Serie 61

Aufgabe 5

725. Wertungsaufgabe

deu

„Schaut euch mal meine Konstruktionen an. In beiden Fällen habe ich mit einem Quadrat der Seitenlänge von 6 cm begonnen.“, sagte Lisa.

In dem blauen Quadrat ABCD sind ein roter Halbkreis (Durchmesser= Strecke AB) und ein roter Kreis zu erkennen. Der Kreis hat als Durchmesser die Strecke EF. F ist der Mittelpunkt der oberen Quadratseite und E ist der Mittelpunkt einer Diagonale des Quadrates. Wie viel Prozent des blauen Quadrates sind von den roten Figuren überdeckt? 6 blaue Punkte.
In das rote Quadrat HIJK sind ein blauer Halbkreis und zwei blaue Kreise eingezeichnet.Die blauen Kreise berühren jeweils den Halbkreis und zwei Quadratseiten. Wie viel Prozent des roten Quadrates sind von den blauen Figuren überdeckt? 8 rote Punkte.

Termin der Abgabe 13.10.2022. Срок сдачи 13.10.2022. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.10.2022. Deadline for solution is the 13th. October 2022. Date limite pour la solution 13.10.2022. Soluciones hasta el 13.10.2022. Beadási határidő 2022.10.13. 截止日期: 2022.10.13 – 请用徳语或英语回答

chin

第725题

“你们来看下我的构图。这两张图都是从边长为6厘米的正方形开始的，”丽莎说。

在蓝色的正方形ABCD 中可以看到一个直径为AB的红色的半圆和一个红色的圆。红色的圆的直径是EF，其中点F是正方形上边的边儿的中点，点E是正方形一条对角线上的中点。
那么红色图形覆盖了蓝色区域的百分比是多少？ 6个蓝点。
在红色正方形HIJK 中绘有一个蓝色的半圆和两个蓝色的圆，两个蓝色的圆分别和蓝色的半圆以及正方形的其中的两条边儿相切。
那么蓝色图形覆盖了红色正方形的百分比是多少？ 8个红点。

截止日期: 2022.10.13 – 请用徳语或英语回答

russ

«Посмотрите на мои конструкции. В обоих случаях я начала с 6-сантиметровым квадратаом», — сказала Лиза.

Красный полукруг (диаметр = расстояние AB) и красный круг можно увидеть в синем квадрате ABCD. Диаметр окружности равен EF. F — центр верхней стороны квадрата, а E — центр диагонали квадрата. Сколько процентов синего квадрата покрыты красными фигурами? 6 синих очков.
В красный квадрат HIJK вписаны синий полукруг и два синих круга, каждый из которых касается полукруга и двух сторон квадрата. Сколько процентов красного квадрата покрыты синими фигурами? 8 красных очков.

hun

„Nézzétek a szerkesztéseimet. Mindkét esetben egy 6 cm lodalú négyzettel kezdtem.“ mondta Lisa.

A kék ABCD négyzetben látható egy piros félkör (átmérö = AB szakasz) és egy piros kör. A kör átméröje az EF szakasz. Az F pont a felső négyzetoldal felezőpontja és az E pont a négyzet átlójának középpontja.
A kék négyzet hány százalékát fedik be a piros figurák? 6 kék pont
A piros HIJK négyzetbe egy kék félkört és két kört rajzolunk. A kék körök érintik a félkört és a négyzet oldalait. A piros négyzet hány százalékát fedik le a kék figurák? 8 piros pont

frz

« Regardez mes constructions. Dans les deux cas, j'ai commencé avec un carré de 6 cm », explique Lisa.

Un demi-cercle rouge (diamètre = distance AB) et un cercle rouge sont visibles dans le carré bleu ABCD. Le diamètre du cercle est EF. F est le milieu du côté supérieur du carré et E est le milieu d'une diagonale du carré. Quel pourcentage du carré bleu est couvert par les surfaces rouges ? 6 points bleus.
Un demi-cercle bleu et deux cercles bleus sont dessinés dans le carré rouge HIJK. Les cercles bleus touchent chacun le demi-cercle et deux côtés du carré. Quel pourcentage du carré rouge est couvert par les surfaces bleues ? 8 points rouges.

esp

"Echen un vistazo a mis construcciones. En ambos casos empecé con un cuadrado de 6 cm la longitud de arista", dijo Lisa.

En el cuadrado azul ABCD puedes ver un semicírculo rojo (diámetro= distancia AB) y un círculo rojo. El diámetro del círculo es la distancia EF. F es el centro del lado superior del cuadrado y E es el centro de una diagonal del cuadrado. ¿Qué porcentaje del cuadrado azul está cubierto por las figuras rojas? 6 puntos azules.
En el cuadrado rojo HIJK se dibujan un semicírculo y dos círculos azules que tocan el semicírculo y los dos lados del cuadrado respectivamente. ¿Qué porcentaje del cuadrado rojo está cubierto por las figuras azules? 8 puntos rojos.

en

"Take a look at my constructions. In both cases I started with a square of edge length 6 cm," Lisa said.


In the blue square ABCD, a red semicircle (diameter= distance AB) and a red circle can be recognised. The diameter of the circle is the distance EF. F is the centre of the upper side of the square and E is the centre of a diagonal of the square. What percentage of the blue square is covered by the red figures? 6 blue points.
A blue semicircle and two blue circles are drawn into the red square HIJK. The blue circles touch the semicircle and two sides of the square. What percentage of the red square is covered by the blue figures? 8 red points.

Deadline for solution is the 13th. October 2022.

it

"Guardate i miei disegni. in tutti e due i casi ho cominciato con una lunghezza laterale di 6 cm", diceva Lisa. 

Nel quadrato blu ABCD ci sono un semicerchio (diametro= tratto AB) e un cerchio rossi. Il diametro del cerchio è uguale al tratto EF. F è il centro del lato superiore del quadrato ed E è il centro di una diagonale del quadrato.
Qual è la percentuale del quadrato blu coperta dalle figure rosse? 6 punti blu
Nel quadrato rosso HIJK sono disegnati un semicerchio e due cerchi blu. I cerchi toccano sia il semicerchio che due lati del quadrato.
Qual è la percentuale del quadrato rosso coperta dalle figure blu? 8 punti rossi.

Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:
Musterlösung von Reinhold M., danke
Zunächst zum blauen Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a:= 6 (alles in cm). Für den Radius r1 des roten Halbkreises gilt   r1 = 1/2 AB = a/2, der Diagonalenmittelpunkt E hat von AB und von CD den gleichen Abstand
a/2 und auf der Senkrechten zu AB durch E liegen G und F - deren Senkrechte durch E ist die gemeinsame Tangente des Halbkreises und des roten Kreises. Für dessen Radius r2 gilt   r2 = 1/2 a/2 = a/4.
Für der Flächeninhalt AABCD des blauen Quadrats gilt   AABCD = a^2, für den des roten Halbkreises AHalbkreisAB  AHalbkreisAB = 1/2 Pi r1^2 = Pi/8 a^2  und für den des roten Kreises AKreisG
  AKreisG = Pi r2^2 = Pi/16 a^2.
Die gesuchte Überdeckung Pblau des blauen Quadrats durch die roten Figuren beträgt damit (in Prozent)
  Pblau = (AHalbkreisAB + AKreisG) / AQuadratABCD * 100
    = (Pi/8 a^2 + Pi/16 a^2) / a^2 * 100
    = 75/4 Pi = 18,75 Pi,
also ca. 58,9049 Prozent.

Im roten Quadrat HIJK mit der Seitenlänge b:= 6 (alles in cm) seien Q der Mittelpunkt von HI sowie S und T die Schnittpunkte der blauen Kreise und weiter U der Mittelpunkt von ST. Dann liegen Q, S, U und T auf einer
- zu HI und JK senkrechten und zu IJ und KH parallelen - Geraden sowie M, N, U, P und R auf einer zweiten - zur ersten sowie zu IJ und KH senkrechten und zu HI und JK parallelen. Für den Radius r3 des blauen
Halbkreises gilt
  r3 = 1/2 HI = b/2,
und mit dem Radius r4 der blauen Kreise folgt
  UN = UP = r3 - r4 = b/2 - r4,
  QN = QP = r3 + r4 = b/2 + r4,
  QU = b - r4
und damit nach dem Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck NQU
(bzw. QPU)
  (b/2 + r4)^2 = r4^4 + b r4 + b^2/4
    = (b - r4)^2 + (b/2 - r4)^2 = 2 r4^2 - 3 b r4 + 5/4 b^2,
also
  r4^2 - 4 b r4 + b^2 = 0
mit der Lösung (die Eindeutigkeit folgt aus r4 < b)
  r4 = (2 - Wurzel(3)) b.
Damit ist   UN = b/2 - r4 = (Wurzel(3) - 3/2) b
und damit nach dem Satz des Pythagoras für (z.B.) das rechtwinklige Dreieck NUT
  r4^2 = ((2 - Wurzel(3)) b)^2 = (7 - 4 Wurzel(3)) b^2
    = ((Wurzel(3) - 3/2) b)^2 + TU^2 = (21/4 - 3 Wurzel(3)) b^2 + TU^2,
also
  TU^2 = (7/4 - Wurzel(3)) b^2 = (1 - 1/2 Wurzel(3))^2 b^2.
Damit folgt
  ST = 2 TU = (2 - Wurzel(3)) b = r4,
d.h. die Dreiecke TNS und SPT sind gleichseitig mit Innenwinkeln von 60°.
Der Flächeninhalt ADreieck eines dieser Dreiecke ist
  ADreieck = 1/2 ST UN = 1/2 (2 - Wurzel(3)) (Wurzel(3) - 3/2) b^2 =
(7/4 Wurzel(3) - 3) b^2.
Außer aus diesen beiden Dreiecken und dem blauen Halbkreis mit der
Fläche AHalbkreisHI
  AHalbkreisHI = 1/2 Pi r3^2 = Pi/8 b^2
besteht die blaue Fläche noch aus den zwei Kreissektoren NTS und PST mit einem Zentrumswinkel von jeweils 360° - 60° = 300° und damit einem Flächeninhalt AKreissektor von   AKreissektor = 300°/360° Pi r4^2 = 5/6 Pi (7 - 4 Wurzel(3)) b^2, und der Flächeninhalt AQuadratHIJK des roten Quadrats beträgt   AQuadratHIJK = b^2.
Die gesuchte Überdeckung Prot des roten Quadrats durch die blauen Figuren beträgt damit (in Prozent)
  Prot = (AHalbkreisHI + 2 ADreieck + 2 AKreissektor) / AQuadratHIJK * 100
    = (Pi/8 b^2 + 2 (7/4 Wurzel(3) - 3) b^2 + 2 * 5/6 Pi (7 - 4
Wurzel(3)) b^2) / b^2 * 100
    = 350 Wurzel(3) - 600 + 25/6 Pi (283 - 160 Wurzel(3)),
also ca. 83,0804 Prozent.