Serie-19

Aufgabe 10

"Würfel auf dem Schachbrett hatten wir ja schon, aber die Würfelnetze, die fand ich richtig gut", meinte Bernds Opa, der seine Herbsterkältung überstanden hatte und nun wieder mal zu Besuch war. "Die Aufgabe mit den Springern kannte ich schon, denn es ist eine sehr alte Aufgabe - sie soll von Guarino Guarini stammen, der im 17. Jahrhundert lebte. Ich habe für euch auch noch eine einfache Aufgabe. Ein normales Schachbrett hat ja 64 Felder, da lassen sich schnell mal die Randfelder auszählen. Aus wie vielen Feldern besteht ein Super-Schachbrett, welches 300 Randfelder hat?" 3 blaue Punkte.
"Als ich die zweite Aufgabe der Schachserie gesehen habe, ist mir noch eine Aufgabe eingefallen. Wenn man von a1 nach h8 in Einerschritten mit einem Turm geht, braucht man genau 14 Schritte. Aber wie viele solcher 14-Wege gibt es?" 6 rote Punkte. "Na Opa, da hast du uns ja noch eine Rätselnuss aufgegeben, aber wir werden es schon schaffen.", meinte Bernd.

Lösung

blau:
Ein n x n-Feld hat 4n - 4 Randfelder- 4 Seiten mit n, wobei die doppelt gezählten abgezogen werden müssen.
Beispiel: Das normale Schachfeld 4 x 8 -4 = 28 Randfelder (lässt sich leicht nachzählen) und 64 Felder (64=8²).
300 Randfelder --> 4n - 4 = 300 --> 4n = 304 --> n = 76 --> 76² = 5776
Es sind also 5776 Felder auf einem Brett, welches dann genau 300 Randfelder hat.
Für die Wegezahl verwende ich hier die Lösung von Felix Karu, danke.
Wie viele Möglichkeit gibt es 7 Schritte nach rechts und 7 Schritte nach unten anzuordnen?
Gesamtschritte 14, Rechtsschritte 7, Abwärtsschritte 7.
Anzahl der Möglichkeiten: A = 14! / ( 7!* 7!) = 3432
Von (r,r,r,r,r,r,r,a,a,a,a,a,a,a) bis (a,a,a,a,a,a,a,r,r,r,r,r,r,r)
Für eine nxn Feld gibt es A = (2 * (n - 1))! / ((n - 1)!* (n - 1)!) = (2 * n - 2)! / ((n - 1)!* (n - 1)!)
Hier noch die Lösung von Wadim, echt stark, danke.
In jedes Feld habe ich die Anzahl der Möglichkeiten, dieses Feld zu betreten, hineingeschrieben. Man sieht, dass eine Zahl die Summe der Zahlen ist, die neben ihm stehen und sie berühren. Dadurch ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Wege. Hier ist mein Bild: