Serie 38

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Serie 38

Aufgabe 1

445. Wertungsaufgabe

 Logikaufgabe

Mike und Bernd waren vor kurzem beim Sportfest ihrer Schule. Gemeinsam mit Maria, Lisa und Felix waren sie in einem Team beim Ballweitwurf. Jeder hatte zwei Versuche. Im ersten Versuch wurden folgende Weite erzielt – 46,3 m, 48,1 m, 50,3 m, 51,7 m und 52,6 m. Jeder hatte noch einen zweiten Versuch. Die Ergebnisse waren 47,8 m, 48,6 m, 49,2 m, 50,4 m und 51,5 m. So richtig zufrieden waren sie nicht, aber es war auch nicht so verwunderlich, denn eigentlich trainierten sie Kegeln, Radsport, Handball, Fußball bzw. Volleyball. Wer erreichte welchen Platz (– beste Gesamtweite, bei gleicher Gesamtweite zählt die bessere Einzelleistung), welche Weiten beim ersten bzw. zweiten Versuch und welches Sportart trainieren die fünf? (Das „der“ schließt die Mädchen mit ein.)

1. Der Gewinner erreichte in beiden Versuchen als einziger mehr als 50 m, trainiert aber sonst nicht Kegeln.
2. Felix erreichte im ersten Versuch mehr als 50 m, im zweiten aber nicht die 49,2 m. Damit ist Felix schlechter platziert als der Volleyballer, welcher im zweiten Versuch 48,6 erreicht.
3. Maria blieb im zweiten Versuch unter 50 m.
4. Eine der Gesamtweiten war 97,8 m.
5. Der Radsportsportler, es ist nicht Mike, erreicht im ersten Versuch weniger als 50 m.
6. Der Handballer hat nicht den weitesten Wurf geschafft.
7. Lisa, die Fußball trainiert, übertraf in keinem Versuch die 50 m Marke.
6 rote Punkte

„ Passend zu euren Sportarten, die ihr trainiert, habe ich neulich ein paar Informationen in der Zeitung gelesen“, sagte der Opa von Maria und Bernd. Es gab je ein Turnier im Januar, Februar, März, April bzw. Mai. Die Austragungsorte waren Paris, London, Berlin, Prag bzw. Wien. Die Preisgelder lagen bei 2000 €, 4000 €, 8000 €, 12000 € und einmal sogar bei 20000 €. In welchem Monat fanden die Turniere statt, wie viel Preisgeld gab es für welche Sportart?
1. Im Fußball gab es 4000 € mehr als bei dem Turnier, welches in Prag stattfand. Das Fußballturnier fand nicht genau zwei Monate vor dem Radfahrturnier statt.
2. Im Februar gab es doppelt soviel Geld wie für den Handball.
3. Zwei Monate nach dem Volleyballturnier fand das Turnier in Wien statt.
4. Im März war das Turnier in Berlin. Dort gab es mehr als 2000 €.
5. Das Kegelturnier wurde in Paris durchgeführt. Es gab dort nicht die 8000 €.
6. Die 12000 € gab es in London.
7. Das Preisgeld vom April lag bei 4000 €.
Für die Lösung gibt es 6 blaue Punkte.

Termin der Abgabe 04.12.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 04.12.2014. Deadline for solution is the 04th. December 2014.

445 logic puzzle
Some time ago Mike and Bernd took part in their school's sports day. Together with Maria, Lisa and Felix they competed in ball-throwing. They had two tries each. In the first round the following results were achieved: 46.3m, 48.1m, 50.3m, 51.7m, and 52.6m. In the second round the results were: 47.8m, 48.6m, 49.2m, 50.4m and 51.5m. They weren't quite so happy with these results which is hardly surprising because each of them is into a completely different kind of sport: bowling, cycling, handball, football, and volleyball. Who reached which position (- best total throwing distance, if equal, best single distance counts), which distances did they reach in the first and second round and which kind of sport do they do? - 6 red points
1. The winner reached more than 50m in both tries but doesn't practise at bowling.
2. Felix reached more than 50m in the first round but not the 49,2m in the second round. That means his position is somewhere behind the volleyballer's.
3. Maria didn't break the 50m mark in the second round.
4. One of the total throwing distances was 97,8m.
5. Thy cyclist, who isn't Mike, threw less than 50m in the first round.
6. The handballer didn't throw farthest.
7. Lisa, who practises at football, did not throw farther than 50 m in any try.

"Matching your favourite sports I recently red some interesting facts in the newspaper", Maria and Bernd's granddad said.
There was a tournament in January, February, March, April and May respectively. The locations were Paris, London, Berlin, Prague and Vienna. The prize money was 2000€, 4000€, 8000€, 12000€ and for one tournament even 20000€.
In what month did the tournaments take place, where and how much money was there to win? - 6 blue points
1. The prize money for the football match was 4000€ higher than that for the Prague tournament. The football tournament did not take place exactly two months before the cycling competition.
2. In February there was twice as much money as there was for the handball tournament.
3. The Vienna tournament took place two months after the Volleyball tournament.
4. the Berlin tournament was in March. There the winner got 2000€.
5. The bowling competition was held in Paris. The prize money there was not 8000€.
6. There were 12000€ to be had in London.
7. The prize money in April was 4000€.

445 Problema di logica
Mike e Bernd sono stati poco fa al torneo sportivo della loro scuola. Stavano nella squadra del lancio con la palla di Maria, Lisa e Felix. Ognuno aveva due tentativi. Il primo tentativo ha riportato i seguenti risultati: 46,3 m, 48,1 m, 50,3 m, 51,7 m e 52,6 m. Tutti avevano poi un secondo tentativo. I risultati erano 47,8 m, 48,6 m, 49,2 m, 50,4 m e 51,5 m. Non erano però molto contenti, anche se non è strano, visto che si allenavano per il gioco dei birilli, ciclismo, palla a mano, calcio e pallavolo. Chi ha raggiunto quale posto (- migliore distanza complessiva; in caso di distanza complessiva uguale conta la miglior prestazione singolare), quale distanze ha raggiunto chi nel primo e nel secondo tentativo e quale disciplina sportiva praticano i cinque partecipanti?
(comprese le ragazze)

1. Il vincitore ha raggiunto in entrambi i tentativi come unico più di 50 m, ma non si allena con i birilli.

2. Felix ha raggiunto nel primo tentativo più di 50 m, nel secondo però no i 49,2 m. Per questo Felix ha raggiunto un posto peggiore del giocatore di pallavolo, che nel socondo giro ha raggiunto 48,6 m.

3. Maria nel secondo tentativo è rimasta sotto i 50 m.

4. Una distanza complessiva contava 97,8 m.

5. Il ciclista, che non è Mike, ha raggiunto nel primo giro meno di 50 m.

6. Il giocatore di pallamano non ha effettuato il lancio più lungo.

7. Lisa, che si allena giocando a calcio, in nessun tentativo ha superato i 50 m.

6 punti rossi.

“A proposito delle vostre attività sportive ed i vostri allenamenti, ho trovato recentemente delle informazioni nel giornale”, disse il nonno di Maria e Bernd.

Nei mesi di Gennaio, Febbraio, Marzo, Aprile e Maggio c´è stato in ciascun mese un torneo. I tornei avevano luogo a Parigi, Londra, Berlino, Praga e Vienna. I premi si aggiravano intorno ai 2000€, 4000€, 8000€, 12000€ e una volta 20000€. In quale mese hanno avuto luogo i tornei, quanti soldi sono stati assegnati a quale disciplina sportiva?

1. Per il calcio sono stati assegnati 4000€ in più del torneo, che ha avuto luogo a Praga. Il torneo di calcio non ha avuto luogo esattamente 2 mesi prima del torneo di ciclismo.

2. A Febbraio sono stati assegnati il doppio dei soldi come per la pallamano.

3. Due mesi dopo il torneo di pallavolo ha tenuto il luogo il torneo di Vienna.

4. A Marzo c´era il torneo a Berlino. Lì sono stati assegnati più di 2000€.

5. Il torneo del gioco con i birilli è stato fatto a Parigi. Lì sono stati assegnati gli 8000€.

6. I 12000€ sono stati assegnati a Londra.

7. Il montepremi di Aprile era di 4000€.

Per la soluzione si danno 6 punti blu.

Lösung/solution/soluzione:
mal ohne Herleitung:
Blau:
Januar: 2000, Kegeln, Paris
Februar: 8000, Volleyball, Prag
März: 20000, Radfahren, Berlin
April: 4000, Handball, Wien
Mai: 12000, Fußball, London

rot:
Platz 1, Mike, 51,7, 50,4, Handball
2, Maria, 52,6, 48,6, Volleyball
3, Felix, 50,3, 47,8, Kegeln
4, Bernd, 46,3, 51,5, Radfahren
5, Lisa, 48,1, 49,2, Fußball

Aufgabe 2

446. Wertungsaufgabe
„Das sieht aber gut aus, was du da konstruiert hast“, sagte Mike zu Lisa.Bild groß
“Ja, das finde ich auch. Nach dem ich das regelmäßige Achteck (Kantenlänge 10 cm) einmal hatte, konnte ich den Rest mit nur einer Einstellung meines Zirkels erreichen.“
Welche Zirkelspanne hat Lisa verwendet? Wie lang sind die Umfänge des Achtecks und der beiden Sterne? Wie viele Eckpunkte sollte ein regelmäßiges n-Eck mindestens haben, damit eine vergleichbare Konstruktion gelingt? -6 blaue Punkte
Betrachtet man das Bild so, dass in dem grünen Achteck ein rötlicher Stern liegt, der von einem blauen Stern teilweise verdeckt wird, so ist die Frage, wie groß die die grüne, rötliche bzw. blaue Fläche? - 8 rote Punkte.

Termin der Abgabe 11.12.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.12.2014. Deadline for solution is the 11th. December 2014.

446 “That looks interesting what you've constructed”, Mike said to Lisa. picture enlarge
“I think so, too. Once I had the regular octagon (sides 10cm) I was able to draw the rest with just one distance in my pair of compasses.”
What radius did Lisa use? What are the perimeters of the octagon and the two stars? How many vertices should a regular n-gon have at least in order to allow a construction like this. - 6 blue points
If you see the figure as being a green octagon partly covered by a red star which in turn is partly covered by a blue star it would be interesting to know the areas of the green, the red and the blue shape. - 8 red points.

“È molto bello quello che hai costruito”. Disse Mike a Lisa. Bild groß
“Si, lo penso anch´io. Dopo che una volta avevo l’ottagono regolare (lunghezza degli spigoli 10 cm), ho potuto raggiungere il resto con una sola impostazione del compasso.”
Quale palmo ha usato Lisa? Quanto sono lunghe le circonferenze dell´ottagono e delle due stelle? Quanti punti angolari dovrebbe avere un regolare angolare n, cosicché riesce una costruzione comparabile? – 6 punti blu.
Se si considera l´immagine in tal modo, che nell´ottagono verde ci sta una stella rossa, che viene in parte coperta da una stella blu, così la domanda è, quanto è grande l´area verde, rossa e blu? – 8 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:

Hier die Superlösung, von Linus, dals --> als pdf <--

Aufgabe 3

447. Wertungsaufgabe

„Schon wieder ein tolles Bild, was du da konstruiert hast“, sagte Mike zu Lisa.
--> Bild groß <--
„Die Konstruktion ist ganz einfach. Ich zeichne ein beliebiges Dreieck ABC. Die Seite c wird über A hinaus verlängert und der Punkt D ist von A genau soweit wie B von A. Entsprechend erhalte ich die Punkte E und F. Wie ich die blauen und roten Dreiecken erhalten habe, siehst du ja.“
Es ist zu beweisen, dass alle sieben Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben – 7 blaue Punkte (mit Hilfe der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken geht das recht schnell, aber auch mit elementaren Beziehungen ist der Nachweis nicht so kompliziert.)
Wie erhält man ein solches Dreieck ABC möglichst genau, wenn man von einem beliebigen Dreieck DEF ausgeht? - 7 rote Punkte

Termin der Abgabe 18.12.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.12.2014. Deadline for solution is the 18th. December 2014.

447

“Another great image that you constructed”, Mike said to Lisa.
--> Bild groß <--
“Yes, it is really easy to construct. Just draw some kind of triangle ABC. Extend side c so that point D is the same distance from point A as B is from A. Find points E and F the same way. It's easy to see how I got the blue and red triangles.” Now show that all seven triangles have the same area. - 7 blue points (it's easy to show using the general formula but even with elementary relations it shouldn't be too difficult.) How can you construct triangle ABC when you start with any given triangle DEF? - 7 red points

“Di nuovo un bel disegno che hai costruito”, disse Mike a Lisa.
--> grande <--
“La costruzione è molto semplice. Disegno un triangolo qualsiasi ABC. Il lato c viene prolungata al di là di A ed il punto D è distante da A quanto il punto B da A. Conseguentemente ottengo i punti E e F. Come ho ricevuto i triangoli blu e rossi lo vedi.”
È da dimostrare che tutti e sette triangoli hanno la stessa area. - 7 punti blu.
(usando la formula principale per l´area triangolare si risolve il problema ben presto, ma anche con relazioni elementari la prova non è difficile.)
Come si può ottenere un tale triangolo ABC il più preciso possibile se si parte da un triangolo qualunque DEF? – 7 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:

Heute nur mal ein paar Anregungen:
blau: Einige Teilnhmer haben ein konkretes Dreieck untersucht, also nicht beachtet, das hier die Formulierung "ein beliebiges .." für irgendeines , als letztlich für jedes Dreieck gemeint ist.
ein "Geheimnis" zur Lösung von blau liegt in der Beziehung sin α = sin(180° -α), wenn man nun die Flächeninhaltsformel für das Dreieck verwendet. A = 0,5 * b*c sin α. Dann ist die paarweise Gleichheit von rot/blau ganz einfach. Passend dazu, die Eigenschaft der Seitenhalbierenden eines Dreiecks. Die Seitenhalbierende eines Dreiecks teilt ein Dreieck in zwei flächengleiche Teildreiecke. (Idee von Helene, danke)
zu rot. Ein raffinierte Variante aus dem Buch A. Gächter "7 Zahnstocher"  Außerhalb des Dreiecks DEF (s. o.) wird ein an beliebiger Stelle ein Startpunkt S gewählt. Strecke SF wird halbiert. Der Halbierungspunkt G wird mit E verbunden. Strecke wieder halbieren. Der neue Halbierungspunkt H wird mit D verbunden. H wird mit F verbunden. Strecke halbiert --> Halbierungspunkt I. Weiter im Uhrzeigersinn. Halbierungspunkte verbinden, ...  beliebig oft, verbindet man die letzen drei Halbierungspunkte, so erhält man eine gute Annäherung an das gesuchte Dreieck ABC. Anderer Weg mittels Strahlensatz ein zu DEF ähnliches Dreieck ABC konstruieren und dann in dem Dreieck DEF passend zu den Höhen verschieben.

Aufgabe 4

448. Wertungsaufgabe

„Schau mal Lisa“, sagte Mike, „ich habe wieder einmal Inkreis und Umkreis eines Dreiecks konstruiert.“ “Na so schwierig ist das ja eigentlich nicht“. „Stimmt“.
Wie weit sind die Kreismittelpunkte (D – Mittelpunkt des Umkreises, E – Mittelpunkt des Inkreises) voneinander entfernt, wenn das Dreieck in einem kartesischen Koordinatensystem liegt mit A (0; 0), B (6; 1) und C (4; 5). 4 blaue Punkte (Ergebnis und kurze Konstruktionsbeschreibung).
6 rote Punkte gibt es für die Berechnung des Abstandes.

Termin der Abgabe 08.01.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 08.01.2015. Deadline for solution is the 8th. January 2015.

448 “Look, Lisa”, Mike said, “I constructed the incircle and the circumcircle of a triangle”
“Well, it's not that difficult, is it?”
“No, it's not.”
What is the distance between the two centers (D – center of the circumcircle, E – center of the incircle) if the triangle is given in a Cartesian coordinate system wioth A(0;0), B(6;1) and C(4;5)? - 4 blue points (for result and short explanation of construction)
6 red points for calculating the distance

“Guarda Lisa”, disse Mike, “ho di nuovo creato un triangolo circoscritto a un cerchio ed un circondario.“ “Ma molto difficile non è”. “È vero”.
Quanto sono distanti i punti centrali del cerchio (D – punto centrale del circondario, E – punto centrale del circoscritto) l´uno dall´altro se il triangolo sta in un sistema cartesiano con A (0;0), B(6;1) e C (4;5). 4 punti blu. (Risultato e breve descrizione della costruzione).
Vengono assegnati 6 punti rossi per il calcolo della distanza.

Lösung/solution/soluzione:

Lösung von Linus, danke als pdf

Aufgabe 5

449. Wertungsaufgabe

„In der letzten Woche habt ihr euch doch mit dem Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschäftigt“, sagte Bernds Opa. „Wenn man die Radien der Kreise kennt, so lässt sich die Entfernung e der Mittelpunkte auch direkt ausrechnen.“
R – Umkreisradius, r – Inkreisradius, e – Entfernung → e²= R² – 2Rr.
Wenn in einem gleichseitigen Dreieck R = 10,0 cm groß ist, wie groß ist dann r? 3 blaue Punkte.
Gesucht ist eine Konstruktionsbeschreibung für ein Dreieck ABC, wenn R, r und c gegeben sind.
Klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal. - 10 rote Punkte

Termin der Abgabe 15.01.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 15.01.2015.

“Last week you were busy with the incircle and the circumcircle of a triangle”, Bernd's granddad said. “If you know the radii of both circles it's possible to calculate the distance e between the centres dirctly.”
R – radius of circumcircle, r – radius of incircle, e – distance → e²= R² – 2Rr. If, in an equilateral triangle R = 10,0 cm, what is r? - 3 blue points
Describe how to construct a triangle ABC with given R, r and c. Classical construction using compass and straight line only – 10 red points

Settimana scorsa avete lavorato con il triangolo circoscritto a un cerchio ed il circondario”, disse il nonno di Bernd. “Se si conoscono i raggi dei cerchi, allora la distanza e dei punti di centro possono essere calcolati direttamente.”
R- raggio circondario, r-raggio circoscritto, e-distanza -> e²=R² - 2Rr.
Se in un triangolo equilatero vale R=10,0 cm, quanto grande è allora r? 3 punti blu.
Cercasi una descrizione costruttiva per un triangolo ABC, se R,r e c sono noti.
Costrizione classica con compasso e riga. – 10 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:
blau. Man kann die Aufgabe konstruktiv lösen. Eine weitere Variante ist Berechnung: Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, fallen die Mittelunkte beider Kreise zusammen, e ist also Null. 0 = R² - 2Rr --> 2Rr = R² --> r = R²/2R --> r=R/2 --> r = 5cm.
rot: Bei der Lösung der Aufgabe stellte sich vor allem das Problem die Formel
e²= R² – 2rR so zu nutzen, dass e zu konstruieren sein musste. Die Gleichung lässt sich als e² + 2Rr = R² schreiben. Das erinnert an den Satz des Pythagoras. Ich setze 2Rr=x², also e² + x² = R². Nun zeichne ich eine Strecke AB der Länge 2r + R (oder aber 2R +r).
Diese Strecke wird halbiert und mit einem Halbkreis „versehen“. Nach 2r wird eine Senkrechte errichtet, die den Halbkreis in C schneidet. Nach Satz des Thales ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt der Höhensatz x² = 2Rr. Die Höhe des Dreiecks ABC ist x.

Nun konstruiere ich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete x und der Hypotenuse R. Die andere Kathete ist dann e lang. (Satz des Pythagoras, s. o.)
Eine Möglichkeit: Zuerst wird der Mittelpunkt MU festgelegt. Kreis um MU mit R. Auf diesem Kreis  (Umkreis des gesuchten Dreiecks) wird ein Punkt A markiert. Der Kreis um A mit dem Radius c schneidet den Umkreis in zwei Punkten B und B'. Ich mach mal nur mit B weiter (B' führt auf eine andere gleichwertige Lösung.). Nun wird ein Hilfskreis um MU mit dem "vorher konstruierten Radius" e gezeichntet. Jetzt wird c parallel in Richtung MU verschoben. Abstand von c und der Parallelen p soll r sein. Die Gerade p schneidet den Hilfskreis in MI und MI' . (Es gibt also jetzt wieder zwei Möglichkeiten, insgesamt also vier.) Mal mit MI weiter. Kreis um MI mit dem Radius r (Innkreis des gesuchten Dreiecks). Eine Tangente des Innkreises ist c. Wird nun von B oder A eine weitere Tangente an den Innkreis konstruiert (Tangentenkonstruktion), so schneidet diese Tangente den Umkreis im Punkt C. Das Dreieck ABC ist damit komplett. (endlich)
Die rote Aufgabe habe ich in "die Wurzel" Heft März/April 2012 entdeckt.

Aufgabe 6

450. Wertungsaufgabe

„Hallo Lisa, machst du Kreuzworträtsel?“, fragte Mike. „Nein, ich stelle Überlegungen zum Bingo an. Schau mal, es geht beispielsweise darum, dass auf einem 4x4 Feld die Zahlen von 1 bis 16 zufällig verteilt sind. Ein Spielleiter zieht die Zahlen 1 bis 16 in zufälliger Reihenfolge. Die Mitspieler streichen die Zahlen auf ihrem Spielfeld ab. Wer eine Zeile, Spalte oder Diagonale abgestrichen hat, ruft Bingo und erhält einen Preis.“ „Stimmt, so etwas haben wir in Physik mal mit Messwerten gemacht, die auf einer Folie einzustellen waren.“ „Wenn du großes Glück hast, dann hast du mit nur vier Werten ein Bingo“.
Wie viele Zahlen können maximal gezogen werden, ohne dass es zu einem Bingo kommt? 4 blaue Punkte
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit nur vier Zahlen auf ein Bingo zu kommen? 4 rote Punkte
Weil es die Aufgabe 450 ist, gibt es noch mal 5 blaue bzw. 5 rote Punkte für die entsprechenden Fragen bei einem 5 x 5 Bingo.

Termin der Abgabe 22.01.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 22.01.2015. Deadline for solution is the 22th. January 2015.

“Hi Lise, are you doing a crossword puzzle?”, Mike asked.
“No, I'm thinking about Bingo. Look, on thing is this, there are the numbers from 1 to 16 randomly distributed on a 4x4 grid. The caller calls out random numbers between 1 and 16 and the players mark the numbers on their tickets. Whoever is first to have marked a line, a row or a diagonal shouts 'Bingo' and wins the price.”
“Right, we did that once at school in a physics lesson to practise reading a Voltmeter that the teacher presented on an overhead.”
“If you are really lucky you'll only need 4 numbers for a Bingo”. How many numbers can be called at most without a Bingo? - 4 blue points
What's he probability to have a Bingo with just 4 numbers? - 4 red points
And because this is problem number 450 there will be 5 extra blue or red points if you solve the problem for a 5x5 Bingo grid.

“Ciao Lisa, che fai le parole crociate?”, chiese Mike. “No, sto pensando al gioco “Bingo”. Guarda, si tratta per esempio che su un campo 4x4 sono distribuiti a caso i numeri 1 fino a 16. Un arbitro tira i numeri 1 fino a 16 in ordine causale. I compagni di gioco eliminano i numeri sulle loro cartelle. Chi ha coperto una riga, una colonna o una diagonale deve dire Bingo e riceve un premio.” “È vero, una cosa simile l´abbiamo fatta in scienze fisiche con dei valori misurati, che dovevano essere regolati su una pellicola.” “ Se hai grande fortuna, fai Bingo con solo quattro valori”.
Quanti numeri possono essere estratti al massimo senza che si faccia un Bingo? 4 punti blu.
Quanto è grande la probabilità di fare Bingo con solo quattro numeri? 4 punti rossi.
Essendo l´esercizio numero 450 vengono ulteriormente assegnati 5 punti blu o rossi per le risposte esatte che calcolano un Bingo 5x5.

Lösung/solution/soluzione:

Hier eine umfassende Lösungsvariante von Linus, danke.
--> als pdf <--

Eine andere Variante der rote Aufgabe ist folgende Überlegung bei 4 x 4. Für die erste gezogene Zahl gibt es 16 Möglichkeiten. Die zweite 15, die 3. 14 und die 4. 13 Möglichkeiten Das sind 43 680 Möglichkeiten für das Ziehen der ersten vier Zahlen abcd. Wie man leicht feststellen kann gibt es 10 verschiedene "Bingomuster" ABCD. Nun gibt es ABCD = abcd, aber auch ABCD = abcd, .... Das sind 24 Möglichkeiten aus den vier Zahlen ein solches Bingo zu erhalten. Bei 10 Bingovarianten sind das also 10*24 Möglichkeiten von den 43680. Die Wahrscheinlichkeit für ein Bingo liegt also bei 240/43660 = 1/182. Entsprechend geht das beim 5x5 Bingo.
Interessant wäre die Antwort auf die Frage, ab wieviel gezogenen Zahlen erreicht man mehr als 50 % für das erste Bingo.
An der Lösung dieser Aufgabe haben sich mehr als 150 Personen beteiligt - Rekord.

Aufgabe 7

451. Wertungsaufgabe

„Schneidest du Pyramidennetze aus?", fragte Bernd. „Ja, wie du auf dem Bild sehen kannst, nutze ich quadratisches Papier (10x10 cm). Es sollen immer gerade quadratische Pyramiden werden. Es sind also ein grünes Quadrat und vier gleiche Dreiecke.“, sagte Maria.
Wie hoch ist die Pyramide, die aus dem Netz entsteht, wenn die Seitenlänge des grünen Quadrates 3 cm groß ist? 3 blaue Punkte für das Ergebnis durch Basteln oder 6 blaue Punkte für das Berechnen – sollte ab Klasse 9 kein Problem sein.
Bei welcher Größe des grünen Quadrates wird das Volumen der Pyramide maximal? 6 rote Punkte (Nutzung der Tabellenkalkulation erlaubt).

Termin der Abgabe 29.01.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 29.01.2015. Deadline for solution is the 29th. January 2015.

“Are you cutting out nets for pyramids?”, Bernd asked.
“Yes, as you can see in the picture I use a square sheet of paper (10cmx10cm). They are all supposed to be square, regular pyramids. So there's a green square and four equal triangles”, Maria said.
What's the height of the pyramid that can be made of the net if the green square is 3 cm? - 3 blue points for solving it by actually making the pyramid or 6 blue points for calculating – which shouldn't be a problem for form 9.
At what size of the square will you get the maximum volume of the pyramid? - 6 red points (you may use a spreadsheet calculation)

it.:

“Stai tagliando reti a forma di piramidi?”, chiese Bernd. “Si, come puoi vedere sull´immagine uso della carta quadrata (10x10 cm). Devono essere sempre delle piramidi quadrate. Quindi sono un quadrato verde e quattro triangoli uguali.”, disse Maria.
Quanto è alta la piramide che si forma dalla rete, se la lunghezza del lato del quadrato verde è lunga 3 cm? 3 punti blu per il risultato che si ottiene costruendo oppure 6 punti blu per il calcolo – a partire dalla 9° classe (1° Superiore) non dovrebbe essere un problema.
A quale grandezza del quadrato verde si raggiunge il volume massimo della piramide? 6 punti rossi (viene concesso l´uso del foglio elettronico).

Lösung/solution/soluzione:

Hier ein komplette Lösung von Paulchen, danke --> pdf <--
Anmerkung 1: Der letzte Ausdruck bei rot lässt sich vereinfachen zu a = 4 *Wurzel (2)
Anmerkung 2: Der Ansatz für die Tabellenkalkulation war die Funktion aus der Lösung zu verwenden und dann mittels vieler systematischer Werte den Maximalwert zu suchen.

Aufgabe 8

452. Wertungsaufgabe
„Hallo Maria, du hattest doch in der letzten Woche die Pyramidennetze ausgeschnitten“, sagte Mike. „Ja wieso?“. „Nun ich frage ich mich, ob es wohl eine gerade quadratische Pyramide gibt, die vollständig natürlich ist?“ „Was soll das sein?“, fragte Maria zurück. „Ich stell mir das so vor. Höhe und Grundkante sind gleich lang. Die Längen h und a sind x cm groß, wobei x eine natürliche Zahl ist. Das Volumen V der Pyramide soll eine natürliche Zahl (in cm³) sein.“ „Verstehe“.
Für drei blaue Punkte sind die Abmessungen einer solchen Pyramide zu finden bzw. zu zeigen, dass es eine solche Pyramide nicht geben kann.
An jeder geraden quadratischen Pyramide lassen sich viele Winkel finden, den Winkel zwischen Seitenfläche und Grundfläche, den Basiswinkel einer Seitenfläche und den Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche. Für 6 rote Punkte ist zu zeigen, dass diese Winkel immer unterschiedlich groß sein müssen und sich somit der Größe nach „sortieren“ lassen.

Termin der Abgabe 05.02.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.02.2015. Deadline for solution is the 5th. February 2015. 

“Hi Maria, you were cutting out nets of pyramids last week, weren't you?” Mike said.
“Yes, why are you asking?”
“Well, I'm asking myself, if there exists a square pyramide which is completely natural?”
“What is that supposed to mean?”, Maria replied.
“Well I'm thinking something like this: height h and side a of the base are equal. They are x cm with x being a natural number. Likewise the volume V of the pyramid would be a natural number (in cm³).”
“I understand.”
For 3 blue points give the measurements of such a pyramid or show thatr such a solid cannot exist.
In each regular, square pyramid there are a lot of angles: the angel between base and side-face, the base angle of a side face and the angle between base and edge. For 6 red points show that these angles must always be of different size and thus can be sorted accordingly.

“Ciao Maria, settimana scorsa avevi tagliato le reti a forma di piramidi”, disse Mike. “Si, perché?” “Beh, mi chiedo se esiste una piramide quadrata diritta che è del tutto naturale?” “E che cosa dovrebbe essere questa?”, chiese Maria. “Me lo immagino così: Bordino di base ed altezza sono lunghi uguali. Le lunghezze h ed a sono lunghe x cm, per quanto x sia un numero naturale. Il volume V della piramide deve essere un numero naturale (in cm³).” “Capisco.”
Per tre punti blu sono da trovare le dimensioni di tale piramide e da fare vedere che una tale piramide non può esistere.
Presso ogni piramide quadrata di forma diritta si trovano tanti angoli: l´angolo tra la superficie laterale e base, l´angolo di base di una superficie laterale e l´angolo tra bordino laterale e la base. Per ricevere 6 punti rossi bisogna dimostrare che questi angolo hanno sempre una grandezza diversa che si possono ordinare secondo la loro grandezza.

Lösung/solution/soluzione:

Hier die Lösung von Paulchen, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 9

453. Wertungsaufgabe
Mike ist zur Apfelsinenernte auf Sizilien. In seiner ziemlich langen Mail an Lisa stand neben vielen anderen Dingen der Satz: „Konnte mit Hilfe von vielen Apfelsinen das Dreieckszahl-Viereckszahlproblem lösen.“ Lisa schickte diesen Satz an Maria und Bernd weiter. Die beiden überlegten eine Weile, dann fiel ihnen ein, was gemeint war und sie begannen zu zeichnen.
Auf dem Bild sind die ersten Dreieckszahlen zu erkennen. Quadratzahlen sind dann entsprechend 1, 4, 9 und so weiter. Die 1 ist also Dreiecks und Quadratzahl. Welches ist die nächste Zahl, die Dreiecks und zugleich Quadratzahl ist? 3 blaue Punkte. Es lassen sich auch Fünfeckzahlen nach dem Verfahren bilden. Die ersten sind 1, 5, 12, 22 und so weiter. Die 1 ist also Fünfeckzahl und Quadratzahl. Welche Zahl ist ebenfalls Fünfeckzahl und Quadratzahl oder gibt es eine solche Zahl nicht? 4 rote Punkte Wer noch 4 rote Punkte haben möchte, der suche eine Zahl (größer als 1), die Dreiecks - und Fünfeckszahl zugleich ist.

Termin der Abgabe 26.02.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 26.02.2015. Deadline for solution is the 26th. February 2015.

Mike is picking oranges in Sicily. I a rather long e-mail to Lisa he mentioned, among other things that he had been “able to solve the Triangular-number-problem as well as the Square-number-problem with the help of oranges”.
Lisa forwarded this statement to Maria and Bernd. They had to think a little before they knew what he meant and then they began to draw.

The picture shows the first Triangular numbers. Square numbers are 1, 4, 9, and so on. That means 1 is a Triangular as well as a Square number. Which number is the next one to be both? - 3 blue points
It's also possible to create Pentagonal numbers in this way. The first ones are 1, 5, 12, 22 and so on. 1 is Pentagonal as well as square. Is there another number which is both? - 4 red points
For another 4 points find a number that is (bigger than 1) and at the same time Triangular and Pentagonal.

Mike si trova in Sicilia per la vendemmia delle arance. Nel suo messaggio molto lungo a Lisa si trova a parte tante altre cose questa frase: “Sono riuscito a risolvere con tante arance il problema dei numeri triangolati- dei numeri quadrati.” Lisa inoltrò questa frase a Maria e Bernd. Questi si misero a riflettere un poco, poi si ricordarono cosa era inteso ed iniziarono a disegnare.

Sull´immagine sono riconoscibili i primi numeri triangolati. I numeri al quadrato sono rispettivamente 1,4,9 ecc. L´1 è quindi numero triangolato e numero al quadrato. Qual è il prossimo numero, che è ugualmente numero triangolare e numero al quadrato? 3 punti blu. Con la stessa procedura si lasciano formare numeri pentagonali. I primi sono 1,5,12,22 ecc. L´1 è quindi numero pentagonale e numero quadrato. Quale numero è ugualmente numero pentagonale e numero quadrato, oppure non esiste un numero simile? 4 punti rossi. Chi vuole avere in aggiunta 4 punti rossi, cerchi un numero che sia più grande di 1 e che sia allo stesso tempo numero triangolare e numero pentagolare.

Lösung/solution/soluzione:
Bilder für die Lösung blau von Andreas, danke.

Die Lösung von Paulchen Hunter, danke --> als pdf <--

Noch paar größere Zahlen:

Zahl = 0 , q = 0, d = 0, f = 0

Zahl = 1 , q = 1, d = 1, f = 1

Zahl = 36 , q = 6, d = 8

Zahl = 210 , f = 12, d = 20

Zahl = 1225 , q = 35, d = 49

Zahl = 9801 , q = 99, f = 81

Zahl = 40755 , f = 165, d = 285

Zahl = 41616 , q = 204, d = 288

Zahl = 1413721 , q = 1189, d = 1681

Zahl = 7906276 , f = 2296, d = 3976

Zahl = 48024900 , q = 6930, d = 9800

Zahl = 94109401 , q = 9701, f = 7921

Zahl = 1533776805 , f = 31977, d = 55385

Zahl = 1631432881 , q = 40391, d = 57121

Zahl = 55420693056 , q = 235416, d = 332928

Zahl = 297544793910 , f = 445380, d = 771420

Zahl = 1882672131025 , q = 1372105, d = 1940449

Zahl = 57722156241751 , f = 6203341, d = 10744501

Zahl = 63955431761796 , q = 7997214, d = 11309768

Zahl = 2172602007770041 , q = 46611179, d = 65918161

Zahl = 7263325169820736 , q = 85225144, d = 120526554

Zahl = 8676736387298001 , q = 93149001, f = 76055841

Zahl = 10245401755863184 , q = 101219572, d = 143146091

Zahl = 11197800766105800 , f = 86401392, d = 149651600

Zahl = 19553418069930369 , q = 139833537, d = 197754484

Zahl = 20099148075620626 , f = 115755916, d = 200495127

Zahl = 31843510970040004 , q = 178447502, d = 252362877

Zahl = 34353659798844409 , q = 185347403, f = 151335521

Zahl = 37807664142124900 , q = 194441930, d = 274982414

Zahl = 41633061528565652 , f = 166599443, d = 288558699

Zahl = 44283460768304164 , q = 210436358, d = 297601951

Zahl = 45657035408049462 , f = 174464964, d = 302182181

Zahl = 47115680456192089 , q = 217061467, d = 306971270

Zahl = 54315050194251025 , q = 233055895, d = 329590807

Zahl = 57596935676578650 , f = 195953967, d = 339402226

Zahl = 65369926528386624 , q = 255675432, d = 361579663

Zahl = 70922167694909865 , f = 217442970, d = 376622271

Zahl = 73804512832419600 , q = 271669860, d = 384199200

Zahl = 76145874062391376 , f = 225308491, d = 390245753

Zahl = 82750742590546944 , q = 287664288, d = 406818737

Zahl = 91363504443621307 , f = 246797494, d = 427465798

Zahl = 96276052056630625 , q = 310283825, d = 438807593

Zahl = 106457498380732009 , q = 326278253, d = 461427130

Zahl = 111559717450969225 , q = 334005565, f = 272714402

Zahl = 114389905430132477 , f = 276152018, d = 478309325

Zahl = 118588027358783376 , q = 344366124, f = 281173763

Zahl = 120998943547416012 , f = 284017539, d = 491932807

Zahl = 121729667866884100 , q = 348897790, d = 493415986

Zahl = 125831019632182489 , q = 354726683, f = 289633124

Zahl = 133146330756959524 , q = 364892218, d = 516035523

Eine Zahl, die Dreiecks-, Quadrat- und Fünfeckszahl zugleich (und größer als 1 ist) wurde (bisher) nicht gefunden.
Programm zum Testen: http://schulmodell.eu/images/stories/mathe/wochenaufgabe/453.php

Aufgabe 10

454. Wertungsaufgabe

„Für die Lösung der roten Aufgabe der letzten Woche hätte ich sehr viele Apfelsinen gebraucht“, meinte Mike. „Das stimmt“, sagte Bernd, der seinen Freund vom Flughafen abgeholt hatte. „Sagen dir die Zahlen 3, 4 und 5 etwas?“ „Aber klar, das ist das kleinste primitive pythagoräische Tripel.“
(Das heißt alle drei Zahlen sind natürliche Zahlen, voneinander verschieden und teilerfremd und es gilt 3² + 4² = 5².)
4 blaue Punkte für ein anderes pythagoräisches Tripel a,b,c und b=a+1.
4 rote Punkte für den Nachweis oder die Widerlegung, dass bei jedem primitiven pythagoräischen Tripel c eine ungerade Zahl ist. (c²=a²+b²)

Termin der Abgabe 05.03.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.03.2015. Deadline for solution is the 05th. March 2015.

“In order to solve the red part of last week's problem we would have needen quite a lot of oranges”, Mike remarked.
“That's right”, Bernd agreed, who was picking up his friend from the airport. “Do the numbers 3, 4 and 5 ring a bell?”
“Of course, they do. It's the smallest primitive Pythagorean triple.” (That means that all three numbers are coprime positive integers and 3² + 4² = 5².)
4 blue points for another Pythagorean triple a, b, c and b=a+1.
4 red points to prove (or contradict) that in each primitive Pythagorean triple c is odd (c²=a²+b²).

“Per la soluzione del esercizio rosso di settimana scorsa avrei avuto bisogno di tante arancie”, disse Mike. “È vero”, disse Bernd che era andato a prendere il suo amico dall´aeroporto. “Ti dicono qualcosa i numeri 3,4 e 5?” “Certamente, è il ternario pitagorico più piccolo e primitivo che esiste”.
(Significa che tutti e tre i numeri soni numeri naturali, diversi gl´uni dagli altri e coprimi, e vale 3²+4²=5².)
4 punti blu per un altro ternario pitagorico a,b,c e b=a+1.
4 punti rossi per la prova o confutazione che a ogni ternario pitagorico primitivo c è un numero disparo. (c²=a²+b²)

Lösung/solution/soluzione:
Einige Beispiele der Lösung für blau
Tripel a = 20 , b = 21 und c = 29
Tripel a = 119 , b = 120 und c = 169
Tripel a = 696 , b = 697 und c = 985
Tripel a = 4059 , b = 4060 und c = 5741
Tripel a = 23660 , b = 23661 und c = 33461
Tripel a = 137903 , b = 137904 und c = 195025
Tripel a = 803760 , b = 803761 und c = 1136689
Tripel a = 4684659 , b = 4684660 und c = 6625109

Lösung rot:
Einige Teilnehmer haben die Aufgabe auf den Fall b=a+1 reduziert. Das war nicht ganz korrekt. Die Formulierung besagt. In einem primitiven pythagoräischen Tripel (a, b, c und a² + b² =c²) muss c immer ungerade sein.
Mögliche Varianten für a und b:
1. a und b sind gerade, darf aber nicht sein, denn dann wären a und b durch teilbar, also nicht teilerfremd.
2. a gerade, b ungerade (oder umgekehrt) a² ist dann gerade und b² ist ungerade (oder umgekehrt), die Summe ist dann ungerade und damit muss c auch ungerade sein.
3. a und b sind ungerade, dann sind a² und b² ungerade und c² wäre gerade und damit c, aber

Strukturbetrachtung
a=2x +1, b =2y +1 und c = 2z ==>
(2x+1)² + (2y+1)² = 4z²
4x² + 4x + 1 + 4y² + 4y +1 = 4z² | :4
x² +x + y² + y +0,5 = z²
Die linke Seite ist keine natürliche Zahl, die rechte Seite schon. Dieser Widerspruch zeigt, dass Fall drei nicht eintreten kann.
Es bleibt also nur Fall 2.

Aufgabe 11

455. Wertungsaufgabe

„Du siehst ja erschöpft aus“, sagt Bernds Mutter zu ihrem Sohn. „Was ist denn los?“ „Wir haben heute für den Hundert-Meter-Lauf trainiert, immer und immer wieder. Beim letzten Lauf war ich der Erste. Als ich durch das Ziel lief, war Mike als Zweiter noch 10 Meter vom Ziel weg. Als Mike dann die 100 m geschafft hatte, war Pit – er hatte keinen guten Tag heute – noch 10 Meter vom Ziel entfernt“. Wie weit war Pit vom Ziel entfernt als Bernd das Ziel erreicht hatte? 3 blaue Punkte – es wird angenommen, die drei Jungs laufen die gesamte Zeit mit ihrer persönlichen gleichen Geschwindigkeit. Um wie viel Prozent muss Pit sein Tempo steigern, damit er beim Wettkampf 10 m vor Bernd ankommt, wenn Bernd und Mike sich nicht steigern können? 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 12.03.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 12.03.2015. Deadline for solution is the 12th. March 2015.

“You look exhausted”, Bernds mum said to her son. “What's the matter?”
“We've practised running the 100 metres today, again and again. In the last run I was first. When I went over the finishing line Mike was second and 10 metres behind me. When Mike finished the 100 metres Pit – who wasn't having a good day – was still 10 metres away from the finishing line”.
How far was Pit away from the finishing line when Bernd reached the line? - 3 blue points (assume that the three boys run with their own constant, personal speed)
By what percentage would Pit have to increase his speed in order to arrive 10m ahead of Bernd assuming that Bernd and Mike can't increase their speed? - 3 red points

it

“Sembri stanco”, dice la madre di Bernd a suo figlio. “Che cosa hai?” “Oggi ci siamo allenati più volte per la gara dei 100 metri. Nel l´ultima gara arrivai primo. Quando ho passato il punto d´arrivo Mike distava 10 m dalla meta. Quando poi Mike finì i 100 m, Pit - per lui oggi non era proprio giornata - distava ancora 10 m dalla meta.” Quanto distava Pit dal punto d´arrivo quando Bernd lo passò per primo? 3 punti blu. Si assume che tutti e tre i ragazzi corrino per tutto il tempo con la loro velocità personale. Per quale percentuale deve aumentare Pit la sua velocità per arrivare nella competizione 10 m prima di Bernd, mettendo caso che Bernd e Mike non riescono ad aumentare? 3 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:
Hier die Lösung (blau + rot) von Felix Karu, danke --> als pdf <--

Aufgabe 12

456. Wertungsaufgabe

„Das sieht aber interessant aus, was du da konstruiert hast“, sagte Mike zu Lisa. “Ja, mir gefällt das auch sehr. Ich habe ein graues rechtwinkliges Dreieck gezeichnet (3cm, 4 cm und 5 cm). An die Seiten des Dreiecks habe ich Quadrate gezeichnet. Das eine Quadrat habe ich in drei Stücke – rot, grün und blau – geteilt. Ich denke, die rechten Winkel in der Figur erkennst du. Die drei Stücke passen – passend verschoben – genau in das gelbe Rechteck.“ „Erstaunlich“.
Für 4 blaue Punkte ist die Figur zu zeichnen und dann das gelbe Rechteck mit der roten, blauen bzw. grünen Fläche zu füllen. - kurze Konstruktionsbeschreibung für den zweiten Teil der Aufgabe.
Für 6 rote Punkte ist eine Zerlegung für das grüne Quadrat (maximal 4 Teile) zu finden, so dass damit das grüne Rechteck bedeckt werden kann. (kurze Begründung der Zerlegung nicht vergessen)

Termin der Abgabe 19.03.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.03.2015. Deadline for solution is the 19th. March 2015.

“Well, it does look interesting what you have constructed”, Mike said to Lisa.

“Yes, I like it, too. I constructed a right triangle in grey (3cm, 4cm and 5 cm). Then I constructed squares at each side of the triangle. One of the squares I divided into three pieces – red, green and blue. I think you'll see the right angle. These three pieces fit – if moved in the right way – exactly into the yellow rectangle.”
“Amazing.” For 4 blue points construct the figure and fill the yellow rectangle with the red, blue and green area. Describe how you constructed the second part of the problem.
For six red points find a way to divide the green square (4 pieces maximum) so that it will cover the green rectangle. (Don't forget to give a short explanation)

it.

“

“Sembra interessante quello che hai costruito”, disse Mike a Lisa. “Si, piace tanto pure a me.Ho disegnato un rettangolo grigio (3 cm, 4 cm e 5 cm.). Ai lati del triangolo ho disegnato dei quadrati. Un quadrato l´ho diviso in tre pezzi – rosso, verde e blu. Penso che gli angoli retti li riconosci nella figura. I tre pezzi centrano – spostati esattamente – di preciso nel rettangolo giallo.” “Impressionante!”
Per i quattro punti blu bisogna disegnare la figura e riempire rettangolo giallo con l´area rossa, blu e verde. - in piu` una breve descrizione per la seconda parte dell´esercizio.
Per sei punti rossi e´ da trovare una decomposizione del quadrato verde (massimo 4 pezzi), per riempire con essi il rettangolo verde. (non dimenticatevi una breve motivazione per la decomposizione).

Lösung/solution/soluzione:

Die Lösung von Paulchen Hunter, danke. --> als pdf <--
Zweite Variante für rot, basierend auf der Idee von Linus,

Auswertung Serie 38 (blaue Liste)