Serie-19

Aufgabe 6

Die Teilung des Schachbrettes war ja im wahrsten Sinne eine verschlungene Angelegenheit, also gar nicht so einfach".  "Der Meinung bin ich auch", meinte Bernd. "Es gibt doch sicher noch andere Schachbrettformen als immer nur das quadratische 8x8-Feld." "Aber klar doch, der Schachturm war schon ein Beispiel für eine andere Variante, wobei der sich ja wie ein normales Brett bespielen ließ", gab Maria zu bedenken. "Bevor wir uns solchen Brettern zu wenden, habe ich noch was anderes", sagte Mike und zeigte den anderen seine Aufgaben.
Es soll das Schachbrett (a = 40 cm) genommen werden. Auf welchen Feldern (Ränder) liegen die zwei Ecken des größten gleichseitigen Dreiecks, welches auf das Schachbrett passt, wenn die  dritte  Ecke genau in der Ecke von h1 (unten rechts) liegt. Wie groß ist dieses Dreieck? (Länge, Umfang und Fläche) - 6 rote Punkte. 3 blaue Punkte gibt es für die größtmögliche Anzahl von Springern auf einem Schachbrett, die sich nicht bedrohen - Begründung nicht vergessen.

Lösung

blaue Aufgabe von XXX, danke
Das Springerproblem hat prinzipiell zwei Lösungen mit einer Idee: Zwei Springer auf gleichen Farben bedrohen einander nicht! Mithin kann man 32 Springer, eben farbgleich aufs Brett stellen. Und mehr geht nicht, da sie jedes andersfarbige Feld bedrohen!
Leider begründet das noch nicht, dass man nicht mehr Springer unterbringen kann, wenn man bei einem zweiten Versuch die beiden ersten Springer z.B. auf aneinander grenzende Felder stellt.
Jeder Springer besetzt ein Feld und bedroht bis zu acht leere Felder. Ein leeres Feld kann aber von bis zu acht Springern bedroht werden, sodass letztlich pro Springer ein Feld besetzt, maximal ein zusätzliches Feld bedroht wird. Damit sind wir bei den 50% der Felder, die man besetzen kann.
Diese Argumentation kümmert sich nicht um Effekte am Rande des Schachbrettes, wo Springer "am Rande" auch mal nur zwei Felder kontrollieren, andererseits ein Feld auch nicht von bis zu acht Springern bedroht werden kann. Wie gewagt der 50%-Schluss ist, zeigt das 2x2-Brett, auf welchem man 100%, nämlich 4 Springer stellen kann.
rote Aufgabe von Doreen N., danke
Die Diagonale teilt das Brett, das gesuchte gleichseitige Dreieck liegt je zur Hälfte in einer der beiden Hälften des Brettes. Die beiden anderen Ecken des größten gleichseitigen Dreiecks berühren das Brett links und oben, in den Ecken beträgt der winkel jeweils 60°. Unterhalb des Dreiecks entsteht ein weiteres Dreieck mit den Winkeln 15° rechts unten((90-60)/2) und 75°links(180-90-15).Nun können wir die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks berechnen.
sin75°=40/x
x=41,41
und nun die noch unbekannte dritte Seite des rechtwinkliges Dreiecks unten sin15°=a/x
a=10,72
damit liegen die Ecken in den Feldern a3 und f8 ->das Ganze lässt sich auch auf das rechtwinklige Dreieck oben rechts übertragen das gleichseitige Dreieck:
Länge x =41,41
Umfang u=3*x=124,23
Flächeninhalt A=x²/4*Wurzel3=742,56