Serie-8

Serie 8 Aufgabe 3

Bernd und Mike haben in der alten Spielzeugkiste den Jenga-Wackelturm entdeckt. Sie bauen ihn auf und mit viel Geschick schaffen sie sagenhafte 46 Steine raus zu holen, bevor dann der Turm mit lautem Krachen einstürzt. Das hört Bernds Schwester und möchte mitmachen, sie lässt sich das Prinzip erklären.
Es sind 57 Holzquader. Drei Quader werden nebeneinandergelegt, dann kommen quer dazu wieder drei drauf, dann wieder quer drei ... Am Ende steht ein Turm aus 19 Schichten mit quadratischer Grundfläche da. Vorsichtig wird ein Quader aus dem Turm geschoben und wieder oben entsprechend quer drauf gelegt. Dann ist der nächste Spieler dran. Nach drei Spielzügen ist der Turm eine Schicht höher, während irgendwo weiter unten 3 Steine fehlen. Spielregeln sind also: einen Stein einer beliebigen - außer der oberersten - Schicht entnehmen und die jeweils oberste Schicht auf möglichst drei Quader komplettieren. Steine dürfen nur entnommen werden, wenn es (irgendwo) weiter oben eine komplette Schicht gibt- speziell können aus der zweithöchten Schicht nur Steine entnommen werden, wenn die oberste Schicht komplett ist -. Natürlich kann man wenn beispielsweise 26 Schichten erreicht sind, auch aus der ursprünglich nicht vorhandenen 22. Schicht einen oder auch zwei Steine (zwei Spielzüge) entnehmen. Verloren hat der, bei dem der Turm einstürzt.
Wie viele Spielzüge sind theoretisch möglich und wie hoch (Schichten) ist dann der Turm?
Zu erreichen sind 8 Punkte.

Die Beschreibung der Lösung war nicht ganz einfach.
Beispiel von Doreen Naumann:
Zuerst mal bauen wir aus den 57 Steinen einen Turm:
-> 57 Züge - 19 Schichten a 3 Steine
Dann kann man aus jeder Schicht je 2 Steine entnehmen, einer muss da bleiben, damit der Turm nicht umfällt.
Die entstehenden Schichten nummerieren wir fortlaufend.
Abkürzungen: S-Schicht (jede neue Schicht hat erstmal 3 Steine)
St-Stein
je 2 Steine von Schicht:
1-18 : 36 Züge - ergibt: 12 S ->gesamt: 31 S
19-30 : 24 Züge - ergibt: 8 S ->gesamt: 39 S
31-38 : 16 Züge - ergibt: 5 S+1 St ->gesamt: 44 S + 1 St
39-43 : 10 Züge - ergibt: 3 S+1 St ->gesamt: 47 S + 2 St
44-46 : 6 Züge - ergibt: 2 S ->gesamt: 49 S + 2 St
47-48 : 4 Züge - ergibt: 1 S+1 St ->gesamt: 51 S
49-50 : 4 Züge - ergibt: 1 S+1 St ->gesamt: 52 S + 1 St
51 : 2 Züge - ergibt: 2 St ->gesamt: 53 S
52 : 2 Züge - ergibt: 2 St ->gesamt: 53 S + 2 St
Mehr Züge sind nicht möglich, da die Schichten 1-52 nur noch aus einem Stein bestehen, die 53. ist komplett, doch die 54. wird es nicht mehr, da keine Steine mehr entnehmbar sind.
Wir haben also 54 Schichten, auch wenn die letzte nicht komplett ist, d.h. wir hatten 53 ehemals vollständige Schichten.
Jetzt müssen wir nur noch die Anzahl der Züge zusammenzählen. Wenn man die ersten 57 Züge zum Aufstellen des Turmes dazunimmt, sind es 161; ohne sie sind es 104.

Ich für mich bin einen anderen Weg gegangen. Ich habe kleinere Türme genommen und nach einem System gesucht:
Begonnen habe ich mit zwei Schichten - sonst geht ja nichts - und 6 Steinen:

Nun wird erkennbar, dass die Zahl der Züge mit jeder weiteren Ausgangsschicht um 6 zunimmt:
Zahl der Züge = (Ausgangsschicht - 2)*6 + 2
(19-2)*6 + 2 = 104.
Die erreichte Höhe nimmt mit der Ausgangsschicht um 3 zu:
erreichte Höhe = (Ausgangsschicht - 1)*3
18*3 = 54.