Serie 38

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Aufgabe 10

454. Wertungsaufgabe

„Für die Lösung der roten Aufgabe der letzten Woche hätte ich sehr viele Apfelsinen gebraucht“, meinte Mike. „Das stimmt“, sagte Bernd, der seinen Freund vom Flughafen abgeholt hatte. „Sagen dir die Zahlen 3, 4 und 5 etwas?“ „Aber klar, das ist das kleinste primitive pythagoräische Tripel.“
(Das heißt alle drei Zahlen sind natürliche Zahlen, voneinander verschieden und teilerfremd und es gilt 3² + 4² = 5².)
4 blaue Punkte für ein anderes pythagoräisches Tripel a,b,c und b=a+1.
4 rote Punkte für den Nachweis oder die Widerlegung, dass bei jedem primitiven pythagoräischen Tripel c eine ungerade Zahl ist. (c²=a²+b²)

Termin der Abgabe 05.03.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.03.2015. Deadline for solution is the 05th. March 2015.

“In order to solve the red part of last week's problem we would have needen quite a lot of oranges”, Mike remarked.
“That's right”, Bernd agreed, who was picking up his friend from the airport. “Do the numbers 3, 4 and 5 ring a bell?”
“Of course, they do. It's the smallest primitive Pythagorean triple.” (That means that all three numbers are coprime positive integers and 3² + 4² = 5².)
4 blue points for another Pythagorean triple a, b, c and b=a+1.
4 red points to prove (or contradict) that in each primitive Pythagorean triple c is odd (c²=a²+b²).

“Per la soluzione del esercizio rosso di settimana scorsa avrei avuto bisogno di tante arancie”, disse Mike. “È vero”, disse Bernd che era andato a prendere il suo amico dall´aeroporto. “Ti dicono qualcosa i numeri 3,4 e 5?” “Certamente, è il ternario pitagorico più piccolo e primitivo che esiste”.
(Significa che tutti e tre i numeri soni numeri naturali, diversi gl´uni dagli altri e coprimi, e vale 3²+4²=5².)
4 punti blu per un altro ternario pitagorico a,b,c e b=a+1.
4 punti rossi per la prova o confutazione che a ogni ternario pitagorico primitivo c è un numero disparo. (c²=a²+b²)

Lösung/solution/soluzione:
Einige Beispiele der Lösung für blau
Tripel a = 20 , b = 21 und c = 29
Tripel a = 119 , b = 120 und c = 169
Tripel a = 696 , b = 697 und c = 985
Tripel a = 4059 , b = 4060 und c = 5741
Tripel a = 23660 , b = 23661 und c = 33461
Tripel a = 137903 , b = 137904 und c = 195025
Tripel a = 803760 , b = 803761 und c = 1136689
Tripel a = 4684659 , b = 4684660 und c = 6625109

Lösung rot:
Einige Teilnehmer haben die Aufgabe auf den Fall b=a+1 reduziert. Das war nicht ganz korrekt. Die Formulierung besagt. In einem primitiven pythagoräischen Tripel (a, b, c und a² + b² =c²) muss c immer ungerade sein.
Mögliche Varianten für a und b:
1. a und b sind gerade, darf aber nicht sein, denn dann wären a und b durch teilbar, also nicht teilerfremd.
2. a gerade, b ungerade (oder umgekehrt) a² ist dann gerade und b² ist ungerade (oder umgekehrt), die Summe ist dann ungerade und damit muss c auch ungerade sein.
3. a und b sind ungerade, dann sind a² und b² ungerade und c² wäre gerade und damit c, aber

Strukturbetrachtung
a=2x +1, b =2y +1 und c = 2z ==>
(2x+1)² + (2y+1)² = 4z²
4x² + 4x + 1 + 4y² + 4y +1 = 4z² | :4
x² +x + y² + y +0,5 = z²
Die linke Seite ist keine natürliche Zahl, die rechte Seite schon. Dieser Widerspruch zeigt, dass Fall drei nicht eintreten kann.
Es bleibt also nur Fall 2.