Serie-23
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Aufgabe 5
269. Wertungsaufgabe "Immer wieder muss man Quadrieren und Wurzelziehen und das schon sehr lange im Verlaufe der Mathematikgeschichte", sagte Bernds Opa, nachdem er sich die letzten Aufgaben angeschaut hatte. "Das Quadrieren ist ja recht einfach. Zahl a mal Zahl a und fertig, aber wenn man das gemacht hat, ist die nächste Quadratzahl - also das Quadrat von (a+1) sogar ohne Multiplikation ermittelbar. Das bekommen (für 3 blaue Punkte) sicher auch die Mitglieder eures Mathezirkels heraus."
"Na Opa, so wie du guckst, hast du doch sicher auch einen Tipp für das Wurzelziehen", feixte Bernd. "Aber klar doch, zumindest eine gute Näherungslösung. Ich betrachte mal den Bereich bis zur 1000. Die Quadratzahlen zwischen 100 und 1000 kennt ihr doch sicherlich." "Die haben wir mal gelernt," sagte Maria, "aber für die kennen wir ja dann auch die Wurzel schon, interessanter wäre ja dann beispielsweise die Wurzel aus 230." "Na selbstverständlich.
Dann nehme ich doch gleich mal die 230. Die nächstkleinere Quadratzahl ist 225. Die Wurzel daraus ist 15. Also ist Wurzel 230 = 15,???. Für die Stellen nach dem Komma rechne ich nun die Differenz von 230 bis 225 aus, also 5. Dieses Ergebnis teile ich durch das Doppelte von 15. Dieses neue Ergebnis ersetzt die Fragezeichen." "Das probiere ich mal aus," meinte Mike. "Cool, Wurzel aus 230 mit dem Taschenrechner ist 15,16575... und die Näherung ergibt 15,1666... Damit unterscheiden sich die Ergebnisse nur um etwa 1/1000." Warum funktioniert das Verfahren so gut und wird es für Zahlen über 1000 eher besser oder eher schlechter? - 4 rote Punkte.
Lösung
blau: ganz ohne Formel:
| Zahl | nächste Zahl | Quadratzahl | nächste Quadratzahl | Differenz |
| 10 | 11 | 100 | 121 | 21 |
| 11 | 12 | 121 | 144 | 23 |
| 12 | 13 | 144 | 169 | 25 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 100 | 101 | 10 000 | 10 201 | 201 |
12² = 144 ⇒ 13² = 144 + 2*12 + 1 = 169
mit Formel:
(a+1)²= a² + 2*a +1 (binomische Formel)
rot: Lösung Samuel Kilian, danke.
Anmerkung: SQR - Quadrat einer Zahl, SQRT - Quadratwurzel aus einer Zahl
Näherung der Wurzel aus x:
Der Näherungswert für die Wurzel aus x heißt im Folgenden f(x) . Die in der Aufgabe beschriebene Näherung für die Wurzel aus x sieht aus wie folgt:
f(x) = n + ( x-SQR(n) ) / (2n) wobei SQR(n) die nächstkleinere Quadratzahl ist.
Um als Mensch die Näherung zu nutzen, muss n eine natürliche Zahl sein. Für den Beweis spielt es allerdings keine Rolle, ob n natürlich oder nur reell ist.
Ich nenne die Differenz zwischen SQR(n) und x im Folgenden e, so dass gilt SQR(n) =x - e und für die Näherung entsprechend f(x) = n + e / (2n).
e liegt zwischen 0 und 2n+1, ich betrachte also die Abweichung der Näherung vom tatsächlichen Wert für diese beiden Fälle. Ist e=0, so ist SQR(n)=x, so dass sich für die Näherung ergibt: f (x) = n + 0 / 2n = n = SQRT(x) . Wie zu erwarten war, stimmt die Näherung hier genau.
Ist e=2n+1, dann ist x=SQR(n+1) und n=SQRT(x) -1 , so dass die Näherung f(x)= SQRT(x) -1 + (x- SQR(SQRT(x) -1) ) / ( 2*(SQRT(x) -1) ) .
Will man die relative Abweichung A dieser Näherung für den echten Wert berechnen, muss man A = ( f(x) - SQRT(x) ) / SQRT(x) bilden.
Nach ein wenig Umformung ergibt sich dadurch für A: A = 1 / ( SQRT (x) -1) - 1 / SQRT(x) - 1 / (2*SQRT(x)*(SQRT(x) -1) )
Für einigermaßen große Werte von x strebt 1/(SQRT(x)-1) - 1/SQRT (x) von oben gegen 0 und -1/(2*SQRT(x)*(SQRT(x)-1) strebt von unten gegen 0.
Die Abweichung ist also sehr gering, schon für x=100 ist A = 1/180 = 0,556 % und das im Fall der größten Abweichung. Diese wird für große Werte von x sehr klein, für 1024 ist sie beispielsweise A = 1 / 1984 = 0,0504 % .
1. Durch oben gezeigte geringe Abweichung funktioniert die Näherung so gut.
2. Für große Werte (also Werte über 1000) funktioniert die Näherung besser als für kleine (x ≤000).
Das Bild zeigt die sich ergebenden Abweichungen:
