Serie 38

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Aufgabe 5

449. Wertungsaufgabe

„In der letzten Woche habt ihr euch doch mit dem Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschäftigt“, sagte Bernds Opa. „Wenn man die Radien der Kreise kennt, so lässt sich die Entfernung e der Mittelpunkte auch direkt ausrechnen.“
R – Umkreisradius, r – Inkreisradius, e – Entfernung → e²= R² – 2Rr.
Wenn in einem gleichseitigen Dreieck R = 10,0 cm groß ist, wie groß ist dann r? 3 blaue Punkte.
Gesucht ist eine Konstruktionsbeschreibung für ein Dreieck ABC, wenn R, r und c gegeben sind.
Klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal. - 10 rote Punkte

Termin der Abgabe 15.01.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 15.01.2015.

“Last week you were busy with the incircle and the circumcircle of a triangle”, Bernd's granddad said. “If you know the radii of both circles it's possible to calculate the distance e between the centres dirctly.”
R – radius of circumcircle, r – radius of incircle, e – distance → e²= R² – 2Rr. If, in an equilateral triangle R = 10,0 cm, what is r? - 3 blue points
Describe how to construct a triangle ABC with given R, r and c. Classical construction using compass and straight line only – 10 red points

Settimana scorsa avete lavorato con il triangolo circoscritto a un cerchio ed il circondario”, disse il nonno di Bernd. “Se si conoscono i raggi dei cerchi, allora la distanza e dei punti di centro possono essere calcolati direttamente.”
R- raggio circondario, r-raggio circoscritto, e-distanza -> e²=R² - 2Rr.
Se in un triangolo equilatero vale R=10,0 cm, quanto grande è allora r? 3 punti blu.
Cercasi una descrizione costruttiva per un triangolo ABC, se R,r e c sono noti.
Costrizione classica con compasso e riga. – 10 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione:
blau. Man kann die Aufgabe konstruktiv lösen. Eine weitere Variante ist Berechnung: Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, fallen die Mittelunkte beider Kreise zusammen, e ist also Null. 0 = R² - 2Rr --> 2Rr = R² --> r = R²/2R --> r=R/2 --> r = 5cm.
rot: Bei der Lösung der Aufgabe stellte sich vor allem das Problem die Formel
e²= R² – 2rR so zu nutzen, dass e zu konstruieren sein musste. Die Gleichung lässt sich als e² + 2Rr = R² schreiben. Das erinnert an den Satz des Pythagoras. Ich setze 2Rr=x², also e² + x² = R². Nun zeichne ich eine Strecke AB der Länge 2r + R (oder aber 2R +r).
Diese Strecke wird halbiert und mit einem Halbkreis „versehen“. Nach 2r wird eine Senkrechte errichtet, die den Halbkreis in C schneidet. Nach Satz des Thales ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt der Höhensatz x² = 2Rr. Die Höhe des Dreiecks ABC ist x.

Nun konstruiere ich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete x und der Hypotenuse R. Die andere Kathete ist dann e lang. (Satz des Pythagoras, s. o.)
Eine Möglichkeit: Zuerst wird der Mittelpunkt MU festgelegt. Kreis um MU mit R. Auf diesem Kreis  (Umkreis des gesuchten Dreiecks) wird ein Punkt A markiert. Der Kreis um A mit dem Radius c schneidet den Umkreis in zwei Punkten B und B'. Ich mach mal nur mit B weiter (B' führt auf eine andere gleichwertige Lösung.). Nun wird ein Hilfskreis um MU mit dem "vorher konstruierten Radius" e gezeichntet. Jetzt wird c parallel in Richtung MU verschoben. Abstand von c und der Parallelen p soll r sein. Die Gerade p schneidet den Hilfskreis in MI und MI' . (Es gibt also jetzt wieder zwei Möglichkeiten, insgesamt also vier.) Mal mit MI weiter. Kreis um MI mit dem Radius r (Innkreis des gesuchten Dreiecks). Eine Tangente des Innkreises ist c. Wird nun von B oder A eine weitere Tangente an den Innkreis konstruiert (Tangentenkonstruktion), so schneidet diese Tangente den Umkreis im Punkt C. Das Dreieck ABC ist damit komplett. (endlich)
Die rote Aufgabe habe ich in "die Wurzel" Heft März/April 2012 entdeckt.