Serie-16

Aufgabe 1

181. Wertungsaufgabe
Die Terme haben uns ganz schön ins Schwitzen gebracht- waren wohl etwas thermal. Meine Mutter stand heute früh im Bad schaute in den Spiegel und kämmte ihr Haar. Als sie raus kam, bekam ich gleich mal wieder einen Auftrag, ich sollte eine Batterie für die Uhr holen, weil die stehen geblieben sei und zwar zeigten die Zeiger genau 10 Minuten vor um 5 an. Und hast du die Batterie schon gekauft, fragte Mike. Aber nein, die Uhr geht einwandfrei. Bist du sicher? Aber klar doch als ich kurz nach meiner Mutter an die Uhr geschaut, ging die ganz genau und um 8 war ich auch in der Schule. Ach jetzt wird es klar, was deiner Mutter passiert ist, wenn ich Lisa erzähle, kann sie das gleich in ihrer Gruppe bearbeiten und denen 3 blaue Punkte geben.
Kannst du dich noch an die Aufgabe mit dem gleichseitigem Dreieck und dem Quadrat erinnern, aber klar doch, war aber ein ganz schön krummes Ergebnis. Das stimmt, deshalb mal eine Aufgabe mit glatten Werten.

Da gilt XA sind 48 mm und XB sind 36 mm. Wie lang ist die Hypotenuse YZ?. (A,B,C und D - Ecken eines Quadrates - liegen auf den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks) Ach, oh je, die Serie fängt ja gut an, aber das sieht dem Erfinder wohl wieder ähnlich. Wer wohl die 8 Punkte bekommt?

Hier die Lösungen von Mike Pfaffe, vielen Dank

Ja, ich vermute mal, dass die Mutter die Uhr im Spiegel betrachtet hat. Die Uhr zeigte eigentlich 7.10Uhr an, die Mutter sah sie allerdings spiegelverkehrt und glaubte es ist 4.50Uhr.
wirkliche Uhrzeit gespiegelte Uhr

So war der Sohn ca. 7.15Uhr im Bad und pünktlich um 8.00Uhr in der Schule.

Bezeichnen wir in unserem Dreieck die Strecke mit a und die Strecke mit b. Da ABCD ein Quadrat ist und das Dreieck XYZ ein rechtwinkliges Dreieck ist, haben wir viele paarweise aufeinander senkrecht stehende Strecken (Geraden), so dass die eingeschlossenen Winkel gleich groß sind. Deshalb sind die Dreiecke XYZ, XBA und CYB zueinander ähnlich. Deshalb gilt:
und mit und
erhält man . Daraus ergibt sich . Aus erhält man damit:

selber einsetzen - meint Thomas J.

Die Hypotenuse hat also eine Länge von 185mm.

Aufgabe 2

182. Wertungsaufgabe
Das mit dem Spiegel war ja was für die Mädchen, auch wenn sie erst gestutzt haben. Apropos Mädchen, was macht eigentlich Lisa heute, wolltet ihr euch nicht treffen, fragte Bernd. Ja schon, aber sie muss zum Zahnarzt wegen des Bonusheftes. Ach so. Na dann kannst du sie ja abholen, das hatte ich auch vor, aber lass uns erst einmal noch die Aufgabe zum Superpythagoras anschauen. Superpythagoras, was ist das denn? Erst mal das berühmte Beispiel mit 3,4,5. Dazu das Bild:
Wie du siehst ist die Figur durch die gestrichelten Linien zu einem Seckseck geworden. Die Frage ist nun, wie groß ist der Flächeninhalt dieses Sechsecks und wie lässt sich der Flächeninhalt eines solchen Sechsecks für jedes rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b ermitteln? Da sind auch wieder 8 Punkte drin. Da setzt sich ja der rasante Start in die Serie 16 gleich mal noch fort. Stimmt genau. Hat Lisa schon erzählt, was sie Blaupunktler zu tun haben. Aber ja. Ein König hat in seinem Schloss eine große Schatztruhe. In dieser Schatztruhe sind genau 7 Schatzkisten drin. In jeder dieser Kisten befinden sich 3 kleine Schatullen und in diesen Schatullen sind jeweils genau 7 wertvolle schwarze Perlen. Wie viele Perlen sind es? Jeder dieser Behälter ist gegen Diebe mit einem komplizierten Schloss versehen. Wie viele Schlösser müssen mindestens geöffnet werden, wenn der König genau 26 Perlen herausnehmen möchte, um seiner Frau eine Kette anfertigen zu lassen? (Da gibt es 2 + 3 blaue Punkte)

Als erstes die Variante von Mike Pfaffe, danke.

Verblüffenderweise erhält man, dass die schraffierten Dreiecke alle denselben Flächeninhalt wie das Dreieck ABC haben. Im Falle des Dreiecks CGH ist dies offensichtlich, da
gilt und somit das Dreieck ABC kongruent zum Dreieck CGH (SWS) ist und die Dreiecke somit auch flächengleich sind.

Das Dreieck AKI ist ähnlich zum Dreieck ABC. ist die Verlängerung von über A hinaus, K ist der Höhenfußpunkt von I auf . Somit ist . Nach Voraussetzung (Quadrat) gilt: . Weil Paare von senkrecht aufeinander stehenden Geraden (Strecken) gleiche Winkel einschließen, gilt: . Nach Voraussetzung ist und nach Konstruktion . Somit stimmen die Dreiecke AKI und ABC in zwei Winkeln überein und sind ähnlich. Betrachtet man entsprechende Stücke in den ähnlichen Dreiecken, so erhält man:

Für den Flächeninhalt des Dreiecks DAI erhält man dann:

Analog kann man zeigen:
Da das Dreieck ABC ebenfalls den Flächeninhalt besitzt, sind die schraffierten Dreiecke flächengleich zum Dreieck ABC. Für den Flächeninhalt des Sechsecks gilt demzufolge:



Für das Zahlentripel 3; 4; 5 erhält man einen Flächeninhalt von 74 Flächeneinheiten.

Zu den Perlen: 7 Kisten beinhalten 21 Schatullen und somit 147 Perlen. Der König muss zunächst die Schatztruhe öffnen (1 Schloss). Dann öffnet er eine Schatzkiste (1Schloss) und anschließend die 3 darin befindlichen Schatullen (3 Schlösser). Jetzt hat er 21 Perlen. Um die restlichen 5 Perlen zu entnehmen, muss er eine weitere Kiste (1 Schloss) und eine weitere Schatulle (1 Schloss) öffnen. Er muss also insgesamt mindestens 7 Schlösser öffnen.

Klappt man nun die grünen Dreiecke in das große Quadrat, entsteht nebenstehende Figur. Daraus erhält man den gesuchten Flächeninhalt zu:

Aufgabe 3

183. Wertungsaufgabe
Also der Superpythagoras war doch verblüffend, dass da am Ende eine recht einfache Formel rauskommt. Echt stark. Da gebe ich dir recht, meinte Mike. Aber auch bei (natürlichen) Zahlen gibt verrückte Dinge. Sag an. Also die siebenstellige Zahl 6ababab ist ein Vielfaches von 18. Da gibt es doch viele, ja sicher. Wenn du die erste und letzte Ziffer streichst, so ist die verbleibende Zahl nur noch durch 6 teilbar. Na und? Nun es gibt nur zwei Zahlen, die diese Bedingung erfüllen. Wirklich. Überprüfe es doch selbst (4 Punkte).
Ich kenne auch eine besondere 7-stellige Zahl, meinte Bernd. 8280062. Was ist daran besonders? Also pass auf:
Struktur: abcdefg
Erste Ziffer (a) ist nicht Null
Zahl ab = 82 ist durch 2 teilbar.
Zahl abc = 828 ist durch 3 teilbar.
Zahl abcd = 8280 ist durch 4 teilbar.
Zahl abcde = 82800 ist durch 5 teilbar.
Zahl abcdef = 828006 ist durch 6 teilbar.
Zahl abcdefg = 8280062 ist durch 7 teilbar.
Da können doch die Teilnehmer von Lisas und Marias Truppe gleichmal probieren, die kleinste und größte vierstellige Zahl mit solchen Eigenschaften zu finden. Wenn die dazuschreiben, dass es nicht kleiner oder größer gehen kann, dann gibt es 4 blaue Punkte.
3.608.528.850.368.400.786.036.725, das ist die größte dieser Superzahlen 25 (!!!) Stellen.

Lösung von Andree - leicht korrigiert, danke
1. Bei der gesuchten Zahl müssen a und b gerade sein, da 18 und 6 gerade sind.
2. Die Quersumme der 5-stelligen Zahl muss durch 3 teilbar sein.
Also:(3a+2b):3 = ganze Zahl
dann muss b durch 3 teilbar sein und mit 1. b ist 6 oder 0 folgt:
3. Die Quersumme der 7-stelligen Zahl muss durch 9 teilbar sein.
Also: (6+3(a+b)): 9 = ganze Zahl
mit 2. gilt:
mit b=6 gilt (6+18+3a):9 = ganze Zahl, also (6+3a):9= ganze Zahl und das klappt nur mit a=4, wegen 1.
mit b=0 gilt (6+3a):9= ganze Zahl und das klappt nur mit a=4, wegen 1.
Die gesuchte Zahlen sind also 6464646 und 64064040

Die kleinste 4-stellige Zahl mit den gesuchten Eigenschaften ergibt sich, wenn man an jede Stelle die kleinste Ziffer setzt, so dass die geforderten Bedingungen erfüllt sind. Bei der größten natürlich entsprechend die größten Ziffern. Damit ergibt sich:

Und das Spiel lässt sich fortsetzen:

Aufgabe 4

184. Wertungsaufgabe
Lisa und Maria trafen Bernd und Mike in der Pause und die beiden Mädchen erzählten, dass die Kinder in ihrer Gruppe ganz begeistert von den Superzahlen waren. Super ist super, ist ja klar. Dann kannst du ja noch die Mädchen- und Jungenzahlen mit ihnen durchgehen. Was ist das denn? Ganz einfach. Du lässt den Geburtstag der Jungen und Mädchen als 4-stellige Zahl auschreiben, also 29. April wird zu 2904, 3. Juli wird zu 0307. Okay. Nun lasst diese Zahl noch einmal dahinter schreiben. Also 29042904 bzw. 03070307. Wenn die Jungen ihre Zahl durch 73 dividieren, dann geht ohne Rest. Wenn die Mädchen ihre Zahl durch 137 teilen, dann klappt das auch ohne Rest. Das Geheimnis ist 6 blaue Punkte wert.
Was habt ihr denn eigentlich gerade? Ach wir wiederholen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen. Zeig mal her:
|x-1| + |x+2| < 5
Muss man , da nicht ... Sag jetzt nichts, ich will es erst einmal selber probieren, dann verrechne dich nicht für die 6 Punkte.

Hier die sehr knappe Formulierung von XXX, danke
Ihr sucht also Zahlen, deren Abstand von 1 plus dem Abstand von -2 kleiner als 5 ist. Für alle Zahlen dazwischen ist das der Fall! Und wenn sie weniger als 1 neben dem Intervall [-2; 1] sind. Die Lösungsmenge ist somit das offene Intervall (-3 ; 2)
Hier noch die schnelle Variante von Andree, vielen Dank

|x-1| + |x+2| < 5

Fall Unterscheidung:

1. Fall x<-2: -(x-1)-(x+2)<5 <=> -2x-1 <5 <=>x>-3

2. Fall: -2x <1: -(x-1)+(x+2)<5 <=> 3 <5 gilt immer

3. Fall: x1: (x-1)+(x+2)<5 <=> 2x+1<5 <=> x <2

Also -3<x<2

Zu den blauen Punkten:
abcd*73*137=abcd*10001=abcdabcd.
Eine achtstellige Zahl der Struktur abcdabcd (die Ziffern müssen nicht notwendigerweies verschieden sein.) ist also zerlegbar in abcd*73*137 und damit immer durch 73 und 137 teilbar.

Aufgabe 5

185. Wertungsaufgabe
Die Kinder in unserer Gruppe haben den Trick mit den Jungen- und Mädchenzahlen schnell durchschaut, fanden es aber cool, sagte Maria ihrem Bruder Bernd. Da fällt mir gleich noch so eine blaue Punkteaufgabe ein (2 Punkte).
Ich gebe dir 5 Euro. Du gehst in einen laden und siehst deine Lieblingssorten Erdbeerbonbons, die kosten 2 Euro, Bromberbonbons für 1,50 Euro und Lakritze für 5 Euro. Wie viele Möglichkeiten gibt es die 5 Euro vollständig auszugeben? (Varianten aufschreiben reicht)
Plötzlich kam noch Mike angestürzt. Ich muss mal schnell noch was mit euch besprechen. Wir hatten in der Schule eine eigentlich einfache Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne sind drei rote und 6 blaue Kugeln drin. Es wird eine Kugel gezogen und draußen gelasssen und dann noch eine zweite. Etwas überraschend für uns war, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei verschiedenfarbige Kugeln genau 0,5 war. Ein Schüler aus der Klasse meinte daraufhin, das Verhältnis von rot zu blau, sei ja auch 0,5, also ist zu vermuten, dass wenn es doppelt so viele blau wie rote Kugeln gibt, dass dann immer für eine solche Ziehung die Wahrscheinlichkeit bei 0,5 liegt. Unser Lehrer meint nun, wir sollten das mal untersuchen.
Anzahl rote Kugeln r, Anzahl blaue Kugeln b, Anzahl alle Kugeln n = a + b
Teil 1: Für welche(s) n gilt b=2a und Wahrscheinlichkeit für den obigen Versuch ist 0,5? (4 Punkte)
Teil 2: Finde eine Beziehung n(a), so dass die Wahrscheinlichkeit für den obigen Versuch ist 0,5? (8 Punkte)
Das klingt kompliziert meinte Maria, na mal sehen. Wo 0,5 ist eine schöne Wahrscheinlichkeit ist, da ja dann das Gegenereignis auch eine Wahrscheinlichkeit von 0,5 hat. Das stimmt, sagte Bernd, bloß schade, dass das wohl keine Aufgabe für deine Gruppe ist.

Ich habe die Lösungsvariante von Stefan verwendet, danke.
Bei r roten Kugeln, b blauen Kugeln und somit insgesamt n = r + b Kugeln ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweifachen Ziehen ohne Zurücklegen zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden als Summe der Ziehungen erst rot dann blau und erst blau dann rot zu p = 2(rb)/(n(n-1)). 1. Ist zudem bekannt, dass das Verhältnis r:b = 1:2 folgt unmittelbar b = 2r und n = 3r. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit p = 4r/(3(3r-1)), da für p = 0,5 gelten soll, ergibt sich nach umstellen r = 3 und demzufolge als einzige Lösung n = 9. 2. Wiederum ist bekannt, dass p = 0,5 gilt. Damit ergibt sich aber auch das Gegenereignis zu gleicher Wahrscheinlichkeit p' = 0,5. p' bezeichnet dabei die Ziehung zweier gleichfarbiger Kugeln, errechnet sich also mittels p' = (b(b-1)+r(r-1))/(n(n-1)). Nun lässt sich p mit p' gleichsetzen. Zusammen mit n = r + b ergibt dies ein unterbestimmtes Gleichungssystem, das unendliche viele Lösungen also eine Lösungsfunktion vermuten lässt. Der Nenner in den Wahrscheinlichkeitstermen ist gleich und lässt sich somit streichen. Der Fall, dass der Nenner Null wird, ist ausgeschlossen, da n nur natürliche Zahlen ab 2 annehmen kann. Durch ausmultiplizieren ergibt sich rr-r + bb - b - 2br = 0. Da ein Zusammenhang zwischen n und r gesucht wird, wird b als Variable betrachtet und r als Parameter. Die Normalform der bezüglich b quadratischen Gleichung führt mittels L&oouml;sungsformel auf b[1] = 0,5+r+0,5sqrt(8r+1) und b[2] = 0,5+r-0,5sqrt(8r+1). Mit n = b+r folgt n = n(r) = 2r+0,5+0,5sqrt(8r+1) und n(r) = 2r+0,5-0,5sqrt(8r+1)
Empfehlung von mir, diese Beziehung mal in einem Tabellenkalkulationsprogramm einzusetzen.
Die blaue Variante wahr nicht schwierig durchzuprobieren:
Die Formel noch mal als Bild von Mike, danke

1. 1xLakritze
2. 1*Erdbeer (2 Euro) + 2x Brombere (2x1,50 Euro)
mehr Erdbeer geht nicht, nur Brombere, aber auch nicht.
Mit der Variante, es darf auch Geld übrig bleiben, gibt es noch weitere Lösungen.

Aufgabe 6

186. Wertungsaufgabe
Das mit den Wahrscheinlichkeiten fand ich zwar nicht schwierig, aber es gab viele Möglichkeiten sich zu verrechnen, meinte Lisa. Da will ich mal hoffen, dass sich deine Gruppe nicht verrechnet, wenn sie mit diesen zwei schwarzen, dem blauen und dem roten Würfel versuchen sollen, alle Varianten herauszufinden, die 4 Würfel aufeinander zu stapeln. Die Zahlen auf den Würfeln sind nicht von Belang, nur die Farben selbst. Nun, dann solltest du aber auch 4 blaue Punkte vergeben, meinte Mike. Geht klar.
Na gut, dann lass uns noch Folgendes überlegen. Wir haben 5 Würfel zum Aufeinanderstapeln. Je einen roten, blauen, grünen, gelben und schwarzen. Wie viele verschiedene Türme kann man bauen, mit nur einer Einschränkung, dass der grüne Würfel immer über dem roten Würfel liegt. Auch das bringt bis zu 4 Punkte.

Hier die Lösungsvariante von Annika, danke.
Blaue Punkte
12 Möglichkeiten
Ssabbassbass
Ssssababssab
Abssssssabba
Babassbassss
S in jeder Reihe 6 mal, blau und rot jeweils 3 mal ergibt 12 Lösungen
Fertig
Habe statt gelb weiß genommen, um es mit g (rün) nicht zu verwechseln)
Bsp. Rot unten
Wssbbw
Swbwsb
Bbwsws
Gggggg
rrrrrr
deshalb 4! Wenn rot immer unten ist, hat man 24 Möglichkeiten. (4!)
Wenn rot in der 4 Reihe bleibt: sinkt die Zahl auf 4! - 6=18 (weil für grün dann die 6 Varianten wegfallen, ganz unten zu sein.
Wenn rot in der 3. Reihe ist, sinkt die Zahl auf 4! -12, weil grün nicht mehr ganz unten und nicht in der vierten Reihe sein kann.
Wenn rot in der 2. Reihe ist, ist die Lösung 3! = 6.
Gesamt: 24+18+12+6=60 Möglichkeiten

Aufgabe 7

187. Wertungsaufgabe
Lisa und Maria erzählen, dass ihre Gruppe ganz fleißig mit den 4 Würfeln gebaut hat. Die meisten haben es durch Probieren herausgefunden, dass es 12 Möglichkeiten gab, mit den 4 Würfeln Türme zu bauen. Ein Mädchen kannte aber schon eine Formel, die deren Vater sich überlegt hatte. Den wollte ich mal anrufen, meinte Lisa, aber die genaue Nummer habe ich vergessen. Was weißt du denn noch zu über die Nummer. Na ja, eigentlich war die recht einfach. Wie alle Telefonnummern bei hatte sie 7 Stellen. Die Ziffern waren alle verschieden. Es war keine Null dabei und keine Drei. Ach ja, die Ziffern wurden von rechts nach links immer kleiner. Na dann lass uns doch mal alle Varianten aufschreiben, meinte Mike, der seiner Lisa helfen wollte. (Für je zwei gefundene Nummern gibt es einen blauen Punkt.)
Weshalb wolltest du ihn eigentlich anrufen, fragte Bernd. Seine Tochter sagte, dass er unserer Gruppe einen Holzspielkasten zur Verfügung stellen will. Sie hatte dieses Bild mitgebracht:

Ich wollte ihn fragen, ob er den Kasten vorbeibringen kann, denn der sieht doch recht schwer aus. Das können wir doch ausrechnen. Wie denn? Nun diese Teile, die in dem Kasten sind, haben ein Rastermaß von 4 cm. Was bedeutet das? Die roten Würfel sind 4 cm groß. Die grünen Quader sind 2 x 4 cm groß. So lassen sich die Teile leicht herstellen und passen gut zusammen, auch die beiden roten Halbkugeln, die oben zu erkennen sind. Nicht zu vergessen, die beiden gelben Zylinder. Alle anderen Teile sind Quader oder im Spezialfall Würfel. Ich schätze die Kiste auf etwa 300 Gramm. Davon ausgehend, dass die Dichte von Buchenholz bei 0,72 g/cm³ liegt, können wir die Gesamtmasse des Kastens ausrechnen. Dann gönnt uns unser Ausdenker bestimmt 6 Punkte.
Mach ich glatt.

Lösung

1245678, 1256789, 1246789, 2456789, 1245679, 1245689, 1245789, 1456789, die acht Telefonnummern genannt von Demian, danke
Für den Kasten, die Lösung von Stefan, danke.
Der Holzkasten braucht jedoch mit seinen knapp 2,7 Pfund kaum vorbeigebracht werden. Abholen geht da auch. Schließlich laesst sich aus den beiden Halbkugeln eine Kugel mit dem Durchmesser eines Rastermaßes zusammensetzen und aus den beiden Zylindern ein langer Zylinder mit einem Rastermaß Durchmesser und vier Rasterma ßHoehe. Die restlichen Koerper sind laut Aufgabe Quader. Alle haben eine Tiefe von einem Rastermaß und der Kasten ist insgesamt vier mal sechs Rastermaß groß, allerdings sind davon fuenf Quadratrastermaß mit den runden Koerpern besetzt.
Fuer das Volumen der Bauteile gilt damit:
V = R³[(pi)(1/6+1)+4*6-5] = 1450,6 cm³
Und fuer die Masse folglich: m = 1450,6*0,72g = 1044,4g
Zuzueglich des Transportkastens mit 300g wiegt der ganze Kasten also ca. 1345g.

Aufgabe 8

188. Wertungsaufgabe
Nach dem wir wussten, dass der Kasten doch nicht so schwer war, wie gedacht, habe ich dem Mädchen gesagt, es möge den Kasten doch bitte mitbringen, sagte Lisa. Das hat Sie dann auch gemacht, so dass wir die verschiedensten "Häuser" bauen konnten. Das größte - ein Quader - hatte eine Grundfläche von 96 cm² und eine Höhe von 12 cm. Wie viele der Bausteine habt ihr denn da gebraucht? Na für 4 blaue Punkte sollte man eine mögliche Bauweise dieses "Hauses" aufschreiben. Das da nur Bausteine aus dem Kasten benutzt werden dürfen, ist ja klar.(Oder war das gar nicht richtig?)

Der Vater hat aber noch was mitgebracht, schaut mal. Hm, eine würfelförmige Kiste mit Deckel. Was ist daran so besonders, fragte Bernd. Schüttelt die mal. Mike nahm die Kiste, es klappert. Was ist denn da drin. Ach so drei Holzzylinder. Die passen gut rein. Kein Wunder, wenn die Kiste zu ist, dann sind die Innenmaße der Kiste genau 10 cm. Die drei Zylinder haben einen Durchmesser von je 5 cm und eine Höhe von 10 cm. Wie groß der prozentuale Anteil an der Kiste, wenn die drei Zylinder drin liegen? Na gut, das ist einfach, aber es gibt ein Geheimnis, sagte Lisa. Was für ein Geheimnis, fragte Bernd. Als das Mädchen die Kiste brachte, sollten wir auch die Kiste schütteln. Das haben wir gemacht, sogar heftig. Aber es war kein Klappern zu hören. Dann machten wir auf und die Zylinder purzelten durcheinander. Wie waren die Zylinder in der Kiste zu Beginn angeordnet, so dass sie nicht klappern konnten? (Das gibt 3 + 3 Punkte).

Die blaue Aufgabe: Grundfläche von 96 cm² heißt durch das Rastermaß bedingt:
96 = a*4*b*4
a*b=6
12 cm hoch, bedeutet dann drei Schichten:
Erste Schicht: die 5 Würfel aus der Mitte des Kasten sein und die beiden schmalen grünen Teile, die unter den Halbkugeln liegen.
Zweite Schicht: Die zwei schmalen blauen Quader und dann legen der beiden grünen Quader (- so wie sie schon im Kasten auch liegen)
Dritte Schicht: Die beiden schmalen roten Quader (links und rechts im Kasten), die beiden blauen Quader (von oben aus dem Kasten) und noch einer der beiden verbleiben roten Würfel, es geht also gerade so.
Der gebaute Quader hatte ein Volumen von 1152 cm³ - Das Volumen aller Quader (oder auch Würfel ist aber genau 1216 cm³. Anders gesagt, rechnet man die Quader in Würfel um, so gibt es 19, von den 18 gebraucht werden.
a = 10 cm , d = 5 cm
Volumen der Kiste: V = a³ = 1.000 cm³
Volumen der drei Zylinder: V = 3 * Pi * d² / 4 * a = 589 cm³
Da lässt sich der prozentuale Anteil ja sofort sehen - 58,9 %.
Das Geheimnis der Nichtklapperns ist im Bild erkennbar und funktioniert nur bei geschlossener Kiste, dann kann keiner der Zylinder irgendwohin umfallen.

Aufgabe 9

189. Wertungsaufgabe
Nach dem heftigen Klappern von letzter Woche habe ich dieses Mal nur Rhomben (Rauten) und Quadrate für unsere Gruppe vorbereitet, sagte Lisa. Haben die bestimmte Maße fragte Bernd nach. Aber ja, alle Rhomben haben eine Kantenlänge von 5 cm und der kleinere der Innenwinkel ist 45 Grad groß. Mike spielt mit den Rhomben etwas rum. Das ist ja ein schönes Muster, das sieht ja aus wie ein Stern. Der Stern besteht aus ??? Rhomben. (2 blaue Punkte). Schau mal die Quadrate, die passen da super dran, denn die sind auch 5 cm groß. So nun noch mal ein paar Rhomben dazu und schon hast du sogar ein regelmäßiges Achteck. Wie viele Quadrate und Rhomben wurden da gebraucht? (Noch 2 blaue Punkte):
Bernd, du bist so ruhig heute, meinte Maria. Nun, ich habe darüber nachgedacht, welche Oberfläche und Volumen wohl ein Körper hätte, wenn ich aus 6 der Rhomben ein Prisma basteln würde. Ach ja, Bernd und sein 3D-Blick, aber gut, mit 8 Punkten ist man dabei.

Der kleinst mögliche schöne Stern besteht aus 8 Rhomben. In die 8 Ecken des Sterns lassen sich 8 Quadrate unterbringen, nun noch einmal 8 Rhomben dazu und es ist ein regelmäßes Achteck entstanden.


Zu erst einmal ein mögliches Netz des Körpers:

Zwei Lösungsvarianten - frei zur Diskussion:
Hier die Antwort von Doreen Naumann, danke.
a=5cm alpha=45°
A=a²*sin alpha (für 1 Rhombus)
->A=6*a²*sin alpha
A=106,06602cm²
V=HöhexBreitexTiefe
diese Werte müssen wir erst noch bestimmen
wir betrachten zunächst mal nur einen Rhombus->Höhe bestimmen
->es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem alle Winkel bekannt sind (2x45°, 1x90°) und die längste Seite(5cm)
h=sin45°*5
h=3,5355339 cm
um das Volumen des "schiefen" Prismas zu bestimmen, muss man einen geraden schnitt von oben nach unten machen
->wenn man die 2 Körper neu zusammensetzt, entsteht ein "normales" Rechteck, das sich releativ einfach berechnen lässt
Breite: 5cm
Höhe und Tiefe: das h in unserem Rhombus 3,5355339cm
V=5*3,5355339²
V=62,5 cm³
Unser Prisma aus den 6 Rhomben hat eine Oberfläche von 106,1cm² und ein Volumen von 62,5cm³.
Eine zweite Variante von Stefan, vielen Dank
Die Oberfläche des Rhombenprismas ist denkbar einfach und ergibt sich zum Sechsfachen einer Rhombenfläche zu 6*5*5*cos(45°)cm² =75 sqrt(2) cm², also ca. 106,07cm².
Auch das Volumen eines Prismas läßt sich leicht bestimmen, die Grundfläche ist ja mit 25/2 sqrt(2) bereits bekannt und das Produkt daraus und der Höhe ergibt bereits das Volumen - selbst bei schiefen Prismen, da ja Grund- und Deckfläche einander parallel und deckungsgleich sein müssen und der Satz des Cavalieri verwendet werden kann. Bleibt also die Höhe des Prismas zu bestimmen.
Dies widerum gestaltet sich ein wenig komplizierter bspw. folgendermaßen: a bezeichne die Kantenlänge der Rhomben, e die kleine Diagonale und f die große und @ den kleineren der Innenwinkel. Daraus ergibt sich e zu e=2a*cos(90°-@/2) und f zu f=2a*cos(@/2). Von einer der spitzen Spitzen der Grundfläche des Prismas ausgehend befindet sich eine eben solche Spitze, jedoch der Deckfläche, über dem Dreick, das erstere Spitze mit den benachbarten Eckpunkten der Grundfläche bildet. Diese Spitze der Deckfläche hat von der Spitze der Grundfläche den Abstand a und von den anderen beiden Ecken des Dreiecks in der Grundfläche jeweils den Abstand e. Der Satz des Pythagoras liefert ein quadratisches Gleichungssystem in zwei Unbekannten: I a²=(f/2 - x)² + h²
II e²=(e/2)² + x² + h²
Wobei h die gesuchte Höhe und x der Abstand des Lotfußpunktes der Spitze der Deckfläche zur Diagonalen e in der Grundfläche darstellen.
Die Lösung des Gleichungssystems führt auf h=3,218cm. Damit ergibt sich das Volumen zu rund 56,89cm³. Zur Entscheidung erst einmal ein Bild des Netzes an einer Ecke:

Ermittlung von x₂

Festlegungen:

Damit lässt sich x₂ aus gegebenen Stücken ermitteln: x₂=1,4644 cm.

Es gilt g²+g²=a² mit diesem g lässt sich x₁ = g- x₂ ausrechnen, welches dann benutzt wird in h²=f² – x₁² und führt auf die von Stefan ermittelte Höhe.

Danke an den nicht genannt sein wollenden T.F.

Aufgabe 10

190. Wertungsaufgabe
Die Muster mit den Rhomben waren schön, aber dein Rhomboid hatte es doch etwas in sich, meinte Maria zu ihrem Bruder. Hast ja recht, sagte der. Dafür habe ich aber noch eine Spielerei entdeckt, da habe ich vielleicht dran rumprobiert. Für eure Gruppe habe ich das Ganze etwas vereinfacht. Zeig schon her, meinte Mike, der gerade zu den beiden gekommen war. Ich habe diese sieben Sechsecke. Auf der Oberseite sind Zahlen drauf, unten drunter sind die nur glatt grün.



Eines der Sechsecke kommt in die Mitte und die anderen so drum herum, dass in jedem Fall angrenzende Zahlen gleich sind. Was ist daran für unsere Gruppe einfach? Nun die roten Zahlen in der Mitte sind "richtig rum" die Sechsecke werden also nicht irgendwie gedreht. Na, dann sollte es mit etwas Geduld klappen (5 blaue Punkte)
Auszurechnen wie viele Möglichkeiten es gibt die Sechsecke ohne zu verdrehen anzuordnen, ist ja nicht schwer (2 Punkte) Du meinst ohne auf die Randzahlen zu achten? Ja, genau. Aber wie viele echt von einander verschiedene Anordnungen gibt es, wenn man die Sechsecke auch noch beliebig verdreht? (noch 4 Punkte dazu.) Für beide Teile aber gilt, dass die Zahlen selber zu sehen sein müssen.

blaue Punkte

Die Lösung von Andree, vielen Dank.
Ohne Drehung der Mittelzahl Möglichkeiten, da 7 verschiedene Sechsecke in der Mitte liegen können und dann nur noch 6 verschiedene ganz oben, 5 verschiedene rechts oben usw.
Mit Drehungen, aber ohne Wiederholung
Die 5040 Möglichkeiten von oben werden als Ausgangsbasis genommen. Nun kann jedes der äußeren Sechsecke noch sechsmal in sich verdreht werden. Das mittlere zu drehen macht keinen Sinn, da dadurch nur Stellungen erzeugt werden, die auch durch vertauschen der äußeren zustande kommen.
Somit ergibt sich die stolze Anzahl von 5040 *6⁶= 235.146.240 Möglichkeiten!
Das Spiel gibt es als Holzpuzzle:
Das Zahlen-Puzzle, Das Wabenbild, bartl Art. 2288

Aufgabe 11

191. Wertungsaufgabe
"Das Zahlen-Puzzle hat für Spaß in unserer Gruppe gesorgt", meinte Lisa, die mit Mike bei Bernd und Maria war. "Aber ohne den Hinweis mit den roten Zahlen wäre es verdammt schwierig gewesen." "Da hast du Recht", stimmte ihr Bernd zu.
In unserer Gruppe hatten wir letzte Woche einen Jungen, der hat eine eigene Variante entwickelt, den Mittelwert - gemeint ist das arithmetische Mittel zweiter Zahlen - auszurechnen. Wie jetzt, das ist doch bei zwei Zahlen ganz einfach: (a+b)/2. Wir wissen dass, aber der Junge hatte sich folgendes überlegt: Er hat die Differenz der beiden Zahlen gebildet (größere minus kleinere), davon hat er die Hälfte genommen und dann zu diesem Ergebnis die kleinere Zahl addiert. Aha. Nach kurzem Erstaunen, mussten wir feststellen, der Junge hat Recht.
Nun, für 3 blaue Punkte sollten alle aus eurer Gruppe zeigen können, dass beide Wege (für a > b > 0) gleich berechtigt sind.
"Hallo Opa, schön, dass du mal wieder da bist", riefen Bernd und Maria, fast wie aus einem Mund. "Nun, es geht mir wieder besser, so dass ich gedacht habe, ich bedanke mich für eure Krankenbesuche und bringe euch gleich die kleine Knobelei selber vorbei." "Lass mal sehen."
Verwandle einen Mast in einen Stab. "Wie das denn?" "Also, du schreibst das Wort Mast auf, nun wird ein Buchstabe des Wortes verändert, so dass wieder ein sinnvolles Wort der deutschen Sprache entsteht. Dieses Wort wird wieder an einer Stelle verändert, dann wieder ... bis am Ende das Wort Stab da steht."
Es dürfen keine Abkürzungen und keine Umlaute dabei sein, auf Eigennamen sollte man verzichten."
"Da gibt es doch sicher viele Möglichkeiten." "Na klar. Deshalb geht es nicht darum alle Varianten zu finden, sondern eine (2 Punkte) und es gilt nachzuweisen, dass mindestens eines der Zwischenwörter zwei Vokale haben muss (noch mal 2 Punkte)."

Aufgabe 12

192. Wertungsaufgabe
"Die Wortspiele liegen mir nicht so", meinte Bernd. "Aber es war mal was Anderes", gab Mike zurück. Mike schob Bernd einen Zettel zu und darauf stand:
Gesucht sind alle dreistelligen Zeilen (keine führende Null) mit folgenden Eigenschaften:
Wenn die Zahl durch 9 geteilt wird, so hat das Ergebnis eine Quersumme, die um 9 kleiner ist als die Quersumme der Ausgangszahl.
"Ich denke, da sollte es für jede gefundene Zahl einen Punkt geben." "Einverstanden",meinte Mike. "Für die Gruppe von Lisa und Maria, habe ich auch noch so ein Neunerlei. Pass auf. Du nimmst neunmal die Ziffer 9. Wenn du sie hintereinander aufschreibst, lässt du an zwei Stellen eine Lücke. Du setzt in die erste Lücke ein Rechenzeichen und die zweite ein anderes Rechenzeichen. Das Ergebnis der so entstandenen Aufgabe ist 1 000." "Schöne Aufgabe", meinte Maria, die gerade zur Tür hereinkam. "Da sollten glatt noch drei blaue Pünktchen drin sein."

Auswertung Serie 16