Serie-23

Aufgabe 6

„Wir hatten doch vor kurzem die Umkreiskonstruktion bei gleichseitigen Dreiecken mit unserer Mathematikgruppe besprochen, erinnert ihr euch?“, fragte Maria. „Aber klar.“ „Jetzt hat einer unserer Spezialisten festgestellt, dass bei seiner Konstruktion der Umkreisradius und der  Inkreisradius in einem sehr einfachen Verhältnis stehen.“  (2 blaue Punkte für ein konstruktiv gelöstes Beispiel oder 4 blaue Punkte für einen  Beweis.)
„Nun hat ja bekanntlich jedes Dreieck einen In- und einen Umkreis, deren Radien in einem Verhältnis stehen. ?? Mit dem Verhältnis der blauen Aufgabe habe ich es mit rechtwinkligen Dreiecken versucht??, doch das hat erwartungsgemäß nicht geklappt. Aber ich habe rechtwinklige Dreiecke gefunden, wo das Verhältnis von r_u zu r_i genau 2,5 war.“,  berichtete Bernd.  In welchem Verhältnis müssen die Katheten a und b stehen (a < b), damit das r_u zu r_i -Verhältnis genau 2,5 beträgt? - 6 rote Punkte

Lösung

In dem Dreieck sind Um- und Inkreis eingetragen. Das es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, sind die „besonderen Linien“ identisch. - die Höhen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden. Alle schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt der beiden Kreise. Dieser Punkt teilt die Linien im Verhältnis 2 zu 1 - als Eigenschaft des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden in jedem Dreieck. Damit ist der Umkreisradius genau doppelt so groß wie der Inkreisradius.
Es gab auch spannende Überlegungen, die auf dem Satz des Pythagoras beruhten bzw. die Eigenschaft sin 30° = 0,5 nutzten.
rot: a,b Katheten, c- Hypotenuse, A - Flächeninhalt
Eigenschaft 1: r_u = c/2
Eigenschaft 2: A = ab/2
allgemeine Eigenschaft von Dreiecken: r_u = abc/4A (hier steckt Eigenschaft 1 drin) und r_i = 2A/(a + b + c)
Es soll r_u =2,5 r_i sein. ∗
c/2 = 2,5 · ab/(a + b + c)
c = 5 · ab/(a + b + c), und c = √ a² + b² liefert mit einer recht komplizierten Umformungen das gewünschte Ergebnis.
Ein Einsetzen des bekannten 3 - 4 - 5 Dreiecks ergibt, dass dieses die Bedingungen erfüllt, so lässt dann mittels genauer Betrachtungen zur Ähnlichkeit zeigen, dass das Verhältnis a:b=3:4 das Gesuchte ist.
Ein Weg, den auch die Lösung von Samuel K aufzeigte, sei noch vorgestellt.
Die Dreiecke AZM und AMY bzw. die die Dreiecke BMZ und BXM sind nach dem Kongruenzsatz sSw jeweils kongruent zueinander. Es sind aus dem gleichen Grund die Dreiecke MCY und MXC kongruent zueinander. Damit ist MXCY ein Quadrat mit der Kantenlänge r (=r_i). Weiterhin folgt: b1 und c1 sind gleichlang und c2 und a1 sind ebenfalls gleich lang.
r = b - b1 (mit b1 = c -c2) ⇒
r = b - (c - c2) (mit c2 =a1 = a - r) ⇒
r = b - (c - (a - r)) ⇒
r = b - c + a -r ⇒
2r = b - c + a ⇒ r = 0,5(b - c + a)
Wegen ∗ ⇒ r/r_u= 1/2,5 = 0,4 = (0,5(b - c + a))/(0,5c) = (b - c + a)/c = (a +b )/c -1 ⇒
0,4 = (a +b )/c -1 | + 1 ⇒
1,4 = (a +b )/c | · c ⇒
1,4c = a + b mit c = √ a² + b² ⇒
1,4√ a² + b² = a + b |² ⇒
1,96 a² + 1,96b² = a² + 2ab + b² | -(a² + 2ab + b²) ⇒
0,96 a² - 2ab + 0,96 b² = 0 | : (96/100) ⇒
a² - 50/24 ab + b² = 0 | Lösungsformel für quadratische Gleichungen ⇒
a_1,2 = 25/24 b ± √(625/576)b² - b²
a_1,2 = 25/24 b ± √(49/576)b²
a_1,2 = 25/24 b ± 7/24 b ⇒
a₁ = 18/24 b = 3/4 b und a₂ = 32/24 b = 4/3 b ⇒
a und b stehen im Verhältnis 3 : 4 bzw. 4 : 3.