Serie-23

Aufgabe 3

"Das war ja eine geniale Schnippelei bei der vorletzten Aufgabe. Ich hatte schon so eine Ahnung, dass dies mit dem Satz des Pythagoras zu tun hat, wegen der Quadrate und so.", meinte Maria, die gerade die Ergebnisse der Spezialistengruppe präsentierte. "Apropos Pythagoras, wir hatten mal so eine Aufgabe bekommen, dass man mit einem der Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras eine Strecke mit der Länge von Wurzel aus 3 konstruieren konnte." "Da hast du Recht Lisa, ich kann mich erinnern." "Na siehst du und nun sollen wir sogar die Strecke konstruieren, die gleich der 4. Wurzel aus 3 entspricht, da stehe ich noch auf dem Schlauch." - 4 rote Punkte für die Konstruktionsbeschreibung (mit Begründung).
"In unserer Gruppe haben wir neulich Quadrate untersucht. Leicht war zu sehen, dass die Diagonalen immer länger waren als die Quadratseiten. Da taucht die Frage auf, ob es Rhomben gäbe, deren eine oder gar beide Diagonalen so lang wären, wie die Seiten."(3 + 2 blaue Punkte)

Lösung

blau: Ich entscheide mich dafür, mit der Untersuchung der Diagonale BC zu beginnen. Die Seiten AB und AD (= a) sind gleich lang, also ist das Dreieck ABD gleichschenklig. Wird die Länge von BC gleich a gewählt, so ist ein Rhombus gefunden, dessen eine Diagonale so lang ist wie die Seiten. Es gibt aber zugleich auch nur dieses eine Rhombus mit BC = a. Dessen zweite Diagonale (e) ist dann automatisch länger. Dies lässt sich mittels Kosinussatz oder der Formel für die Höhe im gleichseitigen Dreieck (= Hälfte der anderen Diagonale e).
e = a² · √ 3
Wird mit der andren Diagoanle begonnen gilt das oben geschriebene analog.
rot: sehr ausführliche Lösung von Samuel Kilian, danke
Man nehme eine Strecke SB der Länge 1 und verlängere diese. Mit dem Zirkel kann man die Strecke noch 3 mal um die Länge 1 verlängern.
Man hat dann eine Strecke AB mit der Länge 4, die geviertelt ist. Der Punkt S liegt auf dieser Strecke, 1 von B entfernt und 3 von A. Dann zeichne man einen Halbkreis mit dem Mittelpunkt M in der Mitte der Strecke AB mit dem Radius der Hälfte der Länge der Strecke AB. Der Radius ist dann 2.
Nun konstruiert man eine Senkrechte zu AB, die AB im Punkt S schneidet. Der Schnittpunkt der Senkrechte mit dem Halbkreis ist der Punkt C. Nach dem Satz des Thales liegt jetzt ein rechtwinkliges Dreieck mit c=4, p=1 und q=3 vor.
Die Strecke SC ist die Höhe und hat die Länge Wurzel aus 3, da h*h=p*q=1*3 und somit h*h=3 (Höhensatz des Euklid).
Jetzt greift man mit dem Zirkel die Strecke SB ab, diese hat die Länge 1. Man kann somit auf der Strecke SC den Punkt P ermitteln. Die Strecke SP hat die Länge 1. Jetzt konstruiert man eine Senkrechte zu SC, die SC in P schneidet. Außerdem ermittelt man den Mittelpunkt der Strecke SC und zeichnet mit diesem Punkt als Mittelpunkt einen Halbkreis mit dem Radius (SC)/2. Der Schnittpunkt dieses Kreis mit der Senkrechten ergibt den Punkt Q, der nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck mit S und C bildet mit den Längen von (SC) = c' =√(3), p'=1 und q'=√(3)-1.
Da nach dem Kathetensatz des Euklid gilt: a*a=p*c, also hier a' * a' = p' + c' = 1*√(3) = √(3), ist a= "vierte Wurzel aus 3".
Anmerkungen von Thomas: 1. Es ist auch möglich nur mit dem Höhensatz oder dem Kathetensatz zu arbeiten. 2. Diese Konstruktion wird u.a. genutzt, um Teilung eines gleichseitigen Dreiecks zu ermöglichen, aus dessen Teilen sich dann ein Quadrat zusammensetzen lässt. siehe hier