Serie-19

Aufgabe 11

"Das waren ja echt viele Wege, die es für so einen Turm gibt", sagte Lisa ganz erstaunt, als sie die Lösung sah. "Aber trotzdem soll der Turm noch einmal von a1 nach h8 wandern, aber dieses mal so, dass er alle Felder zwischendurch genau einmal - also wirklich drauf, aber eben nur einmal - betritt." "Fragst du wieder wie viele solche Wege es gibt?", hakte Bernd nach. "Aber nein, ein solcher Weg würde mir reichen." "Bist du sicher, dass so einen Weg gibt?", warf Maria ein. "Ich denke schon, aber wenn es keinen Weg geben sollte, wäre es ja interessant zu wissen, warum es nicht gehen kann." (Für eine vollständige Betrachtung des Problems also auch für nxn-Felder sind bis zu 6 blaue Punkte möglich).
"Ich möchte mir mal ein Überblick über das Schachbrett verschaffen." "Wie das?" "Nun ich stelle mir vor, dass ich über der rechten unteren Ecke (h1) unseres Schachbrettes (Größe wie gehabt: 8 x 5 cm) in einer Höhe von 40 cm schwebe und auf die untere Kante des Feldes a1 schaue. Unter welchem Winkel sehe ich dann wohl diese Kante?" Es gibt 6 rote Punkte - die jüngeren Teilnehmer können das auch konstruktiv mit einer maßstabsgerechten Zeichnung lösen.
*Interessant vielleicht auch noch die Frage, auf welcher Kurve sich dieser "Blickpunkt" in Richtung untere Ecke von a1 bewegen müsste, so dass der Blickwinkel immer gleich bleibt. Für eine elegante Lösung gibt es noch ein paar rote Punkte dazu.

Lösung

Es gibt auf dem 8x8-Feld keinen solchen Weg. Die Anzahl der zu betretenden Felder ist 63 (a1 scharzes Feld ist ja Startfeld).Da sich die Farbe eines Feldes mit jedem Schritt ändert, sind die "ungeraden" Felder weiß un die "geraden" schwarz. Bei dem 8x8-Feld wäre das 63. Feld aber schwarz - Widerspruch.
Für n folgt nun, es sind n² - 1 Schritte auszuführen.
Ist n gerade, dann ist die Schrittzahl ungerade, das letzte Feld müste weiß sein, ist aber schwarz - es gibt also keinen solchen Weg.
Ist n ungerade, dann ist die Schrittzahl gerade, d.h. das letzte Feld müste schwarz sein und das ist es ja auch, also gibt es solche Wege, ein einfacher ist ganz nach rechts, eins hoch, ganz nach links, eins hoch, ganz nach rechts usw.
Die Strecken AC und CD sind gleich lang (40cm). Damit sind ∠ DAC und ∠ CDA gleich groß und damit 45°.
Für den ∠ CDB gilt. tan CDB = BC / CD = 35 cm / 40 cm.
∠ CDB = 41,18°
Der gesuchte Sehwinkel ∠ BDA ist dann: 45° - 41,18° = 3,82°
Die zusätzliche Aufgabe wurde durch Felix Karu ausführlich beschrieben, danke.
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