Serie-19

Aufgabe 4

"Die Könige sind schon wichtig, aber wie sieht es mit dem Brett selber aus. Habt ihr da eine Idee?", fragte Lisa. "Aber klar doch", meinte Bernd.
"Es geht nicht um die Aufgabe mit den Reiskörnern, denn die kennt ja jeder. Wir nehmen mal das Schachbrett von letzter Woche. Jedes der Felder war da 5 cm groß. Wie groß ist der kleinste Kreis, in den das Schachbrett gerade so rein passt. (Für die rechnerische oder zeichnerische Lösung - mit Beschreibung - gibt es 4 blaue Punkte.)
Die Schachbrettkugel sieht ja erst mal nicht schwierig aus. Der Umfang der Kugel sei gleich dem Durchmesser des größten Kreises, der in das obige Schachbrett hineinpasst.
Wie schwer wäre eine solche Kugel aus massivem Gold? - 3 rote Punkte. Wer eine gute richtige Lösung zum zweiten Teil hat, bekommt noch mal richtig 6 rote Punkte dazu. Wie groß ist der Flächeninhalt des Feldes e5 - das mit dem K?"

Lösung

blau: Der kleinste Kreis, der um das Schachbrett passt, ist der Umkreis des Quadrates. Das Quadrat hat eine Größe von 8 mal 5 cm gleich 40 cm. Der Umkreis lässt sich recht leicht konstruieren. Diagonalen einzeichnen und vom Schnittpunkt der Diagonalen einen Kreis zeichnen,der durch die eckpunkte des Quadrates geht. Der Durchmesser des Kreises hat also die Länge der Diagonalen. Die Länge lässt sich mit e = Wurzel (2) * 40 cm auch berechnen und ergibt dann:
d= 56,57 cm bzw. r = 28,28 cm.
Der größte Kreis der in (auf) das Schachbrett passt hat einen Durchmesser von 40 cm. Die Kugel hat also einen Umfang von 4 * 5 cm gleich 40 cm
Damit ergibt sich der der Radius zu 6,36 cm. Mit V = 4/3 π r³ ergibt sich das Volumen zu: 1080,8 cm³.
Da jeder cm³ Gold 19,3 g wiegt (Dichte) hat die Kugel eine Masse von 19,3 * 1080,8 g und das sind umgerechnet fast 20858 g - also fast 21 kg. - Wahnsinn
Der zweite Teil der Lösung von Felix Karu, danke.
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