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Aufgabe 9

Der Tausenderkegel oder besser die Tausenderkegel haben mich ganz schön geschafft. Jetzt mache ich mal was ganz anderes, ich puzzle mal wieder. Nun ja warum nicht, wie viele Teile hat es denn. So etwa 500, das geht eigentlich schnell. Ich suche mir zuerst die Randsteine raus. Zumindest bei den rechteckigen Puzzles. Die runden und sonst wie geformten mag ich nicht. Wenn ich den Rand zusammen habe, dann ist doch schon eine gewisse Prozentzahl an Steinen am richtigen Platz. Was guckst du so komisch? Nun du hast gerade Prozentzahl gesagt. Na und? Nun wie es bei deinem rechteckigen Puzzle ist, weiß ich nicht. Aber was meinst du, gibt es Puzzle, wo die Anzahl der Randsteine genau 10 % aller Steine ausmachen. Wird schon sein. Bei meinem 500-er sind es jedenfalls mehr als 10 Prozent aller Steine.
Wie viele Steine hat ein rechteckiges Puzzle (in jeder Zeile von Steinen soll es gleich viele Steine geben, Randsteine sind natürlich auch Steine des Puzzles) minimal bzw. maximal, bei welchem die Anzahl der Randsteine genau 10 Prozent aller Steine beträgt? Zu erreichen sind 8 Punkte (bei voller Begründung).

Lösung

Das Puzzle habe das Rechtecksformat a x b(Steine). Die Anzahl aller Steine ist dann a*b und die Anzahl der Randsteine (bei a, b > 2 ) ist 2a + 2b - 4 (-4 wegen der sonst auftretenden Doppelzählung der Ecksteine)
Da die Randsteine 10 % aller Steine sein soll folgt
10(2a + 2b - 4)=ab
20a + 20b - 40 = ab
20a - ab = 40 - 20b
(20 - b)a = 40 - 20b
a = (40 - 20b)/(20-b)
(Es gab verschiedene Lösungsvarianten mit Überlegungen zur Teilbarkeit oder aber die Betrachtung der Gesamtzahl, ... Hier nun die schnöde Tabellenkalkulation)
Wenn man also nun systematisch b durchprobiert erhält man folgende Ergebnisse:

a b Anzahl Randteile alle Teile
1 1,05 0,11 1,05
2 0 0 0
3 -1,18 -0,35 -3,53
4 -2,5 -1 -10
5 -4 -2 -20
6 -5,71 -3,43 -34,29
7 -7,69 -5,38 -53,85
8 -10 -8 -80
9 -12,73 -11,45 -114,55
10 -16 -16 -160
11 -20 -22 -220
12 -25 -30 -300
13 -31,43 -40,86 -408,57
14 -40 -56 -560
15 -52 -78 -780
16 -70 -112 -1120
17 -100 -170 -1700
18 -160 -288 -2880
19 -340 -646 -6460
20 Err:503 Err:503 Err:503
21 380 798 7980 1
22 200 440 4400 2
23 140 322 3220 3
24 110 264 2640 4
25 92 230 2300 5
26 80 208 2080 6
27 71,43 192,86 1928,57
28 65 182 1820 7
29 60 174 1740 8
30 56 168 1680 9
31 52,73 163,45 1634,55
32 50 160 1600 10
33 47,69 157,38 1573,85
34 45,71 155,43 1554,29
35 44 154 1540 11
36 42,5 153 1530
37 41,18 152,35 1523,53
38 40 152 1520 12
39 38,95 151,89 1518,95
40 38 152 1520 1
41 37,14 152,29 1522,86
42 36,36 152,73 1527,27
43 35,65 153,3 1533,04
44 35 154 1540 2
45 34,4 154,8 1548
46 33,85 155,69 1556,92
47 33,33 156,67 1566,67
48 32,86 157,71 1577,14
49 32,41 158,83 1588,28
... ... ... ...

Die Tabelle macht deutlich, es gibt 24 verschiedene Puzzle (wenn man Hoch- und Querformat unterscheidet), welche die Bedingung mit den 10 % Randsteinen erfüllen. Die Minimalzahl an Steinen ist bei dem fast quadratischen Puzzle mit 1520 Steinen erreicht. Die Maximalzahl beim " extrem " rechteckigen Puzzle mit 7980 erreicht.
Wenn der Rand gerade 1 % sein soll, gilt:
Max: 201 x 39.800 Steine Rand: 79.998 Steine: 7.999.800
Min: 398 x 400 Steine Rand 1.592 Steine 159.200