Serie-16
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Aufgabe 2
182. Wertungsaufgabe
Das mit dem Spiegel war ja was für die Mädchen, auch wenn sie erst gestutzt haben. Apropos Mädchen, was macht eigentlich Lisa heute, wolltet ihr euch nicht treffen, fragte Bernd. Ja schon, aber sie muss zum Zahnarzt wegen des Bonusheftes. Ach so. Na dann kannst du sie ja abholen, das hatte ich auch vor, aber lass uns erst einmal noch die Aufgabe zum Superpythagoras anschauen. Superpythagoras, was ist das denn? Erst mal das berühmte Beispiel mit 3,4,5. Dazu das Bild:
Wie du siehst ist die Figur durch die gestrichelten Linien zu einem Seckseck geworden. Die Frage ist nun, wie groß ist der Flächeninhalt dieses Sechsecks und wie lässt sich der Flächeninhalt eines solchen Sechsecks für jedes rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b ermitteln? Da sind auch wieder 8 Punkte drin. Da setzt sich ja der rasante Start in die Serie 16 gleich mal noch fort. Stimmt genau. Hat Lisa schon erzählt, was sie Blaupunktler zu tun haben. Aber ja. Ein König hat in seinem Schloss eine große Schatztruhe. In dieser Schatztruhe sind genau 7 Schatzkisten drin. In jeder dieser Kisten befinden sich 3 kleine Schatullen und in diesen Schatullen sind jeweils genau 7 wertvolle schwarze Perlen. Wie viele Perlen sind es? Jeder dieser Behälter ist gegen Diebe mit einem komplizierten Schloss versehen. Wie viele Schlösser müssen mindestens geöffnet werden, wenn der König genau 26 Perlen herausnehmen möchte, um seiner Frau eine Kette anfertigen zu lassen? (Da gibt es 2 + 3 blaue Punkte)
Lösung
Als erstes die Variante von Mike Pfaffe, danke.
Verblüffenderweise erhält man, dass die schraffierten Dreiecke alle denselben Flächeninhalt wie das Dreieck ABC haben. Im Falle des Dreiecks CGH ist dies offensichtlich, da
gilt und somit das Dreieck ABC kongruent zum Dreieck CGH (SWS) ist und die Dreiecke somit auch flächengleich sind.
Das Dreieck AKI ist ähnlich zum Dreieck ABC. 
ist die Verlängerung von 
über A hinaus, K ist der Höhenfußpunkt von I auf . Somit ist 
. Nach Voraussetzung (Quadrat) gilt: 
. Weil Paare von senkrecht aufeinander stehenden Geraden (Strecken) gleiche Winkel einschließen, gilt: 
. Nach Voraussetzung ist 
und nach Konstruktion 
. Somit stimmen die Dreiecke AKI und ABC in zwei Winkeln überein und sind ähnlich. Betrachtet man entsprechende Stücke in den ähnlichen Dreiecken, so erhält man: 
Für den Flächeninhalt des Dreiecks DAI erhält man dann:
Analog kann man zeigen: 
Da das Dreieck ABC ebenfalls den Flächeninhalt 
besitzt, sind die schraffierten Dreiecke flächengleich zum Dreieck ABC. Für den Flächeninhalt des Sechsecks gilt demzufolge: 
Für das Zahlentripel 3; 4; 5 erhält man einen Flächeninhalt von 74 Flächeneinheiten.
Zu den Perlen: 7 Kisten beinhalten 21 Schatullen und somit 147 Perlen. Der König muss zunächst die Schatztruhe öffnen (1 Schloss). Dann öffnet er eine Schatzkiste (1Schloss) und anschließend die 3 darin befindlichen Schatullen (3 Schlösser). Jetzt hat er 21 Perlen. Um die restlichen 5 Perlen zu entnehmen, muss er eine weitere Kiste (1 Schloss) und eine weitere Schatulle (1 Schloss) öffnen. Er muss also insgesamt mindestens 7 Schlösser öffnen.
A = 3 Quadrate + rechtwinkliges Dreieck + Außendreieck C + Außendreieck A + Außendreieck B
3 Quadrate = a²+b²+c² = a²+b²+a²+b²
rechtwinkliges Dreieck = ab/2
Außendreieck C = ab/2
Außendreieck A = 1/2*x*y*sin gamma = 1/2 b Wurzel(a²+b²) sin(360°-90°-90°-tan-1(a/b))
sin(360°-90°-90°-tan-1(a/b))=sin(180°-tan-1(a/b))=sin(-tan-1(a/b))
tan-1(a/b)=alpha
sin(alpha)=a/c
sin(tan-1(a/b))=a/c
Außendreieck A = 1/2 b Wurzel(a²+b²) a/c = ab/2
Außendreieck B = 1/2 a Wurzel(a²+b²) sin(360°-90°-90°-tan-1(b/a)) = ab/2
A = a²+b²+a²+b² + ab/2 + ab/2 + ab/2 + ab/2
A = 2(a²+b²+ab)
Noch mehr Varianten von Mike Pfaffe, danke.
Durch den Punkt P wird das Dreieck DEA in zwei Teildreiecke geteilt. Dreht man das Dreieck PAD um P um 180°, so kommt D auf E zu liegen. Man kann zeigen, dass das entstehende Dreieck kongruent zu dem Dreieck ABC ist. Damit ergibt sich für den Gesamtflächeninhalt
Verschiebt man die Eckpunkte der Seitlichen Dreiecke parallel zu der Seite des großen Quadrates in der angegebenen Weise, so ändert sich deren Flächeninhalt nicht. Setzt man das obere rechtwinklige Dreieck unten an die entstehende Figur an, so erhält man das grüne Quadrat. Für den gesuchte Flächeninhalt erhält man dann:
Klappt man nun die grünen Dreiecke in das große Quadrat, entsteht nebenstehende Figur. Daraus erhält man den gesuchten Flächeninhalt zu:
