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Aufgabe 10

262. Wertungsaufgabe
"Also ich fand die Logikaufgabe der letzten Woche ganz schön knifflig, um so schöner, dass ich sie dann doch noch heraus bekam," meinte Bernds Opa, der wieder mal zur Tüftlerrunde gestoßen war." In einem älterem Spielebuch habe ich verschiedene Mühlespielvariationen entdeckt. Einfach, aber genial." Lass hören."
"Bei einer der Varianten ist es so: Man konstruiert ein regelmäßiges Fünfeck. Die Mittelpunkte der Seiten werden ermittelt. Die fünf Mittelpunkte werden zu einem Fünfeck verbunden. Nun wiederholt sich das Ganze. Mittelpunkte -- neues Fünfeck usw. Bis zum Schluss in dem ersten Fünfeck vier weitere Fünfecke drin sind. Die Mittelpunkte des äußeren Fünfeckes werden mit dem jeweils direkt innen liegenden Mittelpunkt der Seite des kleinsten Fünfeckes verbunden. Für fünf blaue Punkte soll die Zahl der Spielpunkte ermittelt werden. (Spielpunkte sind die Stellen, wo eine Mühle gebildet werden darf, also 3 Punkte, die durch eine Linie miteinander verbunden sind. 2x5 rote Punkte soll es für die Gesamtlänge aller Linien geben, die auf dem Spielbrett sind. (Das erste Fünfeck hat eine Kantenlänge von 20 cm. 5 rote Punkte, wenn die Aufgabe sauber konstruktiv gelöst wird.)"

Lösung

Fünfeck-mühle Links sieht man eine Zeichnung des Spielfeldes. Zählt man die Punkte aus, so erkennt man, dass es genau 30 Punkte sind, die zur Mühlebildung geeignet sind.
Die Fünfecke sollen regelmäßig sein, daraus folgt, dass der Winkel AMD (360° : 5) 72° groß ist. (M – Mittelpunkt des Umkreises.) Der Winkel BAC ist dann als Basiswinkel des Dreiecks AMD 54° groß. (54° + 54° + 72° = 180°). MC ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks AMD. (Höhe über der Basis teilt die diese und das soll C ja machen.) Damit ist der Winkel AMC 36° groß. Daraus folgt Winkel BCA ist gleich (180° - 90° -54°) = 36°.
cos BCA = BC/AC also BC = AC *cos BCA.
Auf Grund der Ähnlichkeit der Figuren setzt sich die Berechnung der halben Fünfeckseiten fort.
u = 10 * AC + 10 * AC*cos BCA + 10 *AC*cos BCA*cos BCA + 10 * AC*cos BCA*cos BCA*cos BCA+ 10 * AC*cosBCA*cos BCA*cos BCA*cos BCA
u= 10 * AC(1+ cos BCA + cos BCA*cosBCA + cos BCA*cos BCA*cos BCA + cos BCA*cos BCA*cos BCA*cos BCA)
Dazu kommen noch die nach innen führenden Längen l:
Es gilt hier:
AB = AC* sin BCA, wieder kommt die Ähnlichkeit ins Spiel, denn die Verkleinerung setzt sich nach innen noch drei mal fort.
l = 5* AC* sin BCA + 5* AC* cos BCA*sin BCA + 5* AC* cos BCA* cos BCA* sin BCA + 5* AC* cos BCA* cosBCA* cos BCA* sin BCA
l = 5*AC( sin BCA + cos BCA* sin BCA + cos BCA* cos BCA* sin BCA + cos BCA* cos BCA* cos BCA* sin BCA)
l und u müssen noch addiert werden.
342, 14 cm + 48,77 cm = 390,91 cm