Serie-13

Aufgabe 10

Das Puzzle aus der letzten Aufgabe war ja eines mit einem Werk von da Vinci meinte Bernd. Aber klar doch. Mit dessen Bildern gibt es ja eine ganze Reihe solcher Puzzle, Poster und dazu jede Menge Bücher. Da zu kommen aber auch noch eine ganze Menge von Briefmarken. Eine der mathematisch interessantesten ist sicher die hier:

Die sieht ja richtig gut aus. Leonardos Vitruv-Mann ist ebenso dabei wie ein sehr schönes Dodekaeder. In dessen Fünfecken steckt ja auch eine Menge vom goldenen Schnitt, welcher ebenfalls mit abgebildet ist.
Aber was hat es mit dem rechtwinkligen Dreieck auf sich (unter dem Preis), fragte Bernd. Vielleicht soll es ja auf das pythagoräische Tripel 3; 4; 5 hindeuten. Nun da bin ich mir nicht sicher, meinte Mike. Lass uns das mal genauer eingrenzen.
In dem Halbkreis über der einen Kathete soll ein größtmöglicher Kreis sein. Der Mittelpunkt dieses Kreises soll auf der Hypotenuse des Dreiecks liegen und der Flächeninhalt soll genau halb so groß sein die wie Fläche des Halbkreises über der Kathete.
Gibt es rechtwinklige Dreiecke, dessen Seitenlängen pythagoräischen Tripeln entsprechen und wo der Flächeninhalt des inneren Kreises (mit dem Mittelpunkt auf der Hypotenuse) halb so groß ist wie der Fläche des umschließenden Halbkreises?
Es werden bis zu 6 Punkten vergeben.
Die Briefmarke auf einem FDC

Der größte einbeschriebene Kreis berührt den Durchmesser vom Halbkreis genau im Kreismittelpunkt. Deshalb gilt:

wenn k die Länge der Kathete ist, über der der Halbkreis gezogen wurde.

, da der Radius des einbeschriebenen Kreises gerade der Halbe Radius vom großen Kreis ist.

Formt man beides um, so sieht man, dass stets gilt:

Mit Hilfe des Vierstreckensatzes gilt dann:

, wobei x die gesuchte Länge der zweiten Kathete ist.

Also:

Setzt man alles in den Satz des Pythagoras ein, so erhält man:

, wobei k und c natürliche Zahlen sein müssen, da sie sonst kein pythagoreisches Zahlentripel bilden könnten.

Löst man alles nach c auf, erhält man:

Da aber eine irrationale Zahl ist, die mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird, ist auch c irrational und man erhält einen Widerspruch. Also gibt es ein solches Dreieck nicht!