28th. november 2013.

411

“Why does this ball you'r rolling onto yourgameboard make such a wobbly movement?”, Mike asked.
“Look close, it' isn't a ball, it's a globoule.” “Globoule?”
“Look, to make a globoule you first need a woodenball of 6cm in diameter. In the picture you can see that there is akind of indention in the sphere.” “I see.” “This is a semi-spherical section that reaches tothe centre of the wooden sphere.” What is the volume of the globoule? - 5 red points What's the volume of the wooden ball? - 2 blue points

Lösung/solution:

Sehr schöne und nachvollziehbare Lösung von Linus, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 4

412. Wertungsaufgabe
„Schau mal, ich habe in einem Buch diesen Bruchbaum entdeckt“, sagte Maria ihrem Bruder Bernd.

Die Regel für die Verzweigung ist ganz einfach. Heißt ein Bruch a/b, dann ist der neue linke Bruch a+b/b und der neue rechte Bruch a/a+b .
Auf dem Bild sind die ersten drei „Zeilen“ zu sehen. Wie heißen die Brüche in der 5. „Zeile“. 4 blaue Punkte. In dem Bild sind nur gekürzte
Brüche (werden auch als reduziert bezeichnet) zu sehen. Wie lässt sich zeigen, dass alle Brüche des so konstruierten Baumes reduzierte Brüche sind oder wenn das nicht der Fall ist, welches ist der erste nicht reduzierte Bruch, der in dem Baum vorkommt? Gibt es einen reduzierten
Bruch, der nicht bei dieser Vorschrift irgendwann mal in dem Baum vorkommt? (4+4 rote Punkte)

Termin der Abgabe 05.12.2013. Deadline for solution is the 5th. december 2013.

 412
“Look, I found this fraction tree in a book”, Maria told her brother Bernd.

The rule for the branching is really simple. Let there be a fraction a/b. Then the fraction branching off left is a+b/b and the one to the right is a/a+b.
In the picture you can see the first three “lines” of this. What fractions are in line 5? - 4 blue points.
There are only reduced fractions to be seen in the picture. Can you show that that every fraction in our tree is reduced? Alternatively give the first reducible fraction in the tree.
Is there a reduced fraction that does not at some point appear in this tree? - (4+4 red points)

Lösung/solution:
Hier die Lösung von Rafael, vielen Dank. --> als Bild <--

Aufgabe 5

413. Wertungsaufgabe
„Das ist aber ein schönes buntes Parallelogramm“, sagte Mike zu Lisa. „Na ja, einfach nur bunt, würde ich nicht sagen. Ich habe in dem Koordinatensystem für mein Parallelogramm nur Punkte genommen, die ganze Zahlen als Koordinaten aufweisen. Auch alle anderen Punkte (auf den Seiten bzw. im Immeren des Parallelogramms  haben ganze Zahlen als Koordinaten. Dann habe ich das Parallelogramm in möglichst viele Teildreiecke zerlegt, die sich nicht überschneiden und eben auch nur „ganzzahligen“ Eckpunkte haben. Ich habe in meinem Fall genau 8 Dreiecke gefunden.  Auch bei anderen Varianten der Zerlegung kam ich auf 8 Dreiecke.“ Wie viele Dreiecke kann man maximal finden, wenn die Punkte B und C um jeweils eine Einheit nach rechts verschoben werden – 4 blaue Punkte (Achtung im Inneren gibt es dann einen Punkt mehr, Zeichnung mitliefern.) Wie viele Dreiecke lassen sich für beliebig große Parallelogramme finden? Die Anzahl der Punkte auf den Seiten  und im Inneren sei bekannt. 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 12.12.2013. Deadline for solution is the 12th. december 2013.

 413

"That's a nice, colourful parallelogramm", Mike said to Lisa.
"Well, it's not simply colourful. In my coordinate system I only used points that have integers as coordinates. Also all the other points (on the sides and inside the coordinates) have ontegers as coordinates. Then I divided the coordinates into as many triangles as possible that don't overlap and that have – consequentially – only vertices with integers as coordinates. In my cas I was able to find exactly 8 triangles."
How many triangles can be found if both points B and C are moved one unit to the right? - 4 blue points (Careful: there will be on extra point iside the parallelogramm – enclose sketch)
How many triangles can be found in a general parallelogramm if the number of points along the sides and inside. - 4 red points

Lösung/solution:

Das Ergebnis für die blaue Aufgabe - es sind 12 Dreiecke.

rot: Um die Frage zu beantworten, ist es am einfachsten, die Winkel an den "Punktsorten" zu betrachten. Die vier Punkte an den Ecken des Parallelogramms liegen an Winkeln die 360° (Innenwinkelsumme Viereck), das entspricht der Winkelsumme von zwei Dreiecken. An Punkten auf den Seiten (ohne Ecken) bilden alle ankommenden einen Winkel von 180°, das entspricht je einem Dreieck. Die Punkte im Inneren werden von Dreiecken umgeben, die zusammen an jedem Punkt 360° ergeben, also zwei Dreiecke ergeben. Sei a die Anzahl auf den Seiten des Parallelogramms (ohne Ecken), i die Anzahl der Punkte im Inneneren des Parallelogramms, so ergibt sich die Gesamtzahl aller Dreiecke zu a+2i+2.

Für das Ausgangsbild: a=2, i=2 --> Anzahl 2+2*2+2 = 8
Für die blaue Aufgabe: a=4 i=3 --> Anzahl 4+2*3+2=12

Aufgabe 6

414. Wertungsaufgabe
„Hallo Mike, trinkst du Whisky?“, sagte Lisa entsetzt. „Aber nein. Bernds Vater hat mir drei Verpackungen dieser Whiskysorte zur Verfügung gestellt, weil die einen interessanten Querschnitt haben. Die Form entspricht dem schwarzen Teil in dem Bild. Die Grundlage ist ein gleichseitiges Dreieck ABC. Die Rundungen entstehen durch Kreisbögen, deren Mittelpunkte, die jeweils gegenüberliegenden Dreieckspunkte sind. Das Besondere ist nun, dass dieses Brett, welches auf den drei Verpackungen liegt hin und her gerollt werden kann, ohne, dass sich das Brett hebt oder senkt.“ „Cool“.
Wie groß sind die Flächeninhalte des gleichseitigen Dreiecks (2 blaue Punkte), des genau darum herum passenden Quadrates (1 blauer Punkt) und der schwarzen Fläche insgesamt (3 blaue Punkte), wenn die eines Seite des Dreiecks ABC 10 cm groß ist?
Die schwarze Figur, lässt sich innerhalb des Quadrates bewegen. Wie viel Prozent der Quadratfläche werden maximal von der schwarzen Fläche überstrichen? (3 rote Punkte, 5 rote Punkte gibt es extra, wenn die Formel hergeleitet wird. (Einen zusätzliche roten Punkt gibt es, wenn die Whiskysorte herausgefunden wird.)

Termin der Abgabe 19.12.2013. Deadline for solution is the 19th. december 2013.

"Mike, are you drinking whisky?", Lisa asked startled.
"No, Bernd's father only let me have these three bottle containers of this special kind of whisky because they have an interesting cross section. Their shape is basically the black part of the picture here. It's based on an equilateral triangle ABC. The curves are actually arcs of circles whose centres are the opposite vertices of the triangle. Now, the interesting thing is that this board here, that rests on the three containers can be rolled back and forth without going up or down."
"Cool."
What are the areas of the equilateral triangle (2 blue points), of the enclosing square (1 blue point) and the black area (3 blue points), if one side of the triangle is 10 cm?
The black area can be moved within the square. What percentage of the square's are would be covered at most? (3 red points, 5 extra red points for a complete derivation of the formula, another red point for naming the brand of whisky)

Lösung/solution:

Aufgabe 7

415. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, hast du schon wieder einen Zauberkreis entdeckt?“, fragte Bernd. „Irgendwie schon. Schau mal her. Ich nehme eine Strecke AB von zwei Zentimetern (allgemein a cm). Diese verlängere ich über B hinaus bis zu einem Punkt C. Die Teilstrecke BC soll 4 Zentimeter lang sein
(allgemein b cm). Im Punkt B errichte ich eine Senkrechte trage von B aus 1 cm nach unten ab und erhalte dort einen Punkt D. Nun konstruiere ich den Umkreis des Dreiecks ACD. Die zuvor konstruierte Senkrechte schneidet diesen Kreis in einem weiteren Punkt, den ich E nenne. Wenn du nachmisst, erkennst du, dass die Länge von BE (= c) etwas mit den Längen von AB und BC zu tun hat. (Summe, Differenz, Produkt oder Quotient der Streckenlängen.)“ Wie lang ist die Strecke BE mit den gegebenen Längen a = 2 cm und b = 4 cm? Was gilt zwischen a, b und c? 3 blaue Punkte. Wie lässt sich zeigen, dass die Beziehung zwischen a, b und c für alle Werte von a und b gilt? 3 rote Punkte

Termin der Abgabe 09.01.2014. Deadline for solution is the 9th. January 2014.  Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 9. Gennaio 2014.

„Ciao Mike, che hai scoperto di nuovo un cerchio magico?“ chiese Bernd. “ Mi sembra di sì. Guarda qui. Prendo un segmento AB di due centimetri (a in generale in cm). Questa la allungo al di là del punto B fino ad un punto C. Il tratto di percorso BC deve avere una lunghezza di 4 cm (b in generale in cm). Nel punto B aggiungo una verticale, riporto da B 1 cm in giù e ricevo lì un punto D. Ora costruisco il circondario del Triangolo ACD. La verticale aggiunta prima da me incontra questo cerchio in un altro punto ancora, che nomino E. Se misuri vedrai che la lunghezza BE(=c) ha a che fare con le lunghezze di AB e BC. (somma, differenza, prodotto o quoziente delle lunghezze del percorso).” Quant´è lungo il percorso BE guardando su le lunghezze note di a= 2cm e b=4cm? Cosa vale tra a,b e c? 3 punti blu. Come si può dimostrare, che la relazione tra a,b e c vale per tutte le quantità a e b? 3 punti rossi.

"Hi Mike, have you discovered another magic circle?", Bernd asked.
"In a sense, yes. Take a look. Let there be a line segment AB of two centimetres (generally: a cm). Let's extend this line segment over point B up to a point C. Let BC be 4 cm (generally: b cm). Now let's construct a perpendicular in point B. Mark a point D on this line 1cm from B. Now construct the circumcircle of triangle ACD. The perpendicular that we constructed before will intersect this circle in one more point: E. If you measure you will notice that the length of BE (=c) has something to do with the lengths of AB and BC. (sum, difference, product or quotient of the lengths.)"
What is the length of line segment BE with the given lengths a=3cm and b=4cm? What is the relation between a, b and c? - 3 blue points
Show that this relation holds for any given values of a and b. - 3 red points

Lösung/solution:
Auf dem Bild sieht man die Konstruktion:

Die gesuchte Länge ist 8 cm. Nun sollte  4+2, 4-2, 4*2 oder 4/2 die 8 ergeben, dass geht nur mit 4*2=8. Das heißt, es lässt sich diese Konstruktion als eine geometrische Variante der Multiplikation auffassen. Gilt das immer?
DE und AC sind Sehnen im Kreis, B ist deren Schnittpunkt. Es lässt sich relativ einfach zeigen, dass die Dreiecke ABD und BCE zueinander ähnlich sind. (egal wie lang groß die Dreiecke sind, oder wie "schief".) Es gilt dann{tex}\frac{AB}{BD}= \frac{BE}{BC}{/tex}. Damit also BE*BD= AB*BC. Da aber BD = 1 sein soll, gilt BE=AB * BC.

(Seite mit dem Beweis).

Aufgabe 8

416. Wertungsaufgabe

„Was machst du denn mit dem Laserpointer und dem Würfel?“, fragte Bernd. „Der Würfel hat beim Punkt A ein kleines Loch, durch das ich mit dem Laserpointer in den Würfel hineinleuchten kann. Der Würfel ist innen verspiegelt, hat aber ganz dünnen Wänden, so dass ich sehen kann wo der Licht Strahl in dem Würfel verläuft.“, sagte Mike. „Verstehe.“
Wie muss man den Laserpointer halten, so dass mit möglichst wenigen Reflexionen, aber mindestens einer, der Lichtstrahl beim Punkt C ankommt? 3 blaue Punkte.
Ist es möglich, den Mittelpunkt von  BCFG nach mindestens einer Reflexion zu erreichen und wie lang wäre der Weg des Lichtstrahles im Inneren des Würfels mindestens oder ist die Aufgabe nicht lösbar. - 6 rote Punkte.
Termin der Abgabe 16.01.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 16. Gennaio 2013. Deadline for solution is the 16th. January 2014.

„Ma che cosa stai facendo con il puntatore laser ed il cubo?”, chiese Bernd. “Il cubo nel punto A ha un buco piccolo, attraverso il quale posso illuminare con il puntatore l´interno del cubo. L´interno del cubo è specchiato, ha però delle pareti molto sottili, cosicché riesco a vedere l´andamento del raggio di luce nel cubo.”, disse Mike. “Ho capito.”
Come bisogna tenere il puntatore laser per ottenere con meno riflessioni possibili, come minimo però una riflessione, che il raggio di luce arrivi al punto C? 3 punti blu.
È possibile raggiungere il punto centrale di BCFG dopo almeno una riflessione e quanto lungo sarebbe il tratto del raggio di luce al minimo all´interno del cubo? È risolvibile l´esercizio?- 6 punti rossi.

English version:

"What are you doing with that laser pointer and the cube?", Bernd asked.
"There is a small hole in that cube at point A through which I can point the laser into the cube. The cube is made of semi-transparent mirrors so you can observe the path of the laser light from the outside", Mike explained.
"Right, I see what you mean."
How should you position the laser pointer to let the ray arrive at point C with as few reflections as possible, but at least one? - 3 blue points
Is it possible to arrive at the centre-point of BCFG after at least one reflection and how far would the light have to travel inside the cube a minimum, or is it impossible to give a solution for that. - 6 red points

Lösung/solution:

Ein Bild zu rot - erstellt mit GeoGebra - 5: --> hier <--

Hier die Lösung von Linus, danke: --> hier <--

Aufgabe 9

417. Wertungsaufgabe

„Das ist aber ein schönes Kreismuster“, sagte Maria zu Lisa. „Ja, ich bin zwar noch nicht fertig, aber du siehst ja wie gedacht ist. Je zwei Kreise sollen sich immer in genau einem Punkt berühren.“
Der größte Kreis soll einen Radius von 6 cm haben. Die zwei gleich großen Kreise werden rot ausgemalt. Wie viel Prozent der großen Kreisfläche ist dann rot? 3 blaue Punkte. Der große Kreis soll seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems (Einheitsstrecke = 1cm) haben. Berechne die Koordinaten der Mittelpunkte der vier Kreise (s. Bild), die im großen Kreis enthalten sind. 8 rote Punkte
Gibt es einen Kreis, der die beiden oberen Kreise und den größten Kreis berührt? (Berechne Lage des Mittelpunktes und den Radius bzw. führe den Nachweis, dass es einen solchen Kreis nicht gibt) + 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 23.01.2014. Deadline for solution is the 23th. January 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23. Gennaio 2014.

Che bello questo cerchio”, disse Maria a Lisa. “Si, anche se non ho ancora finito puoi vedere quello che cerco di fare. Due cerchi devono incontrarsi sempre nello stesso punto.” Il cerchio piu´ grande deve avere un raggio di 6 cm. I due cerchi che sono grandi uguali vengono dipinti di rosso. Quant´`e grande la percentuale della grande superficie del cerchio dipinta di rosso? 3 punti blu.

Il cerchio grande deve avere un punto mediano nell´origine delle coordinate di un sistema cartesiano (unita` = 1 cm). Come si possono calcolare i coordinati degli altri punti mediani dei cerchi? 8 punti rossi.

Esiste un cerchio che tocca entrambi cerchi superiori ed il cerchio piu` grande? (Posizione del punto mediano ed il raggio rispettivamente la prova che un tale cerchio non esiste) + 4 punti rossi.

Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 23. Gennaio 2014.

"That's a nice arrangement of circles", Marie said to Lisa.
"Yes, it is, even though I'm not finished yet. But you see what I'm getting at. Any two circles should meet in exactly one point."
Let the biggest circle have a radius of 6 cm. Let's also colour in the two circles of equal size red. What percentage of the big circle is red? - 3 blue points
Let the centre of the big circle be the centre of a Cartesian coordinate system (1cm units). How can you calculate the coordinates of the centres of the four other circles ? - 8 red points
Is there a circle that is tangent to the upper two circles and the big one? (Calculate the coordinates of its centre and give its radius. Alternatively, show that there does not exist such a circle) + 4 red points

Lösung/solution:

Hier ein Bild zur Lösung:

vergrößertes Bild
blau: Die beiden Kreise haben jeweils einen Radius von 3 cm, der ganz große Kreis hat einen Radius von 6 cm. Gemäß der Flächeninhaltsformel für den Kreis, ergibt sich, dass die beiden kleineren Kreise zusammen genau 50 % der Fläche des großen Kreises ausmachen.

Für rot lassen sich für alle Kreise der Ausgangsfigur (zum Teil  mit Hilfe  des Satz des Pythagoras) die Mittelpunkte auf elementare Art finden (und aus dem Bild auch ablesen).

Der zusätzliche Kreis muss existieren. siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Descartes dort ist auch die Lösung letzlich beschrieben. Der Radius des "neuen" Kreises ist ein 1/7 cm, damit überlasse ich das Bestimmen der Koordinaten des Mittelpunktes dem geneigten Leser.

Aufgabe 10

418. Wertungsaufgabe

„Was hast du da?“, fragte Bernd. „Das sind Aufzeichnungen eines Schattenstabes, die irgendwo auf der Erde gemacht wurden. Ich bin gerade dabei so eine Aufgabe für unseren Garten umzusetzen,“ sagte Maria. „Lass mal sehen.“ „Ein senkrecht stehender 4 m langer Stab wirft am Winteranfang einen 6 m langen Schatten und am Sommerfang ist der Schatten 3 m lang, das bezieht sich auf die Ortszeit am Mittag.“
Wie lang ist der Schatten zu Herbstbeginn? 3 blaue Punkte (Achtung, es sind nicht 4,5 m.) Auf welchem Breitengrad steht der Schattenstab? 3 rote Punkte (Ergebnis von blau verwenden.)

Termin der Abgabe 30.01.2014. Deadline for solution is the 30th. January 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 30. Gennaio 2014.

418 “ Che cosa hai?”, chiese Bernd. “Sono appunti d´un gnomone, che sono stati raccolti in punti diversi della terra. Sono in procinto a realizzare un esercizio simile per il nostro giardino.” disse Maria. “Fammi vedere.” “Un gnomone lungo 4 m in posizione verticale a inizio inverno getta un´ombra di 3 m e in estate un´ombra di 9 m; questo avviene in relazione all´ora locale a mezziogiorno.”
Quanto `e lunga l´ombra nei primi d´autunno? 3 punti blu (Attenzione, non sono 6 m.) Su quale grado di latitudine `e posizionato il gnomone? 3 punti rossi.

418 "What is this you've got there?", Bernd asked.
"This is the data of a pole somewhere on this planet casting a shadow. I'd like to do something like this in our back garden," Maria said.
"Let me see."
"At the beginning of winter an upright pole with a length of 4 metres casts a shadow that is 6 metres long. At the beginning of summer the shadow is 3 metres long, each time measured at noon local time."
How long is the shadow at the beginning of autumn? - 3 blue points (Beware, it's not 4.5 m.)
At which latitude would you find this pole? - 3 red points

Lösung/solution:

Aufgabe 11

419. Wertungsaufgabe

„Schau mal was Opa mit gebracht hat – ein altes Sammelbilderalbum,“ sagte Bernd zu seiner Schwester. „Naja, das ist nicht so meins, aber wenn er die Suppen alle gekocht hat, in denen die Bilder drin waren, also dann waren das bestimmt sehr viele“, meinte Maria. „Das müssten dann ja viel mehr Tütensuppen gewesen sein als Bilder, denn man sieht ja von außen nicht was drin ist.“ „Da hat er bestimmt auch getauscht.“
Gesucht ist die Anzahl der Käufe, die man machen muss, damit man die „Chance“ - Wahrscheinlichkeit - alle Bilder zu bekommen größer als 50 % wird. 4 blaue Punkte dafür die Aufgabe zu lösen, wenn es 5 Bilder sind. 5 rote Punkte für die Aufgabe, wenn es 100 Bilder sind.

Termin der Abgabe 06.02.2014. Deadline for solution is the 6th. February 2014.  Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 6. Febbraio 2014.

419
„Guarda cosa ha portato il nonno- un vecchio album di fotografie,“ disse Bernd a sua sorella. „Insomma, non fa proprio per me, pero` se ha cucinato tutte le zuppe nelle quali si trovavano le fotografie devono essere state decisamente tante“, disse Maria. „Sono state usate allora più bustine per la zuppa che fotografie, visto che da fuori non si vede cosa c´e` dentro.“ „Allora ha sicuramente cambiato qualche cosa.“
Viene cercata la quantità di acquisti che si devono fare cosicché la probabilità di ricevere tutte le fotografie sia più del 50%. 4 punti blu se sono 5 fotografie. 5 punti rossi se sono 100 fotografie.

 “Look what granddad brought – an old collector's album”, Bernd said to his sister.
“Well, that's not really my cup of tea, but if he really made all those powdered soups to collect the cards of the packets then he made a lot”, Maria said.
“It would have been even more packet soups than cards, because you don't see what's inside the packets.”
“He will have traded cards for sure.”
Find the number of purchases necessary to raise the chance (probability) above 50%. - 4 blue points for a solution of a 5-card scenario.
5 red points for a solution of a 100-card scenario.

Lösung/solution:

Für die Variante, wie viele Tüten muss man im Schnitt kaufen, damit man die Serie zusammen bekommt, sei auf die folgende Seite verwiesen:

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/wm-album-so-teuer-kommt-der-sammelbildwahn-a-770781.html

Die Anwendung der vorgeschlagenen Methode ergibt bei 5 Tüten, dass es rund 12 (11,42) Tüten sein müssten, für rot sind es immerhin 518,.. also rund 519 Tüten. Anmerkung zu blau. Etwas 40 Schüler nutzen für die blaue Aufgabe die Monte-Carlo-Methode, pro Schüler waren das 4 Simulationen, der Durchschnitt der 160 "Versuche" ergab 11,5. Die Eergenisse selber lagen zwischen 5 und 23.

Die exakte Lösung, zum Beispiel von Rafael (danke) durchgeführt, führen für blau auf 10 und für rot auf 497.

Aufgabe 12

420. Wertungsaufgabe

„Was hast du denn fotografiert?“, fragte Bernd. „Das solltest du kennen, denn das ist auf dem Schulhof. Es wurde dort noch Erde aufgefüllt und dann kamen Bäume und Sitzgelegenheiten auf diese Fläche“, entgegnete Maria. (Das neue Bild wird der Lösung veröffentlicht…). Hier noch eine technische Zeichnung.

AB = 6,92 m. AE=0,4 m- Seite eines kleinen Quadrates – davon gibt es vier in jeder Ecke, AF=1,52 m und FG ist 0,57 m lang. Wie viel Quadratmeter Erdreich sind es nach der Auffüllung gewesen? 5 blaue Punkte (Die parallelen Seiten des querenden Trapezes sind parallel zu AC)

Wie lang hätte AF gewählt werden müssen, wenn die untere Erdfläche genau doppelt so groß sein sollte wie die obere? 5 rote Punkte.

Termin der Abgabe 13.02.2014. Deadline for solution is the 13th. February 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13. Febbraio 2014.

Che cosa hai fotografato?”, chiese Bernd. “Lo dovresti conoscere visto che si trova sul cortile della scuola. Li` e` stata aggiunta della terra e poi su quell´area sono stati piantati dei alberi e delle panchine”, rispose Maria. Qui` un disegno tecnico.

AB=6,92m, AE=0,4m- il lato di un piccolo quadrato- di questi ce ne sono quattro in ogni angolo, AF=1,52 m e FG e` lungo 0,57 m. Quanti metri quadrati di terra erano dopo l´interramento? 5 punti blu (i lati paralleli del trapezio trasversale sono paralleli a AC).

Quanto lungo si sarebbe dovuto scegliere AF se il terreno inferiore sarebbe dovuto essere grande il doppio di quello superiore? 5 punti rossi.

420
“What on earth did you photograph here?”, Bernd asked.
“It should be familiar because it's on our school yard. They only filled in soil and planted some trees and then put up benches”, Maria replied. (The new photo will be published with the solution … )
Here is a detailed drawing.
AB = 6.92m. AE = 0.4m is the side of a small square – four of which are in each corner. AF = 1.52m and FG is 0.57m.
How many square metres of soil are to see after filling in? - 5 blue points (The parallel sides of the crossing trapezoid are parallel to AC.)
How long would AF have to be in order to let the lower area of soil be exactly twice as big as the upper? - 5 red points

Lösung/solution:

Die Lösung für blau von Linus, danke --> als pdf <--
Aktuelles Bild leicht verschneit: