Serie-8

Serie 8 Aufgabe 9

Die Weihnachtsgeschenke für Bernd und Mike waren reichlich ausgefallen. Das Interessanteste war der Knobelkalender von Bernds Opa. Sorgsam hatte er für jede Woche eine Aufgabe in einen selbstgestalteten Wochenkalender eingetragen. Davon gab es weltweit nur zwei Exemplare, eines für Bernd und eines für Mike. Bernds Vater war ein wenig sauer, da er ja auch gern so einen Kalender gehabt hätte, aber Opa hatte nur zwei geschafft, schade.
Die erste Aufgabe ging so:
a * bcd = ecca
Dabei stehen gleiche Buchstaben für gleiche Ziffern und verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern. b = 2*e und außerdem sind a und bcd die einzigen echten Teiler von ecca.
Für vollständige Lösung gibt es 8 Punkte.

Die Bedingung a und bcd sind die einzigen echten Teiler von ecca bedeutet, dass a und bcd Primzahlen sein müssen.
Damit kann für a nur 2, 3, 5 oder 7 in Frage kommen.
zu a = 2:
ecc2 verlangt für dann d entweder bc1 oder bc6. bc6 ist aber keine Primzahl. Das Ergebnis 2 * bc1 liegt unter 2000, dann müsste aber e ebenfalls 1 sein, damit gibt es keine Lösung für a = 2
zu a = 3:
ecc3 verlangt für dann d bc1. Das Ergebnis 3 * bc1 liegt unter 3000, dann müsste aber e 1 oder 2 sein. Wegen d = 1 bleibt nur die Möglichkeit e = 2. Dann aber muss b = 4 (b = 2*e), aber 3 *4c1 ist garantiert unter 2000, also wieder keine Lösung.
zu a = 5:
ecc5 verlangt für dann d bc1, bc3, bc7 oder bc9. Das Ergebnis 5 * bcx liegt unter 5000, dann müsste aber e 1, 2, 3 oder 4 sein. Wegen d = x kommen nur folgende Varianten: d=1: 5 * 4c1 = 2cc5, 5 * 6c1 = 3cc5 oder 5 * 8c1 = 4cc5
d=3: 5 * 2c3 = 1cc5, 5 * 4c3 = 2cc5, 5 * 8c3 = 4cc5
d=7: 5 * 2c7 = 1cc5, 5 * 4c7 = 2cc5, 5 * 6c7 = 3cc5 oder 5 * 8c7 = 4cc5
Für c werden nun die noch nicht verwendeten Ziffer durchprobiert, wo bei 4cx eine Primzahl sein muss:
d=1
5 * 401 = 2 005
Mit Erhöhung des Zehners um jeweils 1 werden die Ergebnisse jeweils um 50 größer also der Zehner entweder 5 oder 0, also gibt es keine weitere Lösung 4c1.
5 * 601 = 3 005
Mit Erhöhung des Zehners um jeweils 1 werden die Ergebnisse jeweils um 50 größer also der Zehner entweder 5 oder 0, also gibt es keine weitere Lösung 6c1.
5 * 801 = 4005 (entfällt, da 801 keine Primzahl)
...
d=3
5 * 203 = 1015 s.o. Zehner also entweder 1 oder 6 (213 keine Primzahl und 5 * 263 = 1315)
5 * 4c3 = 2cc5 s.o. Zehner also entweder 1 oder 6 (413 keine Primzahl und 5 * 463 = 2315)
5 * 8c3 = 4cc5 s.o. Zehner also entweder 1 oder 6 (813 keine Primzahl und 5 * 863 = 4315)
d=7:
5 * 2c7 = 1cc5 s.o. Zehner also entweder 3 oder 8 (237 und 287 keine Primzahlen)
5 * 4c7 = 2cc5 s.o. Zehner also entweder 3 oder 8 (437 keine Primzahl und 5 * 487 = 2435)
5 * 6c7 = 3cc5 s.o. Zehner also entweder 3 oder 8 (637 und 687 keine Primzahlen)
5 * 8c7 = 4cc5 s.o. Zehner also entweder 3 oder 8 (837 keine Primzahl und 5 * 887 = 4435)
zu a = 7:
ecc7 verlangt für dann d bc1. Das Ergebnis 7 * bc1 liegt unter 7000, dann müsste aber e 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein. Wegen d = 1 bleiben nur die Möglichkeiten e = 2, 3, 4, 5 oder 6. Wegen b= 2*e folgen: 7 * 4c1 = 2cc5, 7 * 6c1 = 3cc5 oder 7 * 8c1 = 4cc5. (e 0 5 oder 6 sind dann nicht zulässig.) Für c werden nun die noch nicht verwendeten Ziffer durchprobiert, wo bei 4c1 eine Primzahl sein muss:
4c1
401, 421, 431, 461, 491 die Ergebnisse der Multiplikation mit 7:
2801, 2947, 3017, 3227, 3437, Die c- Bedingung ist nicht erfüllt.
6c1
601, 631, 641, 661, 691 die Ergebnisse der Multiplikation mit 7:
4207, 4417, 4487, 4627, 4831, Die c- Bedingung ist nicht erfüllt.
8c1
811, 821, 881, die Ergebnisse der Multiplikation mit 7:
5677, 5747, 6167, Die c- Bedingung ist nicht erfüllt.
Es gibt also wirklich nur Lösungen:
5 * 401 = 2 005
5 * 601 = 3 005
Die erste passt schön zum Jahr 2005.
PS.: Auf einige der Primzahlen beim Test mit der Multiplikation mit 7 hätte man verzichten können. (Beispiel 881 wegen bcd nicht erlaubt)