Serie-13

Aufgabe 4

Na ja Opa, nun sind ja solche Märsche nicht mehr Pflicht und das ist auch gut so. Aber als kleine Rechnung war das noch gut, meinte Bernd. Was machst du jetzt eigentlich gerade mit dem Blatt? Nun erstens ist es ein A4 Blatt, dass heißt die längere Seite ist genau Wurzel(2) mal so lang wie die kürzere. Nun habe ich eine Anleitung gelesen, wie man ohne zu messen ein Drittel des Blattes durch Falten erhält (längere Seite). Das scheint auch zu stimmen, aber ich weiß nicht warum? Zeig mal her, meinte auch Mike, der gerade dazu gekommen war. Okay.

Also, ich soll eine Faltung entlang der Diagonale von A nach C machen. - Eh, das sieht aber schief aus, aber egal mach mal weiter. Nun lege ich mir das Blatt wieder glatt hin und sehe die Faltlinie von A nach C. Nun nehme ich die Ecke A und falte sie so auf die erste Linie, dass der Punkt B zur zweiten Faltlinie gehört. Nun, so sagt die Anleitung, soll der Schnittpunkt beider Faltungen genau 1/3 der Seitenlänge von BD - also von AB entfernt - sein, so dass durch diesen Punkt "gerade gefaltet" die Aufgabestellung erreicht ist. Das scheint ja zu klappen, na ja das sehe ich auch, aber warum ist das so?

Wer zeigen kann, dass die Vorschrift wirklich stimmt oder aber auch, dass das nicht so ist, der erhält 8 Punkte.

AB sei 1, dann ist BC= Wurzel (2) lang. Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich die Diagonale dann zu Wurzel (3).. Der Schnittpunkt der beiden Faltungen sei E. Das Dreieck ABE ist wegen der Faltungsvorschrift rechtwinklig. Nach dem Hauptähnlichkeitssatz sind das Dreieck ABE und ABC einander ähnlich (beide rechtwinklig und den Winkel CAB haben sie gemeinsam). Dann aber gilt AE : AB = AB : BC = 1 : Wurzel (3)
AE = 1/Wurzel (3) wird umgeformt zu
AE = Wurzel (3)/3, das aber ist dann
AE = AC/3
Die parallele Faltung durch E soll BC dann bei F teilen.
Nun bilden die die Geraden EF und AB gemeinsam mit den Strahlen CA und CB eine typische Figur zum Strahlensatz.
Es gilt nun:
BF : BC = AE : AC
BF : BC = AC/3 : AC
BF : BC = 1 : 3
BF = 1/3 *BC
Damit liefert die Vorschrift wirklich dass das Dritteln des Blattes.
Ein allgemeines Rechteck lässt sich mit drei Falzen dritteln.
1. Falzung BC wird auf AD gefaltet - also die Mitte von AB = E wird gefunden.
2. Falzung Es wird ein Faltung entlang von EB gemacht (Diagonalen im im halben Rechteck).
3. Falzung entlang BD.
Der Schnittpunkt von 2. und dritter Falzung treffen sich in einem Punkt F, durch den kann dann die Drittelung vorgenommenen werden, wenn man von AB ausgeht. Den Nachweis überlasse ich ich dem geneigten Leser. Wer nicht mag, der hole sich das Buch 101 Mathematikaufgaben von Peter Gallin aus der Bibliothek.