Serie-10

Aufgabe 12

Bernd wäre eigentlich gern nach Beierfeld gefahren, aber nun ja. Etwas lustlos spielte er mit drei einzelnen Eurostücken vor sich hin. Irgendwann legte er sie so hin, dass sie sich alle wechselseitig am Rand berührten. In der Mitte blieb etwas freie Fläche übrig. In dem Moment kam Mike dazu, er sah die Lage der drei Münzen und meinte, da verbirgt sich mal eine Aufgabe für deinen Vater dahinter. Wie jetzt? Soll uns doch mal dein Vater ausrechnen wie groß eine Münze sein dürfte, so dass sie genau dazwischen passt. Gute Idee, aber lass es uns etwas abändern. Wie groß darf ein Kreis sein, der genau zwischen drei Kreise passt, wenn die jeweils einen Radius von 5 cm haben? Einverstanden.
Zu erreichen sind 7 Punkte. Die Punkte können durch eine Berechnung, aber auch durch eine Superkonstruktionsbeschreibung mit Messung erreicht werden.

Es ist leicht einzusehen, dass die Mittelpunkte der sich berührenden Kreise ein gleichseitiges Dreieck bilden. Die Seitenlänge ist dann 10 cm. Der Mittelpunkt des gesuchten Kreises befindet sich dann im Mittelpunkt des Dreiecks. Wegen der Gleichseitigkeit des Dreiecks ist dieser Mittelpunkt, auch der Mittelpunkt des Inkreises, des Umkreises und des Schwerpunktes des Dreiecks. M, B und der Mittelpunkt von AB bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke von MB ist gemäß der Eigenschaften der Seitenhalbierenden (Seitenhalbierende werden durch den Schwerpunkt im Verhätnis 2:1 geteilt) 2/3 der Höhe des gleichseitigen Dreiecks: (h= g/2*√3 mit g = 2r ⇒ MB= 2r/3 * √3 Von MB braucht man nur noch r zu subtrahieren und erhält den gesuchten Radius ri ⇒ ri = 2r/3 √3 - r⇒ ri = (2/3 √3 - 1) r⇒ ri = 0,1547 * r mit r = 5 cm ergibt sich ri = 0,77 cm Hier noch eine Beschreibung, der eine etwas andere Idee zugrunde liegt - Danke an Doreen Naumann Man zeichne drei Kreise mit je einem Radius von 5cm, die sich wechselseitig am Rand berühren. Wenn man die Mittelpunkte der Kreise miteinander verbindet, entsteht ein gleichseitiges Dreick mit einer Seitenlänge von 10 cm. Dort, wo sich die Kreise wechselseitig berühren, ist auch der Punkt, der die Seite halbiert. Diese drei Punkte lassen sich miteinander verbinden, es entsteht ein kleineres Dreieck im Größeren. Dessen Seiten schneiden die Kreise in je zwei Punkten. Jetzt zeichnen wir noch die drei Seitenhalbierenden des kleineren Dreiecks ein. An einem Punkt schneiden sich die drei Linien. Nun muss man nur noch den Abstand zwischen diesem Punkt und dem Kreis messen, das ist der Radius des kleinen Kreises, der genau zwischen die drei größen Kreise passt. Dieser Radius beträgt nach meiner Messung etwas weniger als 0,8 cm, also etwa 0,78 cm. << Zurück Weiter >>