Serie-13
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Aufgabe 8
Nun wissen wir endlich, welches Blatt wie zählt. War ja gar nicht so schwer. Lass uns jetzt mal weg vom Glücksspiel kommen, auch wenn es da noch viel zu tun gäbe. Vielleicht später mal noch mehr.
Mein Lehrer hat mal wieder in seiner Schwierigkeitskiste gekramt und uns was aufgebrummt, zeig mal. Der Tausendserkegel: Ein Kegel soll ein Volumen von 1000 cm³ haben und die Fläche aus der gefaltetet werden kann (ohne Grundfläche) soll 1000 cm² groß sein. Nun ich weiß, dass ich aus einem Kreisausschnitt den Kegel falten kann, aber wie groß ist der? Genau darum geht es.
Wie sind die Abmessungen des Kegels, wenn Höhe und Durchmesser gleich sein sollen, welche Maße hat das Blatt Papier, aus dem man den Kegel falten kann? (3+3 Punkte)
Lösung
Das war diesmal wohl doch etwas verwirrend, da die Aufgabe suggeriert, es gibt einen solchen 1000-er Kegel. Das stimmt aber so nicht. Mit h=2r, gibt es einen Kegel der ein Volumen von 1.000 cm³ dazu wird lediglich
V = 1/3 Πr²*h zu
1.000 =2/3 Πr³
das nach r umgestellt ist elementar und s als Radius der Mantelfläche ist dann s = Wurzel (r² + h²) = Wurzel (r² + 4r²) = Wurzel (5r²)
Diese Mantelfläche ist allerdings nicht 1.000 cm³ groß.
Beginnt man mit der Mantelfläche von 1.000, so ergibt sich 1.000 = Πr*s und s.o. s= Wurzel (5r²)
also 1.000 = Πr*Wurzel (5r²)= Πr²*Wurzel (5) Umstellung elementar, aber dann ist die Höhe nicht doppelt so groß wie r.
Es ist allerdings möglich einen Kegel zu haben, bei dem der Zahlenwert des Volumens gleich dem Zahlenwert der Mantelfläche ist und die Bedingung h=2*r gilt.
Aus Πrs=1/3 Πr²*h wird dann
Πr²wurzel(5)=2/3Πr³
r = (3*Wurzel(5))/2.