Serie-10

Serie 10 Aufgabe 6

Ein Blick auf den Kalender von Opa zeigte, dass sie sich sputen mussten, weil sie sich mit dem Bau der Kartenhäuser doch etwas lange aufgehalten hatten. Dieses mal geht es um Spiegelzahlen. Als Spiegelzahlen werden Paare von mindestens zweistelligen natürlichen Zahlen bezeichnet, wo sich die zweite durch Aufschreiben der Ziffern der ersten in umgekehrter Reihenfolge ergibt. Also (446 und 644) oder (4587 und 7854). Die 777 spiegelt sich im Prinzip selbst, zählt aber als unechte Spiegelzahl. Nun gibt es da auch kuriose Sachen:
ab²=cde und ba²=edc
Quadrate von echten Spiegelzahlen ergeben also wieder echte Spiegelzahlen.
Finde alle Möglichkeiten heraus, wobei a, b, c, d und e nicht alle von einander verschieden sein müssen.
Zu erreichen sind pro echtes Paar 2 Punkte.

Variante - systematisches Probieren:
Die Quadrate der zweistelligen Zahlen müssen 3-stellig sein. Das trifft nur für die Zahlen 10 bis 31 zu (32²= 1024). Da nun die Zahlen gespiegelt werden sollen darf der ursprüngliche Einer auch höchtens 3 sein. Damit verbleiben von den Zahlen die 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 30, 31 und die gespiegelten 01, 11, 21, 31, 02, 12, 22, 03 und 13 (14 geht wegen 41²>1 000 nicht).
Die glatten Zehner entfallen, da keine echten dreistelligen Quadtrate nach dem Spiegeln entstehen. Die 11 und 22 entfallen als unechte Spiegelzahlen.
Somit verbleiben als Paare 12, 21 und 13, 31 nun der Test:
12² = 144 und 21² = 441 - Bedingung erfüllt.
13² = 169 und 31² = 961 - Bedingung erfüllt.
Es gibt genau zwei Paare echter Spiegelzahlen, die alle Bedingungen erfüllen.
Anmerkungen:
Es gibt keine vierstelligen Quadrate, so dass die Aufgabenstellung erfüllt wird.
102² = 10 404, 201² = 40 401
103² = 10 609, 301² = 90 601
112² = 12 544, 211² = 44 511
113² = 12 769, 311² = 96 721
122² = 14 884, 221² = 48 841