Serie 44

Aufgabe 5

521. Wertungsaufgabe

„Das sind aber viele Dreiecke, die du auf dein Blatt gezeichnet hast. Warum machst du das?“, fragte Bernd seine Schwester. „Ich möchte ein spitzwinkliges Dreieck zeichnen, das schon auf den ersten Blick weder gleichschenklig noch rechtwinklig aussieht. Zeichne ich ein Dreieck mit einem Winkel von 80°, so wirkt es auf den ersten Blick eben doch rechtwinklig.“ Verstehe.“
Um Winkel gleich als unterschiedlich zu erkennen, müssen diese sich um mindestens 15° unterscheiden. Maria sucht also ein spitzwinkliges Dreieck, dessen Winkel alle auf den ersten Blick unterschiedlich sind – ein allgemeines Dreieck also. Wie groß sind die Winkel dieses Dreiecks oder dieser allgemeinen Dreiecke? 3 blaue Punkte.
Die längste Seite eines solchen allgemeinen Dreiecks soll 11,0 cm groß sein. Umfang und Flächeninhalt ist zu berechnen. 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 09.02.2017. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 09.02.2017. Deadline for solution is the 9th. February 2017. Date limite pour la solution 09.02.2017. Resoluciones hasta el 09.02.2017

fr

«T’as dessiné beaucoup de triangles sur la feuille. Pourquoi fais-tu ça? "demanda Bernd à sa sœur. «Je veux dessiner un triangle aigu qui ne ressemble, ni à un triangle isocèle, ni à un triangle rectangle au premier coup d'œil. Quand je dessine un triangle avec un angle de 80 °, cela ressemble au premier vu à un triangle rectangle quand même. », "Je vois."
Afin de reconnaître des angles en tant que différents, ils doivent se différer d'au moins 15 °. Donc, Maria cherche un triangle aigu dont tous les angles sont, au premier vu, différents - un triangle scalène donc. Quelles sont les angles de ce triangle ou ces triangles en général ? 3 points bleus.
Le côté le plus long d'un tel triangle général devrait être de 11,0 cm de longueur. Pour 6 points rouges, il faut calculer le périmètre et la surface.

sp

„En tu cuaderno veo que dibujaste muchos triángulos! Por qué los dibujaste?” Le preguntó Bernd a su hermana. “Quiero dibujar un triángulo acutángulo lo cuál no parece rectángulo ni isósceles a primera vista. Pero si dibujo un triángluo con un ángulo de 80° parece a la primera vista un triángulo rectángulo.” “Entiendo.” le dijo Bernd.
Para que los ángulos parezcan diferentes a primera vista deberían de destinguirse por lo menos de 15°. Maria quiere construir un triángulo acutángulo cuyo ángulos sean diferentes a primera vista. Cuál seria el tamaño de los angulos que quiere dibujar Maria? 3 puntos azules
Un lado del triángulo escaleno debe medir unos 11 cm. Calcula la extención y el área del triángulo. 6 puntos rojos.

en

“That’s a lot of triangles you’ve drawn on your paper. Why are you doing this?”, Bernd asked his sister.
“I’ like to draw an acute-angled triangle that neither looks isosceles nor right-angled at first glance. When I draw one with an angle of 80° it looks right-angled somehow.”
“Ok, understood.”
In order to discern angles as being different they have to differ from each other at least 15°.
That means Maria is looking for an acute angled triangle whose angles are all different at first sight – a scalene triangle in other words. What are the angles of this triangle or these scalene triangles. - 3 blue points.
Let the longest side of one such triangle be 11.0 cm. Calculate perimeter and area. – 6 red points.

it

„Sono tanti triangoli che hai disegnato sul tuo foglio. Perché lo fai?“, chiese Bernd a sua sorella. „Voglio disegnare un triangolo acuto che a prima vista sembra ne isoscele ne rettangolare. Se disegno un triangolo con un angolo a 80°, sembra a prima vista rettangolare.“ „Capisco.“
Per riconoscere subito che gli angoli sono diversi, gli angoli si devono distinguere di almeno 15°. Quindi Maria è alla ricerca di un triangolo acuto, i cui angoli si distinguono a prima vista – un triangolo generico quindi. Quanto sono grandi gli angoli di questo triangolo oppure di questi triangoli generici? 3 punti blu.
Il lato più lungo di un tale triangolo generico deve essere grande 11,0 cm. Si devono calcolare circonferenza e superficie. 6 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Hier die Musterlösung von Reinhold M. aus Leipzig, danke.

O.B.d.A. gilt dann
 Alpha = 75° - x,
 Beta = Alpha - 15° - y
      = 60° - x - y,
 Gamma = Beta - 15° - z
       = 45° - x - y - z
mit x, y, z >= 0° und (Dreieckswinkelsumme)
 180° = Alpha + Beta + Gamma
     = 180° - 3x - 2y - z,
also x = y = z = 0° und
 Alpha = 75°,
 Beta = 60°,
 Gamma = 45°.

"rot":

Für die Nutzung des Sinussatzes benötige ich die entsprechenden Sinuswerte. Ich weiß bereits (z.B. aus alten "Wertungsaufgaben")
 sin 30° = 1/2,
 sin 45° = cos 45° = 1/2 Wurzel(2),
 sin 60° = cos 30° = 1/2 Wurzel(3).
Mittels des Additionstheorems des Sinus bekomme ich damit leicht den fehlenden Sinuswert:
 sin 75° = sin(30°+45°)
         = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°
         = 1/4 Wurzel(2) + 1/4 Wurzel(2) Wurzel(3)
         = 1/4 Wurzel(2) (Wurzel(3) + 1).
Dem größten Winkel Alpha (mit den obigen Bezeichnungen) liegt die längste Seite gegenüber, mit den üblichen Benennungen also
 a = 11,0 cm.
Damit folgt nun aus dem Sinussatz (in cm)
 b = sin(Beta) * a/sin(Alpha)
   = 1/2 Wurzel(3) * 11 / (1/4 Wurzel(2) (Wurzel(3) + 1))
   = 11 Wurzel(2) Wurzel(3) (Wurzel(3) - 1) / (3 - 1) (Zähler und Nenner mit (2 Wurzel(2) (Wurzel(3) - 1)) multipliziert)
   = 11/2 Wurzel(2) (3 - Wurzel(3))
sowie analog
 c = sin(Gamma) * a/sin(Alpha)
   = 1/2 Wurzel(2) * 11 / (1/4 Wurzel(2) (Wurzel(3) + 1))
   = 11 (Wurzel(3) - 1).
Der Umfang U ist also (in cm)
 U = a - b + c
   = 11/2 (3 Wurzel(2) + 2 Wurzel(3) - Wurzel(2) Wurzel(3))
oder etwa 28,915 cm.
Die Dreieckshöhe h auf c hat (nach Sinusdefinition) die Länge (in cm)
 h = sin(Beta) * a
   = 11/2 Wurzel(3).
Damit folgt für den Flächeninhalt A (in cm^2)
 A = 1/2 h c
   = 1/2 * 11/2 Wurzel(3) * 11 (Wurzel(3) - 1)
   = 121/4 (3 - Wurzel(3))
oder etwa 38,355 cm^2.