Serie 32
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Aufgabe 3
375. Wertungsaufgabe„Habt ihr schon von den Zauberpunkten beim Falten gehört?“, fragte Bernds Großvater, als er die letzte Aufgabe von Maria gezeigt bekam. Allgemeines Kopfschütteln. „Passt auf. Ich nehme zum Beispiel dieses quadratische Stück Papier (ABCD – 10 cm groß). Ich markiere auf der Kante CD einen Punkt X, der zwei cm von D entfernt ist. Zuerst falte ich B zu dem Punkt X und streiche die Faltlinie glatt. Jetzt klappe ich den umgefalteten Teil wieder zurück. Nun falte ich den Punkt A auf den Punkt X und streiche die Faltlinie glatt. Wenn ich wieder das Quadrat vor mir liegen habe, sehe ich einen Punkt M – den Schnittpunkt der beiden Faltlinien. Das ist der Zauberpunkt.“ Wieder allgemeines Kopfschütteln. „Nehmt mal einen Zirkel, stecht in M ein und nehmt die Entfernung zu X in den Zirkel. Wenn ihr es richtig gemacht habt, dann geht der Kreis durch X, aber auch durch A und B.“ „Cool, das ist ja Zauberei!“ Für die Bestimmung des Radius des „Zauberkreises“ durch Falten und Abmessen – 2 blaue Punkte. Bei Berechnung des Radius werden es 5 blaue Punkte. Der Nachweis, dass die Zauberei für jede Lage des Punktes X auf der Kante CD funktioniert, bringt 5 rote Punkte.
Termin der Abgabe 06.12.2012 Deadline for solution is the 6th. december 2012.
375
“Have you ever heard of the magic points when folding paper?”, Bernd's granddad asked when Maria showed him the last problem. Everyone shook their heads.
“Look, I've got this square piece of paper (ABCD . 10 cm). I'm marking a point X on side CD 2 cm away from D. Now I'm folding B to meet X and smooth the fold well. Fold back. Now I fold point A to X, smooth the fold and fold back. The intersections of the two folds is the magic point.” Again, collective shaking of heads.
“Take your compass and place the point of your compass at M and draw a circle through X. If you did everything as I said, the circle not only passes through X, but also through A and B.”
“Magic!”
Determine the radius of the “magic circle” by folding and measuring – 2 blue points. If you calculate the radius – 5 blue points.
Show that the magic works for any position of X on side CD – 5 red points.
Lösung/solution:
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Günstig ist es nicht nur die "Knickfalten" zu haben, sondern auch die Strecke von X nach A bzw. C. Die Knickfalten sind dann die Mittelsenkrechten der Strecken. M ist somit der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks ABX. Dieser Schnittpunkt ist aber automatisch der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks. Somit müssen X, A und B auf einem Kreis liegen und das unabhängig von der Lage von X (zwischen C und D natürlich). Die Berechnung für auf r rund 6,5 cm. Verwendet werden kann die Tatsache der Halbierung der Seiten und des Senkrechtstehens der entsprechenden Funktionsbilder. Verwendet wurde aber die Formel für den Umkreisradius.