Serie-13

Aufgabe 6 150. Wertungsaufgabe

Mike, Mike. was ist denn los. Ich habe bei google mal Aufgabe der Woche eingegeben. Na und, da kommen bei etwa 3 Millionen Einträgen die Aufgaben an erster Stelle, über die wir uns unterhalten. Wie jetzt, unsere Aufgaben, die Familiengeschichten, alles im Internet? Ja genau. Ist ja ein starkes Ding und wie lange geht das jetzt schon? Genau 150 Mal. Verstehe ich nicht, lauscht da jemand oder ist es jemand aus der Familie. Tja, keine Ahnung. Es könnte aber noch schlimmer sein. Wie das denn? Nun es könnte doch sein, dass es uns gar nicht gibt, sondern wir nur das Fantasieprodukt von Jemanden sind. ...
Schweiß gebadet wacht Bernd auf. Er hört seine Mutter schon im Bad und beschließt Mike von seinem Traum nichts zu erzählen, auch das mit dem google wird er sein lassen, wer weiß schon, was da dran ist an so einem Traum.
Es lässt ihm aber doch keine Ruhe. Mike, seinem besten Freund, erzählt er es doch. Auch das mit dem google stimmt. Was machen wir nun? Keine Ahnung, wir versuchen herauszubekommen, was los ist. Vielleicht fällt uns ja was ein, wie wir das testen können.
Lass uns zur Beruhigung erst einmal in den Brief schauen, den uns Opa geschrieben hat. Gesagt, getan.
Nimm eine beliebige vierstellige Zahl, bei der nicht alle Ziffern gleich sind. Bilde aus den Ziffern die kleinstmögliche Zahl (die darf auch mit Null anfangen) und auch die größtmögliche Zahl. Bilde die Differenz aus beiden Zahlen (größtmögliche Zahl - kleinstmögliche Zahl). Mit der so erhaltenen Zahl machst du dasselbe wieder. ...
Irgendwann stellt sich eine geheimnisvolle Zahl ein. Wenn man auf diese Zahl die Vorschrift anwendet, so ergibt sich diese Zahl wieder.
Na das kann aber dauern, ach wo, hier steht, nach spätestens 7 Schritten wird die geheimnisvolle Zahl erreicht.
Welches ist die geheimnisvolle Zahl? (1 Punkt)
Durchgerechnetes Beispiel (1 Punkt)
Damit man zeigen kann, dass die Aussage für alle Zahlen von (0001) 1000 bis 9998 gilt, muss man eigentlich alle diese Zahlen durchprobieren (ohne 1111, 2222, ...), könnte man meinen. Zeige, dass es ausreicht, mit deutlich unter 1000 Zahlen zu testen (3 Punkte) - Es ist nicht verlangt die Minmalanzahl zu finden, sondern nur Überlegungen, die die Testanzahl unter 1000 bringen.

Beispiele selber testen

Hier das durchgerechnete Beispiel:

Zahl 1234 (wir lernen bei space balls)

4321 – 1234 = 3087

8703 – 0378 = 8352

8532 - 2358 = 6174

7641 - 1467 = 6174

Vermutlich ist dann 6174 die gesuchte Zahl.

Wie viele Zahlen müssen wir testen?

Die Rechenvorschrift zeigt, dass die Abbildung eigentlich auf den 4stelligen Hausnummern definiert ist. Solche Hausnummern gibt es 1001 Stück (einschließlich 1111 usw.). Wer die Formel nicht kennt schreibe die Hausnummer (= größte Zahl ...) wie folgt an:

9x876xx54x3210 für die Zahl 9664. Dann ist die Anzahl der Hausnummern „4 aus 14“, was sich berechnet zu „14*13*12*11/(1*2*3*4) = 143*7= 1001.

Dieses „Ergebnis“, das noch nichts Spezielles nutzt, ist schon mit 991 deutlich (?) unter 1000.

Schulanfänger mögen feststellen, dass die beiden Zahlen aus der Beschreibung gleiche Quersumme haben und damit gleichen Neunerrest. Nach dem ersten Schritt haben wir eine Neunerzahl. Da keine Differenz in unserer Rechnung Zahlen aus vier gleichen Ziffern hat, fordern wir weiter, dass unsere zu testende Zahle die beiden vordersten verschiedenen Ziffern „richtig“ geordnet hat. Dann haben wir schlicht höchstens 9990 / 18 = 555 Zahlen zu testen.

Anfänger der Algebra mögen sich ansehen, wie das Bild einer allgemeinen vierstelligen Hausnummer „abcd“ aussieht:

Wir schließen hieraus, dass wir alle Bilder mit dem Ansatz z =999*A + 90*B erfassen können. (Nebenbei: Alle solchen Zahlen sind wirklich Bilder, nämlich von „AB00“.)

Oberflächlich betrachtet sind hier höchstens 100 Zahlen möglich, auf den zweiten Blick erkennt man, dass A nicht 0 sein kann [keine vier Gleichen] und dass B höchstens so groß wie A sein kann: Das gibt dann höchstens 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 Zahlen, die wir testen müssen.