Serie-23

Aufgabe 8

„Die Aufgabe mit dem Zerschneiden haben wir in unserer Mathematikgruppe noch mal diskutiert. Dabei kamen wir auf ein anderes Problem.“ „Lass mal hören“, sagte Mike zu Lisa. „In ein Rechteck ABCD wird ein Dreieck ABX gezeichnet. X liegt dabei auf der Seite c des Rechtecks. Dabei entstehen auch die Dreiecke AXD und BCX.  Wo muss der Punkt X liegen, so dass der Flächeninhalt des Dreiecks AXD genau doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks BCX?“ „Haben das die Mitglieder der Mathematikgruppe herausgefunden?“, fragte Bernd nachdenklich. „Es hat einen kleinen Moment gedauert, aber dann stellte sich ja heraus, das war gar nicht so schwer.“ 6 blaue Punkte, wenn es gut und vollständig begründet wird.
„Ich habe hier noch so etwas Ähnliches“, sagte Maria. „Wieder geht es um ein Rechteck ABCD und um ein Dreieck im Inneren. Das Dreieck AXY hat die Eigenschaften, dass X auf der Seite b und Y auf der Seite c liegt. Es entstehen nun noch drei Dreiecke. Wie müssen X und Y gewählt werden, so dass die drei Dreiecke AYD, CYX und ABX alle den gleichen Flächeninhalt haben?“ - 8 rote Punkte

Lösung

blau:
Der Flächeninhalt des Dreiecks AXD ist gleich 1/2 · c₁d.
Der Flächeninhalt des Dreiecks BCX ist gleich 1/2 · c₂b.
Der erste Flächeninhalt soll doppelt so groß sein ⇒ 1/2 · c₁d= c₂b.
Wegen b=d ⇒ 1/2 · c₁b= c₂b. | :b
1/2 · c₁ = c₂
c₂ muss also halb so groß sein wie c₁ bzw. die Strecke c wird im Verhältnis 1 zu 2 geteilt.
rot:
Für die Flächeninhalte soll gelten:
1/2 · c₁d = 1/2 · c₂b₁= 1/2 · b₂a | · 2
c₁d = c₂b₁ = b₂a
Werden nun die Teilstrecken nicht absolut, sondern als Anteile von c bzw. b aufgefasst, lässt sich das so schreiben.
c₁cd = c₂cb₁b = b₂ba
(1-c₂)cd = c₂cb₁b = (1-b₁)ba
Wegen c = a und und b = d wird aus (1-c₂)cd = (1-b₁)ba
(1-c₂)ab = (1-b₁)ba und damit folgt (1-c₂)=(1-b₁) ⇒c₂ = b₁
Aus (1-c₂)cd= c₂cb₁b wird nun (1-c₂)ab = c₂b₁ab ⇒ (1-c₂)ab = c₂c₂ab | : ab
(1-c₂) = c₂² Diese Gleichung lässt sich leicht ausrechnen: c₂(und auch b₁) = 1/2 + 1/2 √5 = 0,618... (1/2 - 1/2 √5 entfällt.)
Die Gleichung (1-c₂) = c₂² lässt aber auch so schreiben: (1-c₂)/c₂ = c₂/1 und wird damit als Gleichung des goldenen Schnitts erkennbar.