Serie 47

Aufgabe 3

555. Wertungsaufgabe

 „Das sieht richtig gut. Es sind regelmäßige Sechsecke, stimmt‘s?“, fragte Mike. „Das siehst du richtig“; erwiderte Lisa. „Begonnen habe ich mit einer Geraden. Darauf habe ich das grüne Sechseck konstruiert. Das mit den Eckpunkten A und B. Dann habe ich das Sechseck um den Punkt B nach rechts gedreht bis die nächste Seite wieder auf der Geraden lag. Der Punkt A lag also jetzt an einer Stelle, die ich mit A₁ bezeichnet habe. Dann drehe ich
weiter und weiter, so dass der erste Punkt A nach fünfmaligen Drehen wieder auf der Geraden ankommt.“ „Verstehe.“
Die Punkte A, A₁, …, A₅ bilden auch ein Sechseck. Wie viel mal größer (Flächeninhalt) ist das rote Sechseck im Vergleich zum grünen Sechseck. - ordentliche Begründung 4 blaue Punkte.
Nimmt man nun als Ausgangsfigur ein regelmäßiges n-Eck, lässt n-1 mal Drehen den ersten linken Eckpunkt wieder auf der Gerade ankommen. Dann entstehen – wie bei blau – auch n-Ecke.
Wie viel mal größer ist der Flächeninhalt des entstehenden n-Eck im Vergleich zum regelmäßigen n-Eck von dem man ausgegangen ist? Super Beweis – 10 rote Punkte.

Termin der Abgabe 18.01.2018. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.01.2018. Deadline for solution is the 18th. January 2018. Date limite pour la solution 18.01.2018. Resoluciones hasta el 18.01.2018.

fr

"Ça a l'air vraiment bien. Ce sont des hexagones réguliers, n'est-ce pas? ", demanda Mike. "Bien vue", répondit Lisa. "J'ai commencé avec une ligne droite. Ensuite, j'ai construit l'hexagone vert. Cela avec les coins A et B. Puis j'ai tourné l'hexagone autour du point B vers la droite jusqu'à ce que le coté suivant soit de retour sur la ligne droite. Le point A est maintenant à un point que j'ai nommé  A1. Puis je tourne encore et encore, de sorte que le premier point A revient sur la ligne droite après avoir tourné cinq fois. "" Je vois. "
Les points A, A1, ..., A5 forment également un hexagone. De combien de fois l'hexagone rouge est plus grand (superficie) que l'hexagone vert ? – Un bon raisonnement aura 4 points bleus.
Si on prend maintenant un n-gon régulier comme figure de départ, le tour n-1 permet au premier point d'angle gauche de revenir à la ligne droite. Puis on obtient - comme avec le bleu – aussi des n-gones.
Quelle est la superficie du nouveau n-gon par rapport au n-gon régulier du départ ? Super épreuve - 10 points rouges. Date limite pour la solution 18.01.2018.

sp

“Eso se ve realmente bonito. Son hectángulos regulares verdad?”, le preguntó Mike. “Tu lo ves bien ” le respondió Lisa. “He empezado con el dibujo de la recta. Encima he construido el hectángulo verde con los puntos A y B. Después he girado el hectángulo a la derecha al redondo del punto B hasta que el próximo lado ha llegado a la recta. El punto A cambió de lugar, lo cuál llamé A_1. Así seguí girando y girando hasta que el punto A llegó después de 5 veces a la recta.”Entiendo.”
Los puntos A, A_1,..., A_5 forman un hectángulo también. Cuantas veces es más grande el hectángulo rojo en comparación con el hectángulo verde? 4 puntos azules para una buena explicación.
Si se empieza con un n-ángulo regular y lo gira n-1 veces hasta que vuelva el primer punto del lado izquierdo a la recta se forma también - cómo en el problema azul - un n-ángulo. Cuantas veces es más grande es el área del n-ángulo en comparación con el n-ángulo del inicio? 10 puntos rojos para una super - demostración. Resoluciones hasta el 18.01.2018.

en
“This looks really good. They are regular hexagons, right?”, Mike asked.
“That’s right”, Lisa replied. “I started with a straight line on which I then constructed the green hexagon. The one with the vertices A and B. Then I rotated the hexagon clockwise around point B so that the next side came to lie on the straight line. Vertex A was now in position A₁. Then I kept rotating until after five rotations the initial point A came to lie on the straight line again.”
“Got it.”
Points A, A₁, …, A₅ make a hexagon, too. How many times is the area of the red haxagon bigger than the green one? - 4 blue points if a valid explanation is provided.
Suppose you started with a regular n-gon. Then you would - after n-1 rotations - find the first vertex on the straight line again. Likewise you would get another n-gon just like in the blue problem.
How many times would the area of the developing n-gon be bigger than the area of the initial regular n-gon? For a super proof – 10 red points. Deadline for solution is the 18th. January 2018.

it

“Questo è molto bello. Sono esagoni regolari, vero?”, chiese Mike. “Lo vedi bene.”, rispose Lisa. “Ho iniziato con una retta. Su di essa ho costruito l´esagono verde. Quello con i punti angolari A e B. Poi ho girato l´esagono intorno al punto B verso destra fino a che il lato successivo si trovava di nuovo sulla retta. Il punto A si trovava quindi su un punto che ho chiamato A₁. Poi continuo e continuo a girare cosicché il primo punto A dopo cinque giri arriva nuovamente sulla retta.” “Capisco.”
I punti A, A₁,..., A₅ formano pure un esagono. Quante volte è più grande (superficie) l´esagono rosso in confronto all´esagono verde? - motivazione regolare 4 punti blu.
Prendendo come figura iniziale un poligono n, girando n-1 volte lascia arrivare il punto angolare sinistro di nuovo sulla retta. Allora si formano – come col blu – anche n-angoli. Quante volte è più grande la superficie del poligono n che si forma in confronto al poligono regolare n dal quale si è partiti? Prova super, 10 punti rossi. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 18.01.2018.

Lösung/solution/soluzione/résultat:
Musterlösungen von Hirvi, --> pdf <-- und Calvin --> pdf <--, danke