Serie 58

Aufgabe 10

694. Wertungsaufgabe

deu

„Na kommt, einen oder zwei „Zahlenzauber“ vertragen wir noch“, meinte Mike. „Okay!“

Nun ja, immer gilt das mit der Gleichheit von gemischtem Bruch und dem Produkt nicht, dazu die Vieren des Beispiels einfach durch 2 Sieben ersetzen.
Wenn eine natürliche Zahl a (a>0) gewählt wird, wie muss dann das b gewählt werden, so dass die allgemeine Gleichung stimmt? 3 blaue Punkte.
Aus der Welt der Logarithmen. Für den natürlichen Logarithmus gilt ln((81/8) - 9) = ln (81/8) – ln 9
Allgemein: ln((a/b) - c) = ln (a/b) – ln c. Das gilt allerdings nicht immer, aber wenn ich c > 1 vorgebe, wie müssten dann a und b gewählt (berechnet) werden, damit die Gleichung stimmt? 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 02.12.2021. Срок сдачи 02.12.2021. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 02.12.1921. Deadline for solution is the 2th. December 2021. Date limite pour la solution 02.12.2021. Soluciones hasta el 02.12.2021. Beadási határidő 2021.12.02. 截止日期: 2021.12.02 – 请用徳语或英语回答

chin

第694题

“过来看，我们还可以操纵一、两个数字魔法。”迈克说。
“好的！”
等式 ，基本方程式形式是：
当然这个混合分数等式不是一直成立。例如把例题中等式两边的4换成7，这个等式就不成立了。
如果已经选择了一个自然数a (a>0)，为了使上述方程式成立，那么人们怎么选择b呢？ 3个蓝点。

来自于对数的世界。
对于一个自然对数，等式 ln((81/8)- 9) = ln(81/8)–ln 9，基本方程式形式是：ln((a/b)- c) = ln(a/b)–ln c。
这个方程式也不是一直成立的。但是如果我指定 c > 1，为了使这个方程成立，那么a和b应该如何选择？ 3个红点。

截止日期至2021年12月2号

rus

«Давай, мы все ещё выдержим один или два «фокуса из мира чисел»», сказал Майк.
«OK!, в общем .
Мм да, это равенство смешанной дроби и произведения не всегда имеет место , просто замените четвёрки в примере двумя семёрками.» Если выбрано натуральное число a (a > 0), как нужно выбрать b, чтобы общее уравнение было правильным? 3 синих очка. Из мира логарифмов: Для натурального логарифма имеет место ln ((81/8) - 9) = ln (81/8) - ln 9. В общем: ln ((a / b) - c) = ln (a / b) - ln c. Это не всегда верно, но если я задам c > 1, как должны быть выбраны (рассчитаны) a и b, чтобы уравнение было правильным? 3 красных очка.

hun

„Na gyere, egy vagy két varázsszámot tudok még mutatni.” – mondta Mike. „Jó.”

Hát igen, nem mindig érvényes az egyenlőség a vegyes törteket és eredményt illetően, ehhez a példa négyeseiben egyszerűen kettővel a hetest pótoljuk.
Amennyiben egy (a>0) természetes számot választunk, hogyan kell kiválasztani a b számot, hogy az általános egyenlőség meglegyen? 3 kék pont
A logaritmus világából. A természetes logaritmusra igaz ln((81/8) - 9) = ln (81/8) – ln 9.
Általánosságban: ln((a/b) - c) = ln (a/b) – ln c. azonban ez nem mindig érvényes. Ha c > 1 –t megadom, akkor mekkora legyen a és b (kiszámítva), hogy az egyenőség fennálljon? 3 piros pont

frz

"Allez, nous pouvons toujours entendre un ou deux " nombre magiques", a déclaré Mike. "D'accord!"

  généralement

Eh bien, l'égalité de la fraction mixte et du produit ne s'applique pas toujours, remplacer simplement les chiffres quatre dans l'exemple par deux chiffres sept.
Si un nombre naturel a (a> 0) est choisi, comment doit-on choisir b pour que l'équation générale soit correcte ? 3 points bleus.
Du monde des logarithmes. Le logarithme népérien est ln ((81/8) - 9) = ln (81/8) - ln 9
Généralement : ln ((a / b) - c) = ln (a / b) - ln c. Ce n'est pas toujours vrai, mais si je spécifie c>1, comment a et b devraient-ils être sélectionnés (calculés) pour que l'équation soit correcte ? 3 points rouges.

esp

"Vamos, todavía podemos soportar un "hechizo de número" o dos", dijo Mike. "¡Está bien!"
general

Pues bien, la igualdad de la fracción mixta y el producto no siempre se aplica, así que basta con sustituir los 4 del ejemplo por dos 7.
Si se elige un número natural a (a>0), ¿cómo se debe elegir b para que la ecuación general sea correcta? 3 puntos azules.
Del mundo de los logaritmos.
Para el logaritmo natural, ln((81/8) - 9))= ln (81/8) - ln 9
En general: ln (a/b) - c) = ln (a/b) - ln c.
Sin embargo, esto no siempre es cierto, pero si especifico c > 1, ¿cómo habría que elegir (calcular) a y b para que la ecuación sea correcta? 3 puntos rojos.

en

“Come on one or two more so called 'number tricks' will be alright”, Mike. said “Okay!”

Well, we always do have the equality of mixed fractions and not the product, therefore you substitute the fours through 2 sevens in the example.
If a whole number a (a>0) gets chosen, how has b to be chosen, so that the general equation is true? 3 blue points.
From the world of logarithms. For the whole logarithm ln((81/8) - 9) = ln (81/8) – ln 9 is true.
In general: ln((a/b) - c) = ln (a/b) – ln c. This is not true, if I prescribe c > 1, how have a and b then to be chosen (calculated), that the equation is true? 3 red points.

it

„Dai, qualche aspetto magico rispetto numeri dovremmo ancora esaminare”, diceva Mike. „Va bene!”

  o in genere

Naturalmente non funziona sempre che la frazione mista sia uguale al prodotto. Per capirlo, basta cambiare nell’esempio le „4” con due „7”.
Se viene scelto un numero naturale a, come deve essere scelto b per ricevere un’equazione generale corretta? 3 punti blu
Parliamo adesso di logaritmi. Per il logaritmo naturale vale: ln((81/8) - 9) = ln(81/8) – ln(9)
In genere: ln((a/b) – c) = ln(a/b) – ln(c) però non in ogni caso. Se viene dato un c>1, come devono essere scelte (clcolate) a e b per un’equazione corretta? 3 punit rossi

Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:

Die blaue Aufgabe ist sehr einfach gewesen, die Lösung von rot "scheiterte" für viele halt daran, dass die notwendigen Gesetzmäßigkeiten fast nie im Unterricht vorkommen, schade eigentlich.
Musterlösung von Reinhold M., danke:
der Term a a/b, b ≠ 0, bei "blau" bedeutet ja
   a a/b = a + a/b = a * (b + 1)/b,
so dass die Bedingung genau für (Multiplikation mit b/a)
   b + 1 = a
erfüllt ist.
Es muss also b = a - 1 gewählt werden.
Im Beispiel gilt das ja tatsächlich: a = 5, b = 4 = 5 - 1 = a - 1.

Die rechte Seite der "roten" Bedingungsgleichung (b ≠ 0) kann man ja zu
   ln(a/b) - ln(c) = ln((a/b) / c)
umformen, so dass die Bedingung genau für
   a/b - c = (a/b) / c
erfüllt ist, was wiederum genau für (Addition von c - (a/b) / c)
   a/b * (1 - 1/c) = c
gilt - und das genau für (Multiplikation von c / (c - 1))
   a/b = c^2 / (c - 1).
Es muss also a/b = c^2 / (c - 1) gelten. Beispielsweise können b ≠ 0
frei und dann a = b * c^2 / (c - 1) gewählt werden.
Sollen alles natürliche Zahlen sein, so gibt es wegen der
Teilerfremdheit von c^2 und c - 1 eine ganze Zahl n, n > 0, so dass
   a = c^2 n,
   b = (c - 1) n.
Sollen zusätzlich a und b teilerfremd sein, so folgt n = 1, also a =
c^2, b = c - 1.
Im Beispiel gilt das ja tatsächlich: c = 9, a = c^2 = 81, b = c - 1 = 8.