Serie 54

Aufgabe 5

641. Wertungsaufgabe

„Das sind aber viele Zahlen auf deinem Zettel.“, meinte Bernd zu Mike. „Na ja, ich bin am Probieren“. Mike hat irgendwelche 4 vierstellige Zahlen notiert.. Dann addiert er die Ziffern der gewählten Zahl (Quersumme) zwei mal zur vierstelligen Zahl dazu. Das Ergebnis ist in seinen Beispielen immer durch 3 teilbar. Gilt das für alle vierstelligen Zahlen? (Nachweis der Gültigkeit. oder drei Gegenbeispiele) 3 blaue Punkte. Beispiel: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, das Ergebnis ist durch 3 teilbar.
Es gilt a + b = 1 und a² + b² = 2. Wie lautet das Ergebnis von a^4 + b^4 ? 3 rote Punkte
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Termin der Abgabe 21.05.2020. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 21.05.1920. Deadline for solution is the 21th. May 2020. Date limite pour la solution 21.05.2020. Soluciones hasta el 21.05.2020. Beadási határidő 2020.05.21.

hun

„Ez aztán jó sok szám a papírodon.” – mondta Bernd Mike-nak. „ Hát igen, csak próbálgatom.” Mike tetszőleges 4 négyjegyű számot írogat. Aztán hozzáadja a kiválasztott szám számjegyeinek kétszeresét a négyjegyű számhoz. Az eredmény az ő esetében mindig osztható hárommal. Igaz ez minden négyjegyű számra? (Bizonyítás vagy cáfolás) 3 kék pont.
Példa: 3412 → 3412 +2*(3+4+1+2)= 3432, az eredmény osztható hárommal.
Érvényes az a + b = 1 és a² + b² = 2.
Mi az eredménye az a^4 + b^4-nek? 3 piros pont
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fr

"Mais il y a beaucoup de chiffres sur ta feuille de papier", a expliqué Bernd à Mike. "Eh bien, j'essaye". Mike a noté 4 nombres à quatre chiffres, puis il ajoute deux fois les chiffres du numéro sélectionné (somme de contrôle) au nombre à quatre chiffres. Dans ses exemples, le résultat est toujours divisible par 3. Cela s'applique-t-il à tous les numéros à quatre chiffres? (Preuve de validité. Ou trois contre-exemples) 3 points bleus. Exemple: 3412 → 3412 + 2 * (3 + 4 + 1 + 2) = 3432, le résultat est divisible par 3.
Si a + b = 1 et a² + b² = 2. Quel est le résultat de a^4 + b^4? 3 points rouges
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esp

“¡Qué muchos números tienes en tu papelito!”, le dijo Bernd a Mike. “Pues si, estoy probando…” Mike ha notado algunos números de cuatro cifras. Después suma las cifras del número elegido y adiciona esta suma dos veces al número elegido de cuatro cifras. En sus ejemplos, el resultado siempre es divisible por 3. ¿Esto vale para todos los números de cuatro cifras? Para la comprobación de la validez o tres ejemplos contrarios se recibe 3 puntos azules.
Ejemplo: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2) = 3432, el resultado es divisible por tres.
Si es válido a + b = 1 y a² + b² = 2, ¿cómo sería el resultado de a⁴ + b⁴ ? – 3 puntos rojos.
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en

„Those are a lot of numbers on your sheet.“, Bernd told Mike. „Yeah, I’m still trying…“. Mike has noted down some four-digit numbers. Then he adds the digits of the chosen number (cross sum) two times to the four-digit number. The result of his examples can always be divided by 3. Is this true for all four-digit numbers? (proof of existence or three counterexamples) - 3 blue points. Example: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, the result can be divided by three.
The following things are given: a + b = 1 and a² + b² = 2. What is the result of a^4 + b^4 ? - 3 red points
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it

“Quanti numeri hai notato sul tuo foglietto!”, Bernd diceva a Mike. “Solo perchè sto provando.” Mike ha notato numeri a quattro cifre qualsiasi. Poi sommava la sua somma delle cifre due volte al numero a quattro cifre. Il risultato negli esempi suoi era sempre divisibile per 3. Vale per ogni numero a quattro cifre? – Prova della validità o tre controesempi: 3 punti blu.
Esempio: 3412 → 3412 + 2*(3+4+1+2)= 3432, il risultato è divisibile per 3.
Sia a + b = 1 e a² + b² = 2. Qual’ è poi il risultato di a⁴ + b⁴ ? – 3 punti rossi

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Lösung/solution/soluzione/résultat:
Blau: die Behauptung stimmt: Die vier Ziffern der vierstelligen Zahl seinen a, b, c und d. Die Zahl selber lässt sich dann als 1000a + 100b + 10c + d "auffassen". Aus den Ziffern wird die Quersumme gebildet --> a + b +c +d.
Addiere ich nun die doppelte Quersummer zur Zahl --> 1000a + 100b + 10c + d + 2(a + b +c +d) ergibt sich. 1002a + 102b +12c +3d = 3(334a + 34b + 4c +d). Das heißt das Ergebnis ist das Dreifache einer natürlichen Zahl und somit durch 3 teilbar.  Anmerkung die Aufgabe lässt sich leicht verallgemeinern. Die Summer aus einer natürlichen Zahl und ihrer doppelten Quersumme ist stets durch 3 teilbar.
rot:  b=1-a --> a² + (a-1)² = 0, diese quadratische Gleichung lässt sich einfach lösen. Die so ermittelten Werte für a und b führen dann auf a⁴ + b⁴ = 3,5.

Bearbeitung der Aufgabe von H. Walser, danke.

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3_2/Teilbarkeit_durch_3_2.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Teilbarkeit_durch_3_2/Teilbarkeit_durch_3_2.pdf

und 

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_von_Potenzen/Summe_von_Potenzen.htm

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Summe_von_Potenzen/Summe_von_Potenzen.pdf

Die zweite Aufgabe (a+b=1 etc) führt auf eine Fibonacci-Folge und eine logarithmische Spirale.