Serie-23
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Aufgabe 12
276. Wertungsaufgabe 
"Hallo Lisa, was machst du denn mit dem Schachbrettmuster?", fragte Bernd. "Ich bereite unseren Mathezirkel vor. Das Schachbrettpapier (8x8 - wie üblich) soll durch Zerschneiden entlang der Kanten in vier gleichgroße und zueinander kongruente Stücke zerteilt werden." "Da fallen mir sofort zwei ganz einfache Varianten ein," meinte Mike, der gerade vom Sport gekommen war. "Mir auch, meinte Bernd, "aber ich bin mir sicher, es gibt noch mehr Möglichkeiten." Für jede echt unterschiedliche Variante gibt es einen blauen Punkt - für besonders originelle auch 2.
"Für meine Aufgabe eignet sich das Schachbrett nicht", grübelte Bernd. "Lass hören". "Ihr sehr auf dem Bild das große Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. In diesem befindet sich das Quadrat EFGH. Die Seite EF liegt auf der Seite AB. Die Punkte GCDH bilden ein gleichschenkliges Trapez.
Wie groß muss das innere Quadrat sein, wenn dessen Flächeninhalt genau so groß sein soll wie der des Trapezes GCDH?" - 5 rote Punkte
Lösung
Für die blaue Aufgabe werden hier nach und nach die eingesandten Lösungen vorgestellt, ob das alle sind, möge die Zukunft zeigen. Danke u.a. an Elisa, Rafael und Carl.
Entscheidend für die Verschiedenheit der Lösungen wird die Form der Teile angesehen, da nach dem Ausschneiden nur die Form entscheidet.
Wegen der angestellten Überlegungen der Teilnehmer, sind allerdings teilweise verschiedene Muster, die auf die gleiche Lösung führen, mit dargestellt. Z.B. Bild 5 und 6 in der dritten Zeile
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Hier die Varianten (109 !!!) von Elisa, danke. 276.pdf
Jetzt wird es ganz verückt: 734 (wahrscheinlich alle) Lösungen: 276_1.pdf vielen Dank an den nicht genannt sein wollenden.
Einfacher geht die Aufgabe möglicherweise, wenn das Quadrat einfach an den linken "Rand" geschoben wird. Die Flächeninhalte ändern sich dadurch nicht.
Die Seitenlänge des großen Quadrates ist a. Die Seitenlänge des kleinen Quadrates sei x.
Der Flächeninhalt des Trapezes lässt berechnen: (a+x)/2 · (a-x) . Dies soll gleich x² sein.
(a+x)/2 · (a-x) = x² | · 2
a² - x² = 2 x² | + x²
3 x² = a² | : 3
x² = a²/3 | √
etwas aufgehübscht
x = 1/3 · √3 · a ≈ 0,5773 · a