Serie-19

Aufgabe 12

"Ja, so ist das, mal gibt es sehr viele Wege (Aufgabe 226) und mal gibt es gar keinen (Aufgabe 227)", meinte Mike. "Lasst uns zum Ende der Schachserie noch einmal auf die erste Aufgabe zurückkommen." "Wie meinst du das?“, fragte Bernd.
"Nun, da hatten wir  diese schöne Schachpyramide in schwarz und weiß. Ein Vati aus der Gruppe, die wir betreuen, hat diese aus Buchenholz noch einmal gebaut. Das heißt, die dunklen Flächen müssen noch eingefärbt werden. Wie groß ist die Fläche, die eingefärbt werden muss, wenn alle sichtbaren Flächen, auch unten, eingefärbt werden? Die Kantenlänge eines einzelnen Feldes ist - wie bei allen anderen Aufgaben auch - 5 cm." (6 blaue Punkte).
"Damit man alle Flächen sieht, müsste bei einer Ausstellung die Pyramide auf eine Art Stab gestellt werden." "Ist das nicht sehr wacklig?, gab Mike zu bedenken. "Also ich denke, wenn auf einem sehr stabilen Metallstab eine 5 cm große Scheibe angebracht wird und die Pyramide mit der 64-Feld-Seite so darauf gestellt wird, dass der Mittelpunkt des Kreises an der Stelle der Pyramide liegt, wo sie im Gleichgewicht ist, sollte es gehen." "Da hast du Recht, aber wo ist diese Balancestelle?" (6 rote Punkte)
Bernds Vater fand die Ausstellungsvariante auch gut und meinte: "Ich hoffe , dass es doch ab und an mal noch eine Aufgabe auf dem Schachbrett geben wird". Aber klar doch.

Lösung

Das Bild zeigt die Schachpyramide gedreht. Nimmt man das obige Bild hinzu lassen sich die schwarzen Flächen schnell auszählen.
Von oben und unten sieht man jeweils 32, von den Seite sind jeweils 16 erkennbar. das ergibt zusamman 128. Eine Fläche ist 5cm x 5 cm = 25 cm² groß. Es sind also insgesamt 3200 cm².
Eine andere Variante von Linus-Valentin - Klasse 4, danke.
Als erstes muss für jede Stufe (Ebene) die Anzahl der schwarzen Flächen ermittelt werden.
Ebene 1         24 schwarze Flächen (jeweils 8 an den sichtbaren Kanten und 4 an den unsichtbaren)
Ebene 2         18
Ebene 3         18
Ebene 4         12
Ebene 5         12
Ebene 6         6
Ebene 7         6
Ergebnis:         96
Zusätzlich muss noch die Anzahl schwarzer Felder von der Unterseite dazu gerechnet werden, sodass insgesamt 96 + 32 = 128 Flächen bemalt werden müssen. Für die Gesamtfläche die bemalt werden muss, muss die Anzahl der farbigen Flächen mit der Fläche eines farbigen Felds multipliziert werden.
A = 128 * 5*5cm²
A = 3200 cm² = 0,32 m²

Die Variante von Hannah, danke.      als pdf     
Den Schwerpunkt und damit die Balancestelle war nicht so einfach. Dass dieser unter der wei&slig;en Hauptdiagonale liegen muss, ist allen Beantwortern klar gewesen. Fehler gab es aber, dass die Aufgabe auf die "Mittelfläche" bzw die "Mittelwürfel" reduziert haben.
Hier die Variante von XXX, danke.

Schwerpunkt der Pyramide

Wir berechnen für jede "Schicht" das Drehmoment um die linke untere Kante:

Die Mitte der gesuchten Fläche muss 1296/204 = 106 / 17 halbe Seitenlängen von der linken (und damit auch von der hinteren) Kante der Pyramide entfernt sein, also 15,88 cm)

Hier noch die Variante von Wadim, danke.
Unsere Aufgabe ist einen Schwerpunkt für die Pyramide zu finden. Dafür haben wie die Formel
Als Koordinatenursprung wählen wir den linken hinteren Rand des Brettes.
Die Summe im Nenner: 204 (die gesamte Anzahl der Würfel ist von Aufgabe 1 bekannt) x 5³ (die Volumen eines Würfels).
Die Summe in Zähler: 5³ (die Volumen eines Würfels) x n² (n ist die Anzahl der Würfel in einer Reihe) x n/2x5 (Koordinate des Schwerpunktes einer Reihe).
Also 5⁴/2 x (1³+ ... + 8³)=5⁴/2 x (n(n+1)/2)²=54/2 x 36².
Die Koordinaten von Schwerpunkt sind (15,9; 15,9). (15,9 cm von Koordinatenursprung).