Serie 58

Aufgabe 7

691. Wertungsaufgabe

deu

Der Opa von Bernd und Maria hatte wieder einmal einen Klassiker mitgebracht.

„Schaut, wie schon oft habe ich das berühmte rechtwinklige Dreieck ABC (3x4x5 cm) gezeichnet. Neu ist der Punkt M. Dieser ist der Mittelpunkt der Kathete AB und zugleich der Mittelpunkt des Kreises durch den Punkt C. Man erkennt zwei grüne und vier rote Quadrate.“, sagte der Opa. „Alles klar.“
Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt des schraffierten Sechsecks AEFCGH? 4 blaue Punkte
Man sieht ganz schnell, dass die Summe der Flächeninhalte der vier roten Quadrate gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden grünen Quadrate ist – Nachweis durch Berechnung: 3 rote Punkte. Gilt diese Flächengleichheit auch, wenn man die Lage des Punktes C (oberhalb von AB) verändert? (Im Allgemeinen bleibt dabei das Dreieck ABC nicht rechtwinklig, der Radius des Kreises ändert sich und folglich auch die Größe der linken roten Quadrate.)
Falls ja, wie zeigt man das, wenn nein, reicht ein Gegenbeispiel – 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 11.11.2021. Срок сдачи 11.11.2021. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 11.11.1921. Deadline for solution is the 11th. November 2021. Date limite pour la solution 11.11.2021. Soluciones hasta el 11.11.2021. Beadási határidő 2021.11.11. 截止日期: 2021.11.11 – 请用徳语或英语回答

chin

第691题

贝恩德和玛丽雅的爷爷又带来了经典的题。

“看，正如以前经常做的那样，我又画了一个众所周知的直角三角形ABC(边长分别为3,4,5厘米)。不一样的是点M，它既是边AB的中点，
也是过点C的圆的圆心。这样又得到了两个绿色的和四个红色的正方形。”爷爷说道。
“明白。”
那么带条格的六边形AEFCGH的周长和面积是多少？ 4个蓝点
人们能很快看出来四个红色正方形的面积之和等于两个绿色正方形的面积之和。请通过计算来证明。 3个红点
如果边AB上方的点C的位置发生改变，那么面积之和相等还适用吗？如果适用，请证明；如果不适用，请举一个反例。4个红点

截止日期: 2021.11.11 – 请用徳语或英语回答

rus

Дед Бернда и Марии снова принёс с собой классическую задачу.

«Послушайте, я нарисовал как уже часто в прошлом знаменитый прямоугольный треугольник ABC (3х4х5 см). Точка M новая. Она - центр катета AB и одновременно центр окружности, проходящей через точку C. Вы можете увидеть два зелёных и четыре красных квадрата», сказал дедушка. "Все ясно."
Каковы периметр и площадь заштрихованного шестиугольника AEFCGH? 4 синих очка
Можно очень быстро увидеть, что сумма площадей четырёх красных квадратов равна сумме площадей двух зелёных квадратов - доказательство вычислением: 3 красных очка.
Имеет ли силу это равенство площадей и тогда, если положение точки C (поверх AB) изменить? (При этом в общем случае треугольник ABC не остаётся прямоугольным, радиус окружности меняется и следовательно также величина левых красных квадратов.)
Если да, то как это показать, если нет, то достаточно привести один контрпример - 4 красных очка

hun

Bernd és Mária nagyapja megint egy klasszikust hozott.

„Látjátok milyen sokszor rajzoltam már a híres jobbszögű háromszöget (3x4x5 cm). Újdonság most az M pont. Ez az AB befogó középpontja és egyben a C ponton érintő kör középpontja. Láthatunk két zöld és négy piros négyzetet. „ – mondta nagyapa. „Értjük.”
Mekkora a kerülete és a területe a csíkozott AEFCGH hatszögnek? 4 kék pont
Láthatjuk azonnal, hogy a négy piros négyzet felületének összege megegyezik a két zöld négyszögével. Ennek bizonyítása számítással 3 piros pont.
Érvényes ez a területi egyezés akkor is, ha a C pont helyzetét (AB felé) megváltoztatjuk? Amennyiben igen, bizonyítsuk, ha nem, elég egy ellenpélda. 4 piros pont

frz

Le grand-père de Bernd et Maria avait encore une fois apporté un grand classique.

« Regardez, comme je l'ai souvent fait auparavant, j'ai dessiné le fameux triangle rectangle ABC (3x4x5 cm). Le point M est nouveau. C'est le centre de la jambe AB et en même temps le centre du cercle passant par le point C. Vous pouvez voir deux carrés verts et quatre rouges », a déclaré le grand-père. "Entendu."
Quel est le périmètre et l'aire de l'hexagone hachuré AEFCGH ? 4 points bleus
On voit très vite que la somme des aires des quatre carrés rouges est égale à la somme des aires des deux carrés verts - preuve par calcul : 3 points rouges. Cette égalité d'aire s'applique-t-elle également si la position du point C (au-dessus de AB) est modifiée ?
Si oui, comment le montrer, sinon, un contre-exemple suffit - 4 points rouges

esp

El abuelo de Bernd y María había traído una vez más un clásico.

"Mira, como ya he hecho muchas veces, he dibujado el famoso triángulo rectángulo ABC (3x4x5 cm). La novedad es el punto M. Éste es el centro del cateto AB y al mismo tiempo el centro de la circunferencia que pasa por el punto C. Puedes ver dos cuadros verdes y cuatro rojos", dijo el abuelo. "Muy bien".
¿Cuál es el perímetro y el área del hexágono rayado AEFCGH? 4 puntos azules.
Se puede ver rápidamente que la suma de las áreas de los cuatro cuadrados rojos es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados verdes - la prueba por cálculo produce 3 puntos rojos. ¿Esta igualdad de áreas también se aplica si se cambia la posición del punto C (sobre AB)? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo se demuestra? Si es negativa, basta con un contraejemplo: 4 puntos rojos.

en

Bernd's and Maria's grandpa once again brought another classic with him.

“Look, like many times before I drew the famous right-angled triangle ABC (3x4x5 cm). New is point M. It is the centre of side AB and at the same centre of the circle that intersects through point C. You can see two green and four red squares”, grandpa said. “Alright.”
How big are perimeter and area of the hatched hexagon AEFCGH? 4 blue points
You can see very quickly, that the sum of the areas of the four red squares are equal to the sum of the areas of the two green squares – proof through calculation: 3 red points. Do you have the same equality of the areas, if the position of point C (above AB) gets changed?
If yes, how can you show this, if no, one counterexample is enough – 4 red points

it

Il nonno di Bernd e Maria aveva di nuovo portato un classico.

“Guardate, ho disegnato il famoso triangolo rettangolare ABD (3x4x5 cm)- Una novità è il punto M. Questo è il centro del cateto AB e contemporaneamente anche il centro del cerchio che passa per il punto C. Si vedono due quadrati verdi e quattro rossi.”, diceva il nonno. “Abbiamo capito.”
Quale sono la circonferenza e l’area del’ esagono AEFCGH tratteggiato ? 4 punti blu
Si vede facilmente, che la somma delle aeree dei quattro quadrati rossi è uguale a questo dei quadrati Verdi. – Prova tramite un calcolo – 3 punti rossi.
Questa equivalenza, vale anche se si cambia la posizione del punto C (sopra AB)? Se sì, come si dimostra quedsto fatto. Se no, basta un esempio che mostra il contrario. – 4 punti rossi

Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:

Musterlösungen von calvin --> pdf <-- und Hans --> pdf <--, danke.