Serie-13

Aufgabe 2

Nach den etwas verwirrenden außerirdischen Aktivitäten, grübelten Bernd und Mike über den Wahrheitsgehalt einer Aussage in einem Kinderkrimi. Dort war folgendes zu lesen:
Auf einem ruhigen See befindet sich ein Angler sitzend in seinem Kahn. Er ist ungefähr 10 km vom Ufer entfernt. Als er wieder ans Ufer zurückkehrt, hört er, dass an dem Strand Sachen verschwunden sind. Er mischt sich in die aufgeregte Diskussion ein und meint, er habe von seinem Boot aus, mit seinem Superfernglas einen etwa 1,60 m größen Mann beobachtet, der am Strand entlang ging und plötzlich ziemlich schnell weglief. Einer Badegäste probierte das Fernglas aus und stellte fest, dass man wirklich Leute auf der anderen Seite des Sees (etwa 13 km weg) auf dem Steilufer erkennen konnte. Die hinzugezogene Polizei allerdings nahm ihm die Aussage nicht ab.
Wie steht es um den Wahrheitsgehalt der Aussage des Anglers. Hat er was beobachten können oder ist das Anglerlatein?
Zu erreichen sind 6 Punkte. (Die Brechung des Lichts soll nicht berücksichtigt werden.)

Damit der Angler die Größe des Mannes abschätzen kann, ist die Sicht auf den Strand also normaler Horizont mindestens notwendig, ob er überhaupt etwas sehen kann, hängt dann davon ab wie groß der Mann ist. (So wie bei einem Schiff ja auch zuerst die Aufbauten und dann nach dem Näherkommen die Wasserlinie erkennbar ist.)

Aus der ersten Zeichnung ist die Enfernung zum Horizont ableitbar. x= Wurzel(2rh+h²), wobei r der Erdradius (6371 km und die h die Höhe über der Erdoberfläche ist). Eine gute Näherung ergibt sich auch, wenn h² vernachlässigt wird, das geht weil der erste Summand sehr groß gegenüber dem zweiten ist.
x= Wurzel(2rh). Wenn der Mann im Boot sitzt, so ist h etwa 1 m also x= 3,5 km. Wenn der Angler sehr groß ist und steht wird seine Augenhöhe auch die 2,5 m nicht erreichen. Bei 2,5 m ergibt sich x zu 5,65 km. Also selbst im Stehen kann er das Ufer nicht sehen. Somit ist die Ausgae mit Sicherheit falsch.
Damit kann man eigentlich schon aufhören, aber die zweite Zeichnung geht mal noch auf die Frage ein, was sieht man, wenn etwas nicht direkt am Horizont ist.

h ist wieder die Augehöhe des Beobachters, i die Höhe des möglicherweise zu sehenden Objekts.
Wie oben gezeigt gilt:
y= Wurzel(2ri). Mit h = 1 m (sitzender Angler) und i = 1,6 m (angebliche Körpergröße des Diebes) ergibt sich x + y = 3,5 km + 4,52 km = 8,02 km. Da der Angler 10 km vom Ufer weg war kann er also den kleinen Mann nicht gesehen haben. Lediglich wenn er sehr groß war und im Boot steht, ist der Kopf des Diebes für ihn teilweise sichtbar (x + y = 10,17 km).