Serie-16

Aufgabe 9

189. Wertungsaufgabe
Nach dem heftigen Klappern von letzter Woche habe ich dieses Mal nur Rhomben (Rauten) und Quadrate für unsere Gruppe vorbereitet, sagte Lisa. Haben die bestimmte Maße fragte Bernd nach. Aber ja, alle Rhomben haben eine Kantenlänge von 5 cm und der kleinere der Innenwinkel ist 45 Grad groß. Mike spielt mit den Rhomben etwas rum. Das ist ja ein schönes Muster, das sieht ja aus wie ein Stern. Der Stern besteht aus ??? Rhomben. (2 blaue Punkte). Schau mal die Quadrate, die passen da super dran, denn die sind auch 5 cm groß. So nun noch mal ein paar Rhomben dazu und schon hast du sogar ein regelmäßiges Achteck. Wie viele Quadrate und Rhomben wurden da gebraucht? (Noch 2 blaue Punkte):
Bernd, du bist so ruhig heute, meinte Maria. Nun, ich habe darüber nachgedacht, welche Oberfläche und Volumen wohl ein Körper hätte, wenn ich aus 6 der Rhomben ein Prisma basteln würde. Ach ja, Bernd und sein 3D-Blick, aber gut, mit 8 Punkten ist man dabei.

Der kleinst mögliche schöne Stern besteht aus 8 Rhomben. In die 8 Ecken des Sterns lassen sich 8 Quadrate unterbringen, nun noch einmal 8 Rhomben dazu und es ist ein regelmäßes Achteck entstanden.


Zu erst einmal ein mögliches Netz des Körpers:

Zwei Lösungsvarianten - frei zur Diskussion:
Hier die Antwort von Doreen Naumann, danke.
a=5cm alpha=45°
A=a²*sin alpha (für 1 Rhombus)
->A=6*a²*sin alpha
A=106,06602cm²
V=HöhexBreitexTiefe
diese Werte müssen wir erst noch bestimmen
wir betrachten zunächst mal nur einen Rhombus->Höhe bestimmen
->es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, in dem alle Winkel bekannt sind (2x45°, 1x90°) und die längste Seite(5cm)
h=sin45°*5
h=3,5355339 cm
um das Volumen des "schiefen" Prismas zu bestimmen, muss man einen geraden schnitt von oben nach unten machen
->wenn man die 2 Körper neu zusammensetzt, entsteht ein "normales" Rechteck, das sich releativ einfach berechnen lässt
Breite: 5cm
Höhe und Tiefe: das h in unserem Rhombus 3,5355339cm
V=5*3,5355339²
V=62,5 cm³
Unser Prisma aus den 6 Rhomben hat eine Oberfläche von 106,1cm² und ein Volumen von 62,5cm³.
Eine zweite Variante von Stefan, vielen Dank
Die Oberfläche des Rhombenprismas ist denkbar einfach und ergibt sich zum Sechsfachen einer Rhombenfläche zu 6*5*5*cos(45°)cm² =75 sqrt(2) cm², also ca. 106,07cm².
Auch das Volumen eines Prismas läßt sich leicht bestimmen, die Grundfläche ist ja mit 25/2 sqrt(2) bereits bekannt und das Produkt daraus und der Höhe ergibt bereits das Volumen - selbst bei schiefen Prismen, da ja Grund- und Deckfläche einander parallel und deckungsgleich sein müssen und der Satz des Cavalieri verwendet werden kann. Bleibt also die Höhe des Prismas zu bestimmen.
Dies widerum gestaltet sich ein wenig komplizierter bspw. folgendermaßen: a bezeichne die Kantenlänge der Rhomben, e die kleine Diagonale und f die große und @ den kleineren der Innenwinkel. Daraus ergibt sich e zu e=2a*cos(90°-@/2) und f zu f=2a*cos(@/2). Von einer der spitzen Spitzen der Grundfläche des Prismas ausgehend befindet sich eine eben solche Spitze, jedoch der Deckfläche, über dem Dreick, das erstere Spitze mit den benachbarten Eckpunkten der Grundfläche bildet. Diese Spitze der Deckfläche hat von der Spitze der Grundfläche den Abstand a und von den anderen beiden Ecken des Dreiecks in der Grundfläche jeweils den Abstand e. Der Satz des Pythagoras liefert ein quadratisches Gleichungssystem in zwei Unbekannten: I a²=(f/2 - x)² + h²
II e²=(e/2)² + x² + h²
Wobei h die gesuchte Höhe und x der Abstand des Lotfußpunktes der Spitze der Deckfläche zur Diagonalen e in der Grundfläche darstellen.
Die Lösung des Gleichungssystems führt auf h=3,218cm. Damit ergibt sich das Volumen zu rund 56,89cm³. Zur Entscheidung erst einmal ein Bild des Netzes an einer Ecke:

Ermittlung von x₂

Festlegungen:

Damit lässt sich x₂ aus gegebenen Stücken ermitteln: x₂=1,4644 cm.

Es gilt g²+g²=a² mit diesem g lässt sich x₁ = g- x₂ ausrechnen, welches dann benutzt wird in h²=f² – x₁² und führt auf die von Stefan ermittelte Höhe.

Danke an den nicht genannt sein wollenden T.F.