Serie-13

Aufgabe 5

Das war am Ende doch recht erstaunlich, dass so eine Drittelung geht, allerdings die Variante nur mit dem Papierformat. Klar ich hatte zuerst ein quadratischen Zettel, da ging das nicht, meinte Bernds Vater, der sich auch mal wieder an den Knobeleien beteiligt hatte. Aber wie schon oft so hatte er diesmal auch gleich eine knifflige Aufgabe parat. Ihr wisst doch was pythagoräische Zahlentripel sind. Na klar, das sind drei natürliche Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen. So zum Beispiel, das Tripel (3; 4; 5) oder auch (5; 12; 13). Okay, aber ist euch auch klar, dass man solche Tripel schnell ermitteln kann. Gab es da nicht eine Vorschrift? Stimmt und zwar geht das so:
Wähle zwei natürliche Zahlen x und y mit x > y. Die Kathete a ergibt sich aus x² - y², die Kathete b ergibt sich aus 2*x*y und die Hypothenuse c ist einfach x² + y². Mit (x; y) = (2; 1) ergibt sich das erste der obigen Tripel und mit (3; 2) das zweite Tripel. Und das klappt immer staunt Bernd. Genau das ist die Aufgabe, zeige dass die Vorschrift immer auf ein pythagoräisches Zahlentripel führt.

Wer zeigen kann, dass die Vorschrift stimmt, der erhält 3 Punkte.

Satz des Pythagoras: a² + b² = c²
linke Seite eingesetzt
(x² - y²)² + (2*x*y)²
x⁴ - 2x²y² + y⁴ + 4x²y²
x⁴ + 2x²y² + y⁴
rechte Seite eingesetzt
(x² + y²)² wieder binomische Formel
x⁴ + 2x²y² + y⁴
Linke und rechte Seite stimmen überein. Was will man mehr.