Serie 54

Aufgabe 11

647. Wertungsaufgabe

Sommerpause

„Dass es natürliche Zahlen gibt (größer 0), die x² + y² = c² erfüllen, ist ja bekannt. Ebenso aber weiß man auch, dass es keine natürlichen Zahlen gibt (größer 0), so dass x³+y³ = z³ gilt.“, sagte der Opa von Bernd und Maria. „Allerdings lassen sich für a³ + b³ + c³ = d³ und sogar für a³ + b³ + c³ + d³ = e³ positive ganze Zahlen finden, die die Gleichungen erfüllen, probiert es auch“, meinte Opa.
Für das Finden der Zahlen gibt es 5(=2+3) blaue Punkte.
Je vier rote Punkte für das Finden von a, b und c (positive ganze Zahlen) in den folgenden Gleichungen:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(a,b,c,d,e sind in jeder Aufgabe anders. Aufgaben in einem „Aufgabenheft“ aus dem Jahr 1971)

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hun

Nyári szünet

Ismert, hogy vannak olyan természetes számok (nagyobb, mint 0), amikre igaz: x² + y² = c². Ugyancsak tudjuk, hogy nincs olyan természetes szám (nagyobb, mint 0), amire x³+y³ = z³ érvényes. – mondta Bernd és Mária nagyapja. Mindenesetre keressünk olyan pozitív egész számokat, amikre a a³ + b³ + c³ = d³, sőt a a³ + b³ + c³ + d³ = e³ egyenlet érvényes. – mondta nagyapa.
A számok megtalálása 5(=2+3) kék pontot ér.
Egyenként négy piros pont a, b és c (pozitív egész) számok megtalálása a következő egyenletekben:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(A feladat egy 1971-es munkafüzetből származik.)

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fr

vacances d'été

«Il est bien connu qu'il existe des nombres naturels (supérieurs à 0) de sorte que x² + y² = c². Mais nous savons également qu'il n'y a pas de nombres naturels (supérieurs à 0), de sorte que x³ + y³ = z³ s'applique », a déclaré le grand-père de Bernd et Maria. "Cependant, pour a³ + b³ + c³ = d³ et même pour a³ + b³ + c³ + d³ = e³, on peut trouver des nombres entiers positifs qui répondent aux équations, essayez-le", dit grand-père.
Il y aura 5 (= 2 + 3) points bleus pour trouver les nombres.
Quatre points rouges chacun pour trouver a, b et c (nombres entiers positifs) dans les équations suivantes:
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 6b) ³ = c³
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 7b) ³ = c³
a³ + (a + b) ³ + (a + 2b) ³ +… + (a + 9b) ³ = c³
(Exercice dans un "livre d’exercice" de 1971)

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esp

„Ya se sabe que existen números naturales (más grandes que 0) para los que se aplique x² + y² = c². También se sabe que no existen números naturales (más grandes que 0) para los que se aplique x³+y³ = z³“, dijo el abuelo de Bernd y María. „No obstante, se pueden encontrar números enteros positivos para los que se aplique a³ + b³ + c³ = d³ o incluso a³ + b³ + c³ + d³ = e³. ¡Pruébadlo!”, dijo el abuelo.
Para el descubrimiento se pueden recibir 5 (=2+3) puntos.
Además, se pueden obtener cada vez 4 puntos rojos para a, b y c (números enteros positivos) en las ecuaciones siguientes:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(se trata de tareas de un cuaderno de deberes del año 1971)

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en

summer break

“We all know that there are whole numbers (greater 0) which are x² + y² = c². We also know that there is no whole number (greater 0), so that x³+y³ = z³ applies.“, Bernd’s and Maria’s grandpa said. “However, you can find positive integers for a³ + b³ + c³ = d³ and even for a³ + b³ + c³ + d³ = e³, that fulfill the equation. You have to try it“, grandpa told them.
For finding the numbers you will get 5(=2+3) blue points.
For finding a, b and c (positive integers) in the following equations you will get 4 points, for each of them:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(tasks out of an “excercise book“ from the year 1971)

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it

Pausa d’estate

“È noto che esistono numeri naturali (> 0) con x² + y² = c². Si sa anche che non esistono numeri naturali (> 0) con x³+y³ = z³.”, il nonno di Bernd e Maria diceva.
Si possono però trovare numeri interi positvi che assolvono l’ equazione a³ + b³ + c³ = d³ eppure a³ + b³ + c³ + d³ = e³, cercatelo”, nonno proponeva.Per la trovata di questi numeri vengono dati 5 (= 2+3) punti blu.
Quattro punti rossi vengono dati per ogni trovata di numeri interi positive a, b, c nelle equazioni seguenti:
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+6b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+7b)³ = c³
a³ + (a+b)³ + (a +2b)³ + … +(a+9b)³ = c³
(Compiti di un “quaderno dei compiti” del 1971)

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Lösung/solution/soluzione/résultat:

Eine Musterlösung von Maximilian, danke. --> pdf <--

Für die rote Aufgabe wurde die verscheidenste Programme, so auch z. B. in "C".
Einen Lösungsweg gabe es bei der Vorlage aus dem Jahr 1971 leider nicht, die Lösungen wurden nur als "kuriose" Beispiele benannt.

 Einige Varianten auch in der Erweiterung der Aufgabe von Frank R.

3a) bis 7b: a^3+(a+b)^3+(a+2b)^3+...+(a+7b)^3=c^3

    ich habe eine erste Lösung gefunden:

    (a,b,c)=(28,13,168) und davon Vielfache,

    z.B. (66,26,336) usw.

3b) bis 9b: a^3+(a+b)^3+(a+2b)^3+...+(a+9b)^3=c^3

    ich habe eine erste Lösung gefunden:

    (a,b,c)=(15,37,495) und davon Vielfache,

    z.B. (45,111,1485) usw.

3c) bis 6b:

    a^3+(a+b)^3+(a+2b)^3+...+(a+6b)^3=c^3 

   keine Lösung gefunden, ich möchte aber nicht behaupten,

   das es keine 7 Summanden einer arithmetische Folge mit

   einer Lösung geben muss, es sei, denn es lässt sich z.B.

   mit einer Teilbarkeitsbetrachtung nachweisen...

3d) nicht gefragt war - bis 5b:

    a^3+(a+b)^3+(a+2b)^3+...+(a+5b)^3=c^3

    ich habe eine erste Lösung gefunden:

    (a,b,c)=(31,2,66) und davon Vielfache, z.B. (62,4,132) usw.