Serie 40

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Serie 40

Aufgabe 1

469. Wertungsaufgabe
Logikaufgabe

Maria ging seit kurzem in eine neue Schule. Kurz vor Weihnachten hatte sie sich noch einmal mit ihren Freunden aus der ehemaligen Schule getroffen. Da saßen also Maria, Arne, Anne, Merlin und Hannes zusammen. Die Geburtstage waren vorbei (Geburtsmonate waren Februar, April, Juni, August und Oktober), sie sind 12, 14, 15, 18 bzw. 19 Jahre alt geworden. Neben der Mathematik, die sie alle gern betrieben, hatte jeder noch sein spezielles Hobby – Fotografieren, Malen, Radfahren, Lesen und Theater spielen. Maria erzählte Bernd von dem Treffen, aber sie verriet nicht allzuviel. (Jungen und auch Mädchen werden als der Teilnehmer angesprochen)

1. Merlin liebt das Malen.
2. Arne ist der Älteste.
3. Einer wurde im Juni 12, aber das war nicht Hannes.
4. Anne, die nicht fotografiert, ist älter als 14.
5. Derjenige, der gern liest, hat im Februar Geburtstag. Der Name beginnt mit dem gleichen Buchstaben, wie der von demjenigen, der 15 Jahre alt ist.
6. Maria hat im Oktober Geburtstag.
7. Der 18-jährige fährt gern Rad.
8. Anne, die im Sommer Geburtstag hat, ist jünger als Maria.
Wer ist wie alt, hat in welchem Monat Geburtstag und betreibt welches Hobby? – 6 blaue Punkte

Bernd fand es mühsam herauszufinden, wer bei derAufgabe mit den blauen Punkten richtig zugeordnet werden sollte, noch dazu wo Maria geschwindelt hatte, denn eigentlich war sie ja nicht ???, sondern 16. „Na dann pass mal auf“, sagte Bernd zu Maria. „Ich habe hier den Speiseplan der Schulküche von nächster Woche (Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag und Freitag). Essen 1 ist immereine Fleischvariante (Gulasch, Hackbraten, Wiener Schnitzel, Schweinebraten oder Steak), eine Beilage (Salzkartoffeln, Klöße, Nudeln, Pommes Frites oder Reis) und ein Salat (gemischter Salat, Feldsalat, Gurkensalat, Kopfsalat oder Tomatensalat) dabei. Mal sehen, ob du heraus bekommt, was an welchem Tag auf der Speisenkarte steht – 6 rote Punkte“.

1. Am Donnerstag gibt es Schnitzel mit Salzkartoffeln.
2. An drei aufeinander folgenden Tagen gibt es die Salate in der Reihenfolge: Gurkensalat, Feldsalat und am dritten der Tage gibt es gemischten Salat.
3. Zu dem Kopfsalat vom Dienstag gibt es weder Gulasch noch Hackbraten.
4. Entweder es gibt am Montag Gulasch und am Mittwoch Klöße und gemischten Salat oder aber es gibt am Montag Reis und am Freitag Klöße mit dem gemischten Salat.
5. Am Freitag gibt es den Schweinebraten.
6. Zu den Nudeln gibt es keinen Tomatensalat.
7. Die Pommes Frites werden nicht mit dem Gulasch zusammen angeboten.

Termin der Abgabe 17.09.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 17.09.2015. Deadline for solution is the 17th. September 2015. Date limite pour la solution 17.09.2015.

469 Exercice de logique

Depuis peu, Maria visite une nouvelle école. Juste avant Noël, elle a rencontré ses amis de l’ancienne école. Donc, il y avait Maria, Arne, Anne, Merlin et Hannes. Les anniversaires étaient passés (mois de naissance étaient Février, Avril, Juin, Août et Octobre), et leurs âge 12, 14, 15, 18 et 19 ans. En plus des mathématiques, que les cinq aimaient, chacun avait son hobby - la photographie, la peinture, le vélo, la lecture et le théâtre. Maria raconte sa réunion à Bernd, sans trop révéler. (Garçons et filles vont être intitulés : le participant)

1. Merlin aime la peinture.
2. Arne est le plus âgé.
3. Un participant est devenu 12 en Juin, mais ce n’est pas Hannes.
4. Anne qui ne fait pas la photographie a plus que 14 ans
5. Celui qui aime lire, a son anniversaire en Février. Le nom commence par la même lettre que celle de la personne qui est âgé de 15 ans.
6. L’anniversaire de Maria est en Octobre.
7. Le participant âgé de 18 ans aime faire du vélo.
8. Anne, qui a son anniversaire en été, est plus jeune que Maria.
Qui a quel âge, est né dans quel mois et aime quel hobby ? - 6 points bleus

Bernd a trouvé difficile de déterminer qui devrait être correctement attribuée dans l’exercice prétendante, surtout parce que Maria avait triché, elle n’a pas ??? ans mais 16 ans.
"Eh bien fais attention ", a déclaré Bernd à Maria. «Voici le menu scolaire de la semaine prochaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi et vendredi). Le plat 1 est toujours une variante de viande (goulasch, viande hachée, escalope viennoise, rôti de porc ou un steak), avec un accompagnement (pommes de terre, boulettes, nouilles, frites ou riz) et une salade (salade mixte, salade verte, salade de concombre, laitue ou salade de tomates). Voyons voir si tu peux me dire quel jour est servi quel repas. » - 6 points rouges.

1. Le jeudi, il y aura l’escalope viennoise avec pommes de terre.
2. Sur trois jours consécutifs, il y a les salades dans l'ordre: salade de concombre, salade verte et le troisième jour salade mixte.
3. Il n'y a ni goulasch, ni viande hachée avec la laitue le mardi.
4. Soit le lundi il y a du goulasch et le mercredi il y a des boulettes avec de la salade mixte, soit le lundi il y a du riz et le vendredi il y a des boulettes avec de la salade mixte.
5. Le vendredi, il y a du rôti de porc.
6. La salade de tomates n’est pas servie avec des nouilles.
7. Les frites ne sont pas servies avec le goulasch.

469 logic puzzle

Maria had been at this school only recently. Shortly before Christmas she met up with her friends from the old school. So Maria, Arne, Anne, Merlin and Hannes were sitting together. Their birthdays were already over (months of birth were February, April, June, August and October). They had turned 12, 14, 15, 18 and 19 years old. Besides maths, which they all liked, they each had one other hobby – photography, painting, cycling, reading and drama. Maria told Bernd about the get-together but didn't reveal much.
1. Merlin likes painting.
2. Arne is the oldest.
3. One turned 12 in June, but this wasn't Hannes.
4. Anne, who isn't a photographer, is older than 14.
5. The person who likes reading was born in February. His or her name starts with the same letter as the 15 year old's.
6. Maria's birthday is in October.
7. The 18 year old likes cycling.
8. Anne, whose birthday is in the summer, is younger than Maria.
How old are they? In what month were they born and what hobbies have they got? - 6 blue points

Bernd found it quite hard to match every person in the blue problem, especially because Maria hadn't been truthful about her age. In fact she was 16 instead of ???.
“Right”, Bernd told Maria. “Here I've got next week's menu of our school cafeteria (Monday, Tuesday, Wednesday, Thursday and Friday). Meal 1 is always something containing meat (goulash, meat loaf, Wiener schnitzel, roast pork or steak), garnish (boiled potatoes, dumplings, pasta, chips or rice) and a salad (mixed salad, corn salad, cucumber salad, lettuce or tomato salad). Let's see if you can find out what there is for lunch each day.” - 6 red points
1. There is schnitzel and potatoes on Thursday.
2. On three successive days there are the following salads in that order: cucumber, corn salad and mixed salad on the third day.
3. There will be neither goulash nor meat loaf along with Tuesday's lettuce.
4. There will either be goulash on Monday and dumplings and mixed salad on Wednesday or rice on Monday and dumplings and mixed salad on Friday.
5. Roast pork is on Friday.
6. There won't be any tomatoe salad to go with the pasta.
7. Chips won't be offered with the goulash.

469 Problema di logica
Da un po` di tempo Maria frequento` una nuova scuola. Poco prima di natale si era vista un ultima volta con gli amici della vecchia scuola. Erano lì dunque Maria, Arne, Anne, Merlin e Hannes. I Compleanni erano già tutti passati (i mesi di compleanno erano Febbraio, Aprile, Giugno, Agosto ed Ottobre), hanno compiuto 12,14,15,18 e 19 anni. Vicino alla matematica, che a ciascuno di loro piaceva, ognuno aveva il suo proprio hobby – la fotografia, il disegno, il ciclismo, leggere ed il teatro. Maria raccontò a Bernd dell´incontro, ma non tutti i dettagli. (Maschi e femmine vengono nominati come partecipanti).

1. A Merlin piace il disegno.

2. Arne è il più grande.

3. Uno di loro compì 12 anni a Giugno, ma non era Hannes.
4. Anne, che non piace fotografare, ha più di 14 anni.
5. A colui che piace leggere compie gli anni a Febbraio. Il suo nome inizia con la stessa lettera del nome di colui che ha 15 anni.
6. Maria festeggia il compleanno ad Ottobre.
7. Il 18enne piace andare in bicicletta.
8. Anne, che compie gli anni in estate, è più giovane di Maria.

Qual´è l´età di ciascuno ed in quale mese compie gli anni? Quali sono gli hobby dei partecipanti? - 6 punti blu.
Per Bernd era faticoso assegnare ile giuste soluzioni dell´esercizio dei punti blu, molti di più perché Maria aveva truccato l´esercizio, visto che non aveva … anni, ma 16. “Allora adesso stai attenta”, disse Bernd a Maria. “Ho qui il menu della cucina di scuola per la prossima settimana (lunedì, martedì, mercoledì, giovedì e venerdì). Menu 1 è sempre una variante di carne (spezzatino, polpettone, fettina panata, arrosto di maiale o bistecca), un contorno (patate salate, gnocchi, pasta, patatine fritte oppure riso) e un insalata (insalata mista, dolcetta, insalata di cetrioli, cappuccina o insalata di pomodori). Vediamo se riesci a indovinare quale menu viene servito in che giorno. 6 punti rossi.

1. Giovedì c´è la fettina panata con le patate salate.
2. Per tre giorni di seguito ci sono queste insalate: insalata di cetrioli, dolcetta ed il terzo giorno l´insalata mista.
3. La cappuccina di martedì non viene servita con spezzatino e polpettone.
4. O di lunedì ci sta lo spezzatino e di mercoledì gli gnocchi ed insalata mista oppure di lunedì ci sta riso e di venerdì gnocchi con insalata mista.
5. Di venerdì ci sta l´arrosto di maiale.
6. Insieme alla pasta non ci sta l´insalata con i pomodori.
7. Le patatine fritte non vengono servite con lo spezzatino.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier eine Lösungsvariante von calvin, danke als pdf

Aufgabe 2

470. Wertungsaufgabe

„Willst du die aktuelle Jahreszahl 2015 hypnotisieren?“, fragte Mike, denn Bernd schaute ganz konzentriert auf einen Zettel mit einer großen 2015. „Nein, natürlich nicht. Ich suche alle Zerlegungen der Zahl als Produkt von entweder zwei oder drei Faktoren (natürliche Zahlen).“
Finde alle möglichen Zerlegungen – das Vertauschen der Faktoren zählt nicht als andere Zerlegung. 4 blaue Punkte
3 rote Punkte gibt es für die Jahreszahl (oder Jahreszahlen) zwischen 2000 und 2099, die sich in mindestens 6 verschiedene Produkte aus genau zwei Faktoren (natürliche Zahlen) zerlegen lässt – das Vertauschen der Faktoren zählt nicht als andere Zerlegung.

Termin der Abgabe 24.09.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 24.09.2015. Deadline for solution is the 24th. September 2015. Date limite pour la solution 24.09.2015.

470

"Veux-tu hypnotiser le chiffre de l’année 2015?" Demanda Mike, car Bernd se concentre fortement sur une feuille de papier avec un grand 2015. "Bien sûr que non. Je cherche toutes les divisions du chiffre en tant que produit de deux ou trois facteurs (nombres entiers) ".
Trouvez toutes les décompositions possibles - échangeant les facteurs ne compte pas comme une autre décomposition. 4 points bleus
3 points rouges pour l'année (ou les années) entre 2000-2099, qui peut (qui peuvent) être divisé en au moins 6 produits avec maximum deux facteurs (nombres entiers) - échangeant les facteurs ne comptent pas comme une autre décomposition.

"Are you hypnotising the current year-number 2015?", Mike asked because Bernd was staring intently at a piece of paper that showed a large 2015.
"Of course not. I'm looking for all all possible factorisations of this number that use either two or three integers."
Find all possible factorisations – interchanging does not count as new factorisation. - 4 blue points
3 red points for finding one or more years between 2000 and 2099 that can be factorised as at least 6 different products of exactly two factors (integers) – again: interchanging factors doesn't count.

Diese Woche keine italienische Version.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

blau: die Zahl 2015 lässt sich zerlegen in 2015=5*13*31   dazu kommt noch der Faktor 1.
zwei Faktoren: 1*2015=5*403=13*155=31*65
drei Faktoren: 1*1*2015=1*5*403=1*13*155=1*31*65=5*13*31
rot: Es sind recht viele Zahlen für die das zutrifft. Insgesamt 28.
Beispiel:
1 und 2000 sind Teiler von 2000
2 und 1000 sind Teiler von 2000
4 und 500 sind Teiler von 2000
5 und 400 sind Teiler von 2000
8 und 250 sind Teiler von 2000
10 und 200 sind Teiler von 2000
16 und 125 sind Teiler von 2000
20 und 100 sind Teiler von 2000
25 und 80 sind Teiler von 2000
40 und 50 sind Teiler von 2000
Zum Weiteraustesten einfach http://schulmodell.eu/images/stories/mathe/lexikon/armreich.php benutzen

Aufgabe 3

471. Wertungsaufgabe

„Hallo Schwester, trainierst du für eine Multiplikationsolympiade?“, fragte Bernd, der in das Zimmer von Maria kam und und sah, dass sie viele Zettel mit Multiplikationen vor sich liegen hatte.
„Nicht wirklich. Ich bilde die besonderen Potenzen von Zahlen, die großer als 1 sind. Unter der besonderen Potenz einer Zahl x verstehe ich x^x. Also zum Beispiel 2² oder 3³. Ich habe von vielen Zahlen die besonderen Potenzen berechnet und festgestellt, dass die Anzahl der Stellen dieser besonderen Potenzen xx immer kleiner ist als das Doppelte von x, anfangs sogar weniger als x“.
Ermittle die besonderen Potenzen für die natürlichen Zahlen von 2 bis 13 und gib die Stellenzahl an. 6 blaue Punkte. Es gibt noch zwei blaue Punkte dazu, wenn man eine Zahl x findet, deren besondere Potenz mehr als das Doppelte an Stellen wie x hat.
Für 4 rote Punkte – mit Tabellenkalkulation oder so ermittelt – sind die besonderen Wurzeln zu untersuchen – x-te Wurzel aus x. Gesucht ist eine reelle Zahl x >1 für die die besondere Wurzel maximal ist -  vier Stellen nach dem Komma mindestens. 6 rote Punkte gibt es für eine algebraische Begründung.

 Termin der Abgabe 01.10.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 01.10.2015. Deadline for solution is the 1th. October 2015. Date limite pour la solution 01.10.2015.

“Hi sister, are you training for the multiplication olympics?”, Bernd asked when he entered Maria's room and saw all those papers full of multiplications.
“Not exactly. I raise special powers of numbers bigger than 1. What I understand as special power of number x is x^x. Examples would be 2² or 3³. I calculated sprcial powers of a lot of numbers and noticed that the number of digits of these special powers x^x is always smaller than twice as x in the beginning even smaller than x.”
Calculate the special powers for the natural numbers from 2 to 13 and find how many digits these numbers posses. - 6 blue points
Two more blue points for finding a number x whose special power has more than twice as many digits as x.
For 4 red points – with or without a spreadsheet - examine special roots – the xth root of x. Find a real number x > 1 for which the special root is maximal – give at least four decimal places.
6 red points for an algebraic explanation.

Salut petite sœur, est-ce que tu t’entraînes pour les jeux olympiques de mathématiques?, demanda Bernd qui entra dans la chambre de Maria qui a des feuilles de multiplication devant elle.
« Pas vraiment. Je cherche des puissances spéciales des nombres plus grands que 1. Pour moi, une puissance spéciale de x est x^x, par exemple, 2² ou 3³. J’ai calculé la puissance spéciale de plusieurs chiffres et j’ai remarqué que le nombre des chiffres après la virgule des puissances spéciales xx est toujours plus petit que le double de x, au début même moins que x. »
Trouvez les puissances spéciales des chiffres entiers entre 2 et 13 et donnez les nombres après la virgule. 6 points bleus. Deux points bleus supplémentaires si vous trouvez un chiffre x où la puissance spéciale est plus que le double de x.
Pour 4 points rouges il faut – avec l’aide d’un tableau ou pas – examiner les racines spéciales – x-eme racine de x. On cherche un chiffre réel x > 1 ou la racine spéciale est à son maximum – au moins 4 chiffres après la virgule. 6 points rouge pour une explication algébrique.

Italienisch in der nächsten Woche wieder?

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier eine komplette Super-Lösung von Paul Hunter, danke --> als pdf <--

Aufgabe 4

472. Wertungsaufgabe

Bernd erzählt seinem Opa von der letzten Radtour. „Wir waren auf einer alten Burg. Diese hatte einen sehr tiefen Brunnen. Wenn man dort einen Stein hinein fallen lässt, so hört man das Geräusch des Aufschlagens nach 6 Sekunden. Während wir noch auf der Burg waren, zog ein Gewitter auf. Zwischen Blitz und Donner vergingen ebenfalls 6 Sekunden. Ein interessanter Zufall.“
Wie weit war der Blitz von der Burg entfernt? 3 blaue Punkte.
Wie tief ist der Brunnen? 5 rote Punkte.
Termin der Abgabe 08.10.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 08.10.2015. Deadline for solution is the 8th. October 2015. Date limite pour la solution 08.10.2015.

Bernd raconte de sa tournée de vélo à son grand-père. « Nous étions sur un vieux château fort avec un puits très profond. Quand on fait tomber une pierre dedans, on attend 6 secondes avant d’entendre l’impact au sol. Durant notre visite du château fort, il y avait un orage et il y avait également 6 secondes entre l’éclair et le tonnerre. Une coïncidence intéressante. »
A quelle distance se trouvait l’éclair du château fort ? 3 points bleus
Quelle est la profondeur du puits ? 5 points rouges

Bernd racconta al suo nonno della sua gita in bicicletta. “Abbiamo visitato un vecchio castello. Aveva un pozzo molto profondo. Se si butta un sasso, allora il rumore della battuta si sente dopo 6 secondi. Mentre ci trovavamo nel castello venne un temporale. Tra il lampo ed il tuono passarono anche 6 secondi. Una coincidenza interessante.”
Quanto distava il lampo dal castello. 3 punti blu.
Che profondità ha il pozzo? 5 punti rossi.

Bernd told his granddad about his recent bike trip. “We went to an old castle which had a very deep well. If you dropped a stone into it you'd hear the splash after 6 seconds. While we were there a thunderstorm broke. Between lightning and thunder we counted 6 seconds as well. An interesting coincident.”
How far away was the lightnig? - 3 blue points
How deep ist the well? - 5 red points.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Aufgabe 5

473. Wertungsaufgabe

„Das ist aber ein interessantes Skatspiel, welches du zum Geburtstag von Lisa bekommen hast“, sagte Bernd zu Mike. „Stimmt, auf den Karten sind Mathematiker und Mathematikerinnen abgebildet. Auf den Werten von 7 bis 10 sind Aufgaben zu sehen, deren Ergebnisse den jeweiligen Kartenwert ergeben. Aber spielen kann man damit wie gewohnt. Es sind 16 rote Karten (Karo und Herz) und 16 schwarze Karten (Kreuz und Picque). Ich habe hier die 16 roten Karten auf einem Stapel und einen Stapel mit den schwarzen Karten. Nun nehme ich 4 von den roten Karten und mische sie zusammen mit den 16 schwarzen Karten durch. Nun breite ich die 20 Karten verdeckt aus. Ich wähle vier Karten wieder aus und lege sie auf den roten Stapel zurück. Es sind also wieder zwei Stapel mit je 16 Karten.“ Verstehe.“
Sind in dem ursprünglich rein roten Stapel mehr, weniger oder gleich viele schwarze Karten wie rote Karten in dem ursprünglich rein schwarzen Stapel? 4 blaue Punkte
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Zurücklegen der Karten, der ursprünglich schwarze Stapel wieder alle schwarzen Karten enthält? 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 29.10.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 29.10.2015. Deadline for solution is the 29th. October 2015. Date limite pour la solution 29.10.2015.

“Questo è un gioco di skat interessante che hai avuto da Lisa per il tuo compleanno”, disse Bernd a Mike. “È vero, le carte fanno vedere le facce di grandi matematici e matematiche. Sulle carte da 7 a 10 si vedono degli esercizi le cui soluzioni fanno risultare il valore della carta. Giocarci va come di abitudine. Sono 16 carte rosse (quadri e cuori) e 16 carte nere (croce e picque). Ho qui le 16 carte rosse su un mazzo e un mazzo con le carte nere. Prendo dunque 4 delle carte rosse e le mischio insieme alle 16 carte nere. Adesso espongo le 20 carte in modo coperto. Scelgo 4 carte e le rimetto di nuovo sul mazzo rosso. Riabbiamo quindi due mazzi con 16 carte ciascuno.” “Capisco!”
Nel mazzo originariamente rosso ci sono più, di meno o ugualmente tante carte nere come quelle rosse nel mazzo originariamente nero? 4 punti blu.
Quanto è grande la probabilità che dopo aver rimesso le carte il mazzo originariamente nero riceva tutte le carte nere? 4 punti rossi.

« Pour ton anniversaire tu as reçu un drôle de jeu de carte de belotte de la part de Lisa », dit Bernd à Mike. »C'est vrai, il y des portraits de mathématiciens et mathématiciennes sur les cartes.
Sur les cartes des valeurs 7 à 10 on peut voir des exercices qui donnent comme résultat la valeur de la carte. Mais on peut jouer normalement avec. Il y a 16 cartes rouges (diamant et cœur) et 16 cartes noires (croix et pique). J'ai les 16 cartes rouges sur une pile et les 16 cartes noires sur une autre. Maintenant je vais prendre 4 cartes rouges et les mélanger avec les 16 cartes noires, puis les étaler face vers la table devant moi. Au hasard je vais choisir 4 cartes et les ajouter sur la pile des cartes rouges. On a à nouveau deux piles avec 16 cartes. " „Je comprends".
Est-ce qu'il y a plus, moins au autant de cartes noires que de cartes rouges dans la pile d'origine rouges, que cartes rouges dans la pile d'origine noires ? 4 points bleus
Quelle est la probabilité que la pile d'origine noire contient à nouveau toutes les cartes noires une fois les cartes retourner dans leur état avant l'opération? 4 points rouges.

“Well, that's an interesting deck of Skat that you got from Lisa for your birthday”, Bernd said to Mike.
“It sure is, it shows mathematicians. The cards of the values from 7 to 10 show arithmetical problems that result in the corresponding value of the card. Apart from that you play as usual. There are 16 red cards (diamonds and hearts) and 16 black cards (clubs and spades). Here I've got the 16 red cards in one pile and the the black ones in another. Now let me take 4 of the red cards and shuffle them with the 16 black cards. Next I'll lay out the 20 cards face down and pick four random cards and put them back on the red pile. Now I have again two piles of 16 cards each.”
“Understood.”
Will there be more, less or exactly as many black cards in the previously completely red pile as there are red ones in the formerly black pile? - 4 blue points
What's the probability that after putting the four cards back the originally completely black pile will contain all black cards? - 4 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:

die Lösung von Linus, danke: als pdf

Aufgabe 6

474. Wertungsaufgabe

„Was hast du konstruiert?“, frage Mike. „Ich habe ein Rechteck ABCD gezeichnet mit a = 5 cm und b= 3 cm. Anschließend habe ich die Seiten verlängert und die vier grauen Ankreise konstruiert.“, meinte Lisa. „Ankreise?“ „Du siehst doch. Die Ankreise berühren jeweils eine Rechteckseite von außen und auch die Verlängerungen der benachbarten Seiten.“ „Stimmt, jetzt sehe ich es auch.“
Die Mittelpunkte der Ankreise sind E, F, G und H. Wie groß ist der blaue Kreis, der durch die Mittelpunkte der Ankreise verläuft? (Radius, Umfang und Flächeninhalt) - 6 blaue Punkte.
Jedes konvexe Viereck hat vier Ankreise. Gibt es aber auch immer einen Kreis, der durch die vier Mittelpunkte der Ankreise verläuft? 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 05.11.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.11.2015. Deadline for solution is the 05th. November 2015. Date limite pour la solution 05.11.2015.

"Qu'est-ce que tu as construit?" demanda Mike. «J’ai construit un rectangle ABCD avec a = 5 cm et b = 3 cm. Ensuite, j’ai prolongée les côtés et construit les quatre exinscrits gris. " a déclaré Lisa. "Exinscrits?" "Tu vois, les exinscrits touchent chacun un côté du rectangle de l'extérieur et aussi les prolongements des côtés adjacents. " " Bon, maintenant je le vois. "
Les milieux des exinscrits sont E, F, G et H. Quel taille a le cercle bleu qui passe par les milieux des exinscrits? (Rayon, circonférence et surface) - 6 points bleus.
Chaque quadrilatère convexe comporte quatre exinscrits. Mais est-ce que le résultat est toujours un cercle qui passe par les centres des exinscrits? 6 points rouges

“What did you construct?”, Mike asked.
“I drew a rectangle ABCD with a = 5cm and b = 3cm. After that I extended the sides and constructed the four grey excircles.”, Lisa said.
“Excircles?”
“Well, look. The excircles each touch one side of the rectangle as well as the extensions of the neighbouring sides.”
“Right, now I see it, too.”
The centres of the excircles are E, F, G and H. How big is the blue circle that goes through these centres of the excircles (radius, circumference and area) – 6 blue points
Each convex quadrilateral has 4 excircles. But is there always a circle that goes through the centres of the excircles? - 6 red points

“Cosa hai costruito?”, chiese Mike. “Ho disegnato un rettangolo ABCD con a=5 cm e b=3 cm. In seguito ho allungato i lati del rettangolo e costruito i quattro cerchi poggienti grigi”, disse Lisa. “Cerchi poggienti?”. “Lo vedi. I cerchi poggienti toccano sia un lato del rettangolo esteriore che i prolungamenti dei lati a fianco.” “È vero, ora lo vedo anch´io.”
I punti centrali dei cerchi poggienti sono E,F,G e H. Quant´è grande il cerchio blu che passa attraverso i punti centrali dei cerchi poggienti? (raggio, perimetro ed area) – 6 punti blu.
Ogni quadrangolo convesso ha quattro cerchi poggienti. Esiste anche sempre un cerchio che passa per i punti centrali dei cerchi poggienti? - 6 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Superlösung von Calvin, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 7

475. Wertungsaufgabe

„Die Konstruktion aus der letzten Aufgabe hat mir sehr gefallen“, sagte Bernds Opa, der nach seinem Urlaub überraschend vorbei kam. „Verbindet die vier Punkte E, F, G und H zu einem Viereck und rechnet doch mal Umfang und Flächeninhalt dieses Vierecks aus“, meinte Opa.
Die vollständige Lösung der Aufgabe vom Opa wird mit 6 blauen Punkten belohnt.
(Das Rechteck ABCD hatte die Maße 5 cm und 3 cm.)
Wie groß ist der Umfang der krummlinig begrenzten Fläche in der Figur? 12 rote Punkte

Termin der Abgabe 12.11.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 12.11.2015. Deadline for solution is the 12th. November 2015. Date limite pour la solution 12.11.2015.

"J’ai vraiment aimé la construction du dernier exercice ", a déclaré le grand-père de Bernd, qui a rendu une visite surprise après les vacances. "Tracer les quatre points E, F, G et H dans un carré et calculer la circonférence et la surface du quadrilatère» dit le grand-père. La solution complète du problème est récompensée de 6 points bleus.
(Le rectangle ABCD avait dimensions de 5 cm et 3 cm.)
Quelle est la surface curviligne dans la figure? 12 points rouges

“La costruzione dell´esercizio precedente mi è piaciuta molto”, disse il nonno di Bernd, che lo dopo la sua vacanza lo venne sorprendentemente a trovare. “Collegate i punti E,F,G e H per ricavare un quadrangolo e calcolate la circonferenza e l´area”, disse il nonno. Per la soluzione completa del compito del nonno vengono accreditati 6 punti blu.
(Il rettangolo ABCD aveva le misure 5cm e 3 cm).
Quant´è grande la circonferenza dell´area curvilineatamente limitata nella figura? 12 punti rossi.

“I really liked last week's construction”, Bernd's granddad said as he dropped by unexpectedly after his holiday.
“Connect the four points E, F, G and H to make an quadrilateral and calculate perimeter and area of this quadrilateral”, granddad went on.
A full solution of granddad's problem will get you 6 blue points.
(Rectangle ABCD is 5cm and 3 cm.)
What is the circumference of the area confined by the curves? - 12 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Lösung von Linus, danke. --> als pdf <--

Aufgabe 8

476. Wertungsaufgabe

„Hast du eigentlich schon eine Pizza gegessen, die in dem Pizzaofen auf dem Schulgelände gebacken wurde?“, fragte Maria.

“Aber klar doch“, erwiderte Bernd.
Die Pizzen werden in einer fast perfekten „Halbkugel“ gebacken. Der Durchmesser der Halbkugel beträgt 1,2 m. Wie groß sind Volumen und Oberfläche des Backraumes? 4 blaue Punkte.
Wie viele Pizzen (Durchmesser 30 cm) lassen sich gleichzeitig auf der 1,2 m großen kreisförmigen Backfläche backen? 6 rote Punkte (Die Pizzen dürfen sich bzw. den Rand der Backfläche berühren, aber sie dürfen natürlich nicht aufeinander liegen.)

Termin der Abgabe 19.11.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 19.11.2015. Deadline for solution is the 19th. November 2015. Date limite pour la solution 19.11.2015.

«Est-ce que tu as déjà mangé une pizza qui a été cuit dans le four à pizza sur les terrains de l'école?» Demanda Maria. 

"Oui, bien sûr", a déclaré Bernd.
Les pizzas sont cuites comme un hémisphère (demi-cercle) proche de la perfection. Le diamètre de l'hémisphère est de 1,2 m. Quelle est le volume et la surface du four? 4 points bleus.
Combien de pizzas (diamètre 30 cm) peuvent être cuitent simultanément sur la grande surface de cuisson circulaire de 1,2 m? 6 points rouges (Les pizzas peuvent se toucher ou toucher le bord de la surface de cuisson, mais elles ne doivent pas reposer les uns sur les autres, bien sûr.)

Have you eaten one of the pizzas they made in our school's pizza oven?”, Maria asked.

“Of course I have”, Bernd replied.
The pizzas are made in an almost perfect “semi-sphere”. The diameter of this sphere is 1.2m. What are the volume and the surface area of the baking chamber? - 4 blue points
How many pizzas (diameter 30cm) can you bake at the same time on the circular baking floor? - 6 red points
(The pizzas may touch each other as well as the wall of the baking chamber, but must of course not overlap.)

“Dimmi: Hai già mangiato una pizza che è stata cotta nel forno della scuola?”, chiese Maria.
“Ma certo”, rispose Bernd.
Le pizze vengono impastate a forma di una semisfera quasi perfetta. Il diametro della semisfera si aggira a 1,2 m. Quanto sono grandi i volumi e le superfici del posto di cottura? 4 punti blu.
Quante pizze (diametro 30 cm) si possono cuocere contemporaneamente sul piano circolare di cottura grande 1,2 m? 6 punti rossi (Le pizze si possono toccare a vicenda come anche il bordo del piano cottura, ma non possono stare una sull´altra.).

 Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier eine Lösung von calvin, danke --> als pdf <--

Eine "nur" konstruktive Lösung für rot reichte nicht, denn wenn die Pizzen statt 30,0 cm 29,7 cm gewählt worden wären, dann hätte 12 draufgepasst. - Ein Abweichung, die wohl kaum konstruktiv ins Gewicht gefallen wäre. Zum weiter rechnen und staunen sei diese Seite empfohlen -->  http://www.packomania.com/  <--

Aufgabe 9

477. Wertungsaufgabe

 „Das ist aber ein großer Würfel, den du gebastelt hast.“, sagte Bernd zu seiner Schwester. „Ja, der hat eine Kantenlänge von 30 cm. Hier siehst noch meine Skizze, die ich vorher gemacht hatte. Ich bin gerade dabei zu überlegen, wie lang die kürzeste Verbindung vom Punkt A zum Punkt G ist, die ich auf die Würfelflächen zeichnen kann.“
Wie lang ist eine solche kürzeste Verbindung? 3 blaue Punkte
„Jetzt zeichne ich noch einen Spinnenweg von A nach F.“ „Der Weg eine Spinne?“, fragte Bernd verwundert. „Ich habe in einem Buch vom Opa davon gelesen.“
In Punkt A lauert eine Spinne auf eine Fliege, die im Punkt B eine Pause macht. Als die Fliege zum Punkt F läuft, (3 cm/s) läuft auch die Spinne mit gleichbleibenden Tempo los. Sie behält die Fliege immer „im Auge“ und erwischt die Fliege in dem Moment, wo diese im Punkt F ankommt.
Wie lang ist der Weg der (punktförmigen) Spinne und mit welcher Geschwindigkeit muss sich die Spinne bewegen? 8 rote Punkte

Termin der Abgabe 26.11.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 26.11.2015. Deadline for solution is the 26th. November 2015. Date limite pour la solution 26.11.2015.

 “Questo è veramente un cubo grande che hai costruito”, disse Bernd a sua sorella. “Si, la lunghezza degli spigoli si ammonta a 30 cm. Qui vedi il mio abbozzo che ho fatto prima. Sto pensando quanto è lungo il collegamento più corto dal punto A al punto G che posso disegnare sulle superfici del cubo.”
Quant´è lunga un tale collegamento più corto? 3 punti blu.
“Ora ci disegno il tratto di un ragno da A a F.” “Il tratto di un ragno?”, chiese Bernd meravigliato. “Ho letto di questo in un libro che mi ha dato nonno.”
Sul punto A si trova un ragno appostando una mosca che si sta riposando sul punto B. Quando la mosca si mette in movimento verso il punto F (3 cm/s), pure il ragno si muove con la stessa velocità. Lei tiene il ragno sempre d´occhio e il ragno acchiappa la mosca nel momento, in cui questa raggiunge il punto F.
Quant´è lungo il tratto del ragno (a forma di un punto) e con quale velocità si deve muovere il ragno? 8 punti rossi.

 «Voilà un grand cube que tu as construit.» Bernd dit à sa sœur. «Oui, il a une longueur d'arête de 30 cm. Regarde mon croquis, je l'avais fait avant. Je suis en train de réfléchir quel est le plus court chemin entre le point A et le point G à dessiner sur la surface du cube ?».
Quelle est la longueur du plus court chemin ? 3 points bleus
«Maintenant, je dessine un autre chemin d’araignée ? A à F." «Chemin d’araignée?» demande Bernd surpris. «J’ai lu ça dans un livre de grand-père.»
L’araignée se cache au point A et observe une mouche qui fait une pause au point B. Quand la mouche se met en marche vers le point F (à 3 cm/s), l’araignée commence aussi à marcher au même rythme. Elle observe en permanence et arrive à attraper la mouche au moment où elle arrive au point F.
Quelle est la longueur du chemin que l’araignée doit faire et quelle est sa vitesse ? 8 points rouges

“Well, that's a big cube that you made”, Bernd said to his sister.
“Yes, it is. Its edges are 30 cm. Here is a sketch I did before. I'm thinking about the length of the shortest connection between points A and G that I could draw on the sides of the cube.”
How long would the shortest possible connection be? - 3 blue points
“Now I'm drawing a spider's way from A to F.”
“A spider's way?”, Bernd asked in astonishment.
“I read about it in one of grandad's books.”
At point A a spider lies in wait for a fly, that is resting at point B. When the fly starts to move to point F (at 3cm/s) the spider starts towards it with constant speed. The spider always keeps an eye on the fly and catches the fly at exactly the moment the fly arrives at point F.
How long is the way of the (dot-like) spider and at what speed does it move? - 8 red points

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Hier die Lösung von Calvin, danke. --> als pdf <-- (Es gilt dabei die Seite 1, Nachtrag eher nicht so.)
Bei der Geogebra-Datei. Einfach mal den Startknopf unten auf der Seite betätigen --> 477.ggb <--
Wenn die Geschwindigkeit ausreicht die Fliege zu erreichen (V (Geschwindigkeit Spinne) größer v (Geschwindigkeit Fliege) a der ursprüngliche Abstand sei und t - die Zeit vom Loslaufen bis zum wirklichen Einfangen, dann gilt t= a*V /(V²-v²) Diese einfache Gleichung ist das Ergebnis von rund 4 Seiten Herleitung im Buch Verfolgungsprobleme von Georg Schierscher.

Aufgabe 10

478. Wertungsaufgabe

„Die Aufgabe der letzten Woche ist aus dem Buch von Herrn Schierscher aus Schaan“, sagte der Opa, als er sich die Aufgabe durchlas. „Die einfache (blaue) Aufgabe habe ich mir ausgedacht, die andere ist auch aus dem Buch -es heißt „Verfolgungsprobleme“.
Vorlage für beide Aufgaben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Kantenlänge von 60 cm.
Die Punkte X, Y und Z bewegen gleichförmig sich im positiven Umlauf auf den Kanten des Dreiecks. X startet auf A (30 cm/s). Y startet im Mittelpunkt der Seite BC und Z ist zu Beginn beim Mittelpunkt der Seite AC. Als der Punkt X seinen Startpunkt zum ersten Mal wieder erreicht, trifft er dort mit den Punkten Y und Z zusammen. Wie schnell sind die Punkte Y und Z? 4 blaue Punkte  Wie viele Umläufe muss X machen, so dass die Startposition für alle drei Punkte wieder erreicht wird ?– noch 3 blaue Punkte
Für die zweite Aufgabe starten die Punkte X, Y, Z in A, B bzw. C und haben alle das gleiche Tempo (30 cm/s). Die Bewegung erfolgt so, dass die Punkte (positiver Drehsinn) über das Dreieck „laufen“, wobei X in Richtung Y, Y in Richtung Z und Z in Richtung X in Bewegung sind. Nach recht kurzer Zeit treffen sich alle Punkte an einer Stelle und halten an. Wie lange dauert das und wie lang ist der Weg des Punktes X? 8 rote Punkte.

 Termin der Abgabe 03.12.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 03.12.2015. Deadline for solution is the 03th. December 2015. Date limite pour la solution 03.12.2015.

“Last weeks problem was taken from ” from a book by Mr Schierscher from Schaan”, granddad said when had read the problem. “I came up with the easier (blue) problem myself but the other one is from the book, which is titled 'Verfolgungsprobleme' (problems of tracking).”
Basis for both problems is an equilateral triangle ABC whose sides are 60 cm.
Points X, Y and Z move at a constant speed anti-clockwise along the sides of the triangle. X starts at point A (30cm/s). Y starts at the centre of side BC and Y starts at the centre of AC. When X reaches it's starting point for the first time, it meets points Y and Z. What is the speed of Y and Z? - 4 blue points.
How many laps does X have to travel before each point is at its starting position again? - another 3 blue points
For the second problem let X, Y and Z start in A, B and C respectively and let each move at the same speed (30 cm/s). This time the points move across the triangle in a way that X moves towards Y, Y towards Z and Z moves towards X. After a rather short time all three points meet and stop. How long does that take and how long is the distance that X covers? - 8 red points

"L’exercice de la semaine dernière vient du livre de M. Schierscher de Schaan," dit le grand-père, alors qu'il étudiait l’exercice. «L’exercice bleu est de moi, l’autre vient également du livre – il s’appelle « problèmes de suivi ".
Le point de départ pour les deux exercices est un triangle équilatéral ABC avec une longueur d'arête de 60 cm.
Les points X, Y et Z se déplacent de façon uniforme dans le sens positif aux bords du triangle. X commence à A (30 cm / s). Y commence au milieu du côté BC et Z est au début du point médian de l'AC.
Lorsque le point X revient sur son point de départ pour la première fois, il tombe sur les points Y et Z. Quelle vitesse font les points Y et Z respectivement? 4 points bleus
Combien de tours doit X faire pour que le point de départ respectif soit atteint pour X, Y et Z ? - 3 points bleus
Maintenant, les points X, Y, Z commencent dans A, B et C respectivement, et ont tous la même vitesse (30 cm / s). Le mouvement a lieu d’une rotation (positif) et les points se baladent sur le triangle où X est dans la direction vers Y, Y dans la direction vers Z et Z dans la direction vers X. Après un certain temps, tous les points se réunissent au même endroit et s’arrêtent. Combien de temps faut-il et quelle est la distance que X doit parcourir ? 8 points rouges.

“L´esercizio di settimana scorsa era tratto dal libro di Signor Schierscher di Schaan”, disse il nonno, quando si stava leggendo il problema. “L´esercizio più semplice (blu) me lo sono inventato io, l´altra è di quel libro- Si chiama “problemi d´inseguimento”.
Modello per entrambi gli esercizi è un triangolo equilatero ABC con una lunghezza degli spigoli di 60cm.
I punti X,Y e Z si muovono uniformemente in un corso positivo sugli spigoli del triangolo. X parte da A (30cm/s). Y parte nel punto centrale del lato BC e Z si trova all´inizio sul punto centrale del lato AC. Quando il punto X raggiunge per la prima volta il suo punto di partenza, si incontra lì con i punti Y e Z. Quanto sono veloci i punti Y e Z? 4 punti blu. Quanti giri deve fare X cosicché tutti i tre punti raggiungano il punto di partenza? – altri 3 punti blu.
Per il secondo esercizio i punti X,Y,Z partono da A,B e C e hanno tutti quanti la stessa velocità (30cm/s). Il movimento si svolge in tal modo, che i punti (senso di rotazione positivo) “corrono” sopra il triangolo, per quanto X si muove in direzione Y, Y in direzione Z e Z in direzione X. Dopo breve tempo tutti i punti si incontrano su un punto e si fermano. Quanto tempo dura questo e quanto è lungo il percosso del punto X? 8 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösungsvarianten von Linus, Calvin und Paulchen, danke 
als pdfs --> Linus <--, --> Paulchen<--, --> Calvin <--
und Hans (Amstetten):

1. Eine volle Umrundung des Dreiecks (= Umfang des Dreiecks) ist 180 cm lang. Aus v = s/t (v  = Geschwindigkeit, s = Weg, t = Zeit) folgt: t = s/v. Für den Punkt X erhält man daher t = 180/30 = 6, d.h. der Punkt X braucht für eine volle Runde 6 Sekunden. Daraus ergibt sich für den Punkt Y: s = 90 cm, t = 6 sec, daraus
folgt: V(Y) = 90/6 = 15 CM/S.
Analog gilt für den Punkt Z: s = 30 cm, t = 6 sec, daraus folgt: V(Z) = 30/6 = 5 CM/S.

2. Ein Umlauf ist für jeden Punkt 180 cm lang. Auf Grund ihrer unterschiedlichen Geschwindigkeiten erhält man folgende Umlaufzeiten:
für X 6 Sekunden, für Y 12 Sekunden, für Z 36 Sekunden. Nach 36 Sekunden hat also der Punkt Z seine Startposition erstmals wieder erreicht. In der selben Zeit hat der Punkt Y 3 Umläufe und DER PUNKT X 6 UMLÄUFE gemacht.

3. Mit dem Buchhinweis wird klar, dass es sich schon bei der roten Aufgabe der Nr. 477 um ein sogenanntes “Verfolgungsproblem” gehandelt hat!!! Auch die aktuelle Aufgabe fällt in die gleiche Kategorie.
In der mathematischen Literatur ist in diesem Zusammenhang vom “Käferproblem” die Rede. Dieses lautet:
“Ausgehend von den Ecken eines regulären n-Ecks (n≥3) verfolgen sich die n mathematischen Käfer A1, A2, A3, ... in zyklischer
Reihenfolge. Dabei bewegen sich alle mit der gleichen konstanten Geschwindigkeit v vorwärts und orientieren ihre Bewegungsrichtung
ständig neu, sodass diese immer auf ihren jeweiligen Vorderkäfer zeigt.”
Der französische Mathematiker Henri Brocard (1845-1922) hat nachgewiesen, dass die Verfolgungskurven in einem regelmäßigen n-Eck
logarithmische Spiralen mit dem Mittelpunkt des n-Ecks als Pol sind. Bettet man die Aufgabe in ein Koordinatensystem ein (z. B. mit dem
Koordinatensystem im Mittelpunkt des n-Ecks), so kann man eine Parameterdarstellung der Käferbahn herleiten. Durch Integration der
Käferbahn erhält man die Länge des Weges: Ln = R/sin(π/n), wobei R der Umkreisradius des regelmäßigen n-Ecks ist.
Die ausführlichen Details dazu findet man in http://did.mat.uni-bayreuth.de/material/verfolgung/za.html
Im vorliegenden Fall (n = 3) erhält man somit: L3 = R/sin(π/3) = R/(1/2)*sqrt(3)) = 2*R/sqrt(3).
Für den Umkreisradius R des gleichseitigen Dreiecks gilt: R = 2/3*h = 2/3*(a/2*sqrt(3)) = a*sqrt(3)/3.
Wegen a=60 cm erhält man für R = 60*sqrt(3)/3 = 20*sqrt(3) und daher für L3:
L3 = 2*20*sqrt(3)/sqrt(3) = 40 CM (= GESAMTWEG FÜR JEDEN DER DREI PUNKTE X, Y UND Z) - ein erstaunliches Ergebnis trotz der Komplexität
der Aufgabe. Aus der Geschwindigkeit v=30 cm/s und der Weglänge s=40 cm erhält man die Zeit: t = s/v = 40/30 = 4/3 SEKUNDEN.

Aufgabe 11

479. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, das sieht ja aus wie ein zunehmender Mond mit einem Trapez“, sagte Lisa. „Du hast Recht. Bei meiner Konstruktion bin ich von dem Trapez ABCD ausgegangen. Die zueinander parallelen Seiten erkennst du im Bild und es gilt, dass die Seiten BC, CD und DA sind gleich lang und zwar 2,0 cm. Die Kante AB ist 3,0 cm lang. M ist von allen Punkten des Trapezes gleich weit weg. Die Kurven ADCB und AMB sind Kreisbögen.“
Wie groß ist der Radius des Kreise, der durch die vier Punkte des Trapezes verläuft? 5 blaue Punkte Konstruktionsbeschreibung bzw. Berechnung nicht vergessen.
8 rote Punkte gibt es für den Flächeninhalt der „Mondfläche.“ 4 rote Punkte gibt es dazu, wenn die Länge von AB gefunden wird, so dass die Fläche des „Mondes“ gleich der Fläche des Trapezes ist, wenn die sonstigen Vorgaben unverändert bleiben.

Termin der Abgabe 10.12.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 10.12.2015. Deadline for solution is the 10th. December 2015. Date limite pour la solution 10.12.2015.

“Ciao Mike, ma questo sembra una luna crescente con un trapezio”, disse Lisa. “Hai Ragione. Con questa mia costruzione ero partito da un trapezio ABCD. I lati paralleli l´uno verso l´altro li riconosci sull´immagine e vale che i lati BC, CD e DA sono lunghi uguale, cioè 2,0 cm. Il bordo AB è lungo 3,0 cm. M dista da ogni punto del trapezio la stessa distanza. Le curve ADCB e AMB sono archi circolari.
Quant´è grande il raggio del cerchio che passa per i quattro punti del trapezio? 5 punti blu. Non dimenticate la descrizione della costruzione ed il calcolo.
Per il calcolo dell´area della superficie della luna ci sono 8 punti rossi. Ancora 4 punti rossi se si trova la lunghezza di AB cosicché l´area della luna diventi come quella del trapezio, se i valori rimangono invariati.

"Salut Mike, cela ressemble à un croissant de lune avec un trapèze», a déclaré Lisa. "Tu as raison. Dans ma conception, j’ai commencé avec le trapèze ABCD. Tu peux voir les côtés parallèles dans l’image et les côtés BC, CD et DA ont la même longueur de 2,0 cm chaque. Le bord AB a une longueur de 3,0 cm. M est à la même distance de tous les points du trapèze. Les courbes ADCB et AMB sont des arcs de cercle. "
Quel est le rayon du cercle qui passe par les quatre points du trapèze? 5 points bleus. Ne pas oublier d’écrire la conception et le calcul.
8 points rouges si on trouve la surface de la «face de lune." 4 points rouges supplémentaires si on trouve la longueur d’AB en sachant que les surfaces de la « lune » et du trapèze sont égale. Tous autres paramètres restent inchangés.

“Hi Mike, that looks like a waxing moon inside a trapezoid”, Lisa remarked.
“You are right. I started my construction with trapezoid ABCD. You can see the parallel sides in the picture. Sides BC, CD and DA are 2.0cm each. Side AB is 3 cm. M is equidistant from each of the trapezoid's vertices. Curves ADCB and AMB are arcs.”
What is the radius of the circle passing through the four vertices of the trapezoid? - 5 blue points; Include explanation of construction or calculation.
8 red points for the surface area of the “moon-shaped” area. 4 extra points are given for finding a length AB for which the area of the “moon” equals that of the trapezoid, everything else being as given above
Lösung/solution/soluzione/résultat:
Für die Lösung von blau und dem ersten Teil von rot hier die Lösungen von Hans (--> pdf <--) und Linus (--> pdf <--), danke.
2. Teil rot (die Gleichheit der Flächeninhalte von Mond und Trapez gilt für AB = Wurzel(3)*AD. Wenn ich Zeit habe, kommt hier noch mal ein auführlicherer Lösungsweg dazu.
Wenn man in den obigen Lösungen statt 3 cm 2*Wurzel(3) cm einsetzt, kann man die Gleichheit ja schon mal nachvollziehen.  Der erste Beweis dazu stammt wahrscheinlich von Eudemos (Mathematiker in Pergamon).

Aufgabe 12

480. Wertungsaufgabe

„Das ist ein besonderes Dreieck“, sagte Mike zu Bernd. „Die kürzeste Seite ist 3,0 cm groß und die Innenwinkel des Dreiecks verhalten sich wie 1: 2: 3.“ „Ach so“ . Wie groß ist der Umfang des Dreiecks? Für eine konstruktive Lösung (kurze Begründung) gibt es 4 blaue Punkte. Wird der Umfang rechnerisch ermittelt, gibt es stattdessen 5 blaue Punkte.
Für 5 rote Punkte sind die Größen der Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gesucht. Die beiden gleichlangen Seiten des Dreiecks ABC seien je 8,0 cm. Auf einer dieser gleichlangen Seiten liegt ein Punkt D. Der Punkt D teilt die Seite im Verhältnis des goldenen Schnittes. Das längere Teilstück der geteilten Seite stimmt mit der Länge der Basis des gleichschenkligen Dreiecks überein.

Termin der Abgabe 17.12.2015. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 17.12.2015. Deadline for solution is the 17th. December 2015. Date limite pour la solution 17.12.2015.

fr

"Ceci est un triangle très spécial," Mike dit à Bernd. "Le côté le plus court est de 3,0 cm de longueur et les angles intérieurs du triangle ont un rapport de 1: 2: 3" « Ah bon ».
Quel est le périmètre du triangle? Pour une solution constructive (avec une courte explication) il y aura 4 points bleus. Si le résultat est obtenu par un calcul, il y aura 5 points bleus.
Pour 5 points rouges, il faut trouver les tailles des angles intérieurs d'un triangle isocèle. Les deux côtés égaux du triangle ABC font chacun 8,0 cm. Sur l'un de ces côtés de longueur égale, un point D existe. Le point D divise la page dans le rapport d'or. La partie étendue de la face divisée est conforme à la longueur de la base du triangle isocèle.

 en

“This is a special triangle”, Mike explained to Bernd. “It's shortest side is 3.0cm and the ratio of its internal angles is 1: 2: 3.”
“I see.”
What is the perimeter of the triangle? - 4 blue points for a solution by construction, 5 blue points for calculating the perimeter.
5 red points for finding the internal angles of a isosceles triangle. Let the two equal sides of triangle ABC both be 8.0cm. On one of these equal sides you find a point D. This point divides the side according to the golden ratio. The length of the longer part of the divided side is equal to the base of the isosceles triangle.
it.

“Questo è un triangolo particolare”, disse Mike a Bernd. “Il lato più corto è grande 3,0 cm e gli angoli interni del triangolo si comportano 1:2:3.” “Ho capito”. Quant´è grande la circonferenza del triangolo? Per una soluzione costruttiva (con breve motivazione) si danno 4 punti blu. In caso di un calcolo della circonferenza si danno 5 punti blu.
Per 5 punti rossi sono da trovare le grandezze degli angoli interni di un triangolo isoscele. I due lati di stessa lunghezza del triangolo ABC siano ciascuno 8.0 cm. Su uno di questi lati isosceli si trova un punto D. Il punto D divide il lato nel rapporto del taglio d´oro. Il frammento più lungo del lato diviso corrisponde alla lunghezza della base del triangolo isoscele.

Lösung/solution/soluzione/résultat:

Lösung von Linus, danke. --> als pdf <--

Auswertung Serie 40