Serie 61

Aufgabe 8

728. Wertungsaufgabe

deu

"Schaut mal, ich habe hier einen großen Beutel, in dem 10 rote und 10 weiße Kugeln sind.“, sagte Maria. „Na dann hol die mal der Reihe nach raus", meinte ihr Bruder Bernd.
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass Maria zuerst alle roten und danach alle weißen Kugeln zieht bzw. dass zwei nacheinander gezogene Kugeln immer eine andere Farbe haben? 4 blaue Punkte
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei jeder möglichen Reihenfolge der 20 Kugeln sich immer 10 benachbarte Kugeln finden lassen, von denen 5 rot und 5 weiß sind? 4 rote Punkte

Termin der Abgabe 10.11.2022. Срок сдачи 10.11.2022. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 10.11.2022. Deadline for solution is the 10th. November 2022. Date limite pour la solution 10.11.2022. Soluciones hasta el 10.11.2022. Beadási határidő 2022.11.10. 截止日期: 2022.11.10 – 请用徳语或英语回答

chin

第728题

“看，我这里有一个大口袋，里面有10个红球和10个白球。”玛丽雅说。
“那我们把它们一个一个地拿出来吧。”她的哥哥伯恩德说。
那么玛丽雅先拿出所有的红球，然后再拿出所有白球的概率是多少？或者连续拿出的两个球中总是不同的颜色的概率是多少？ 4个蓝点
在这20个球的任何可能的顺序中，总能找到在10个相邻的球中5个是红色的，5个是白色的概率是多少？ 4个红点

止日期: 2022.11.10 – 请用徳语或英语回答

russ

«Смотрите, здесь у меня большой мешок, в нём 10 красных и 10 белых шаров», — сказала Мария. «Ну, тогда доставай их одного за другим», — сказал её брат Бернд.
Какова вероятность того, что Мария сначала вытащит все красные шары, а затем все белые, или что два вытащённых подряд шара всегда будут разного цвета?
4 синих очка
Какова вероятность того, что при любой возможной последовательности этих 20 шаров всегда можно найти 10 соседних шаров, из которых 5 красные и 5 белые?
4 красных очка

hun

„Nézd, itt van egy nagy zsákom, amiben 10 piros és 10 fehér golyó van“-mondta Mária. „ Akkor vedd ki őket egymás után“ – folytatta a bátyja, Bernd.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy Mária először az összes piros, majd az összes fehér golyót húzza, illetve hogy két egymás után húzott golyó mindig különböző színű? 4 kék pont
Mekkora a valószínűsége annak, hogy a 20 golyó összes lehetséges sorrendjében mindig 10 szomszédos golyó található, amelyek közül 5 piros és 5 fehér? 4 piros pont

frz

„Regarde, j'ai un gros sac ici avec 10 boules rouges et 10 boules blanches », dit Maria. "Eh bien, sors-les un par un ", dit son frère Bernd.
Quelles sont les probabilités que Maria tire d'abord toutes les boules rouges puis toutes les boules blanches, ou que deux boules tirées à la suite soient toujours d'une couleur différente ? 4 points bleus
Quelle est la probabilité que, étant donné tout ordre possible des 20 boules, on pourra toujours trouver 10 boules adjacentes, dont 5 rouges et 5 blanches ? 4 points rouges

esp

Mira, aquí tengo una bolsa grande con 10 bolas rojas y 10 blancas", dijo María. "Bueno, sácalos uno por uno", dijo su hermano Bernd.
¿Cuáles son las probabilidades de que María saque primero todas las bolas rojas y luego todas las blancas, o de que dos bolas sacadas una tras otra tenga siempre un color diferente? 4 puntos azules.
¿Cuál es la probabilidad de que para cada orden posible de las 20 bolas, siempre haya 10 bolas adyacentes, de las cuales 5 son rojas y 5 blancas? 4 puntos rojos.

en

Look, I have got a big bag with 10 red and 10 white spheres in it," said Maria. "Well, take them out one by one," said her brother Bernd.
What are the probabilities that Maria draws all the red spheres first and then all the white spheres, or that two spheres drawn one after another always have a different colour? 4 blue points
What is the probability that for every possible order of the 20 spheres, there will always be 10 adjacent spheres, 5 of which are red and 5 of which are white? 4 red points

it

“Guardate, ho una borsa grande qui con 10 palline rosse e 10 palline bianche.”, diceva Maria. “Allora pescale tutte di fila.”, rispondeva suo fratello Berndt.
Quali sono le probabilità che Maria estragga prima tutte le palline rosse e poi quelle bianche o che si alternino coppie di colori diversi? 4 punti blu
Quale è la probabilità che per ogni possibile sequenza delle 20 palline ci siano sempre 10 palline vicine, delle quali 5 sono rosse e 5 sono bianche? 4 punti rossi

Lösung/solution/soluzione/résultat/Решение:

 Einige der Einsender der roten Aufgabe haben den Fall betrachten, dass hier 5 rote nebeneinander und 5 weiße Kugeln (oder umgekehrt) liegen, aber das war ja nicht die Bedingung:

Musterlösung von Reinhold M., danke
offensichtlich beträgt die Wahrscheinlichkeit W1, dass Maria zuerst alle roten Kugeln zieht, genau
  W1 = 10/20 * 9/19 * 8/18 * ... * 1/11
     = Produkt(i / (i+10); i = 10..1)
     = (10!)^2 / 20!
bzw.
  W1 = (2^8 * 3^4 * 5^2 * 7) / (2^10 * 3^4 * 5^2 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19)
     = 1 / 184756,
also ca. 0,000005412544 oder 0,0005412544 Prozent.

Und die Wahrscheinlichkeit W2, dass zwei nacheinander gezogene Kugeln immer eine andere Farbe haben, beträgt (was als erstes gezogen wird,
spielt keine Rolle)
  W2 = 20/20 * 10/19 * 9/18 * 9/17 * 8/16 * 8/15 * ... * 1/2
     = Produkt(⌈i/2⌉ / i; i = 19..2)
mit der oberen Gaußklammer ⌈x⌉ (die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist) bzw.
  W2 = 2 * (10!)^2 / 20!
     = 2 W1
     = 1 / 92378,
also ca. 0,0000108251 bzw. 0,00108251 Prozent.
Wir betrachten nun "Ausschnitte" von 10 unmittelbar nacheinander gezogenen Kugeln. Gehen wir von einem Ausschnitt um eine Kugel nach links oder rechts, so kann die Anzahl der Kugeln einer Farbe im Vergleich zum Ausgangsausschnitt
  - um eins kleiner werden - wenn die entfallende diese Farbe und die neue die andere hat -,
  - gleich bleiben - wenn die Farbe der neuen der der entfallenden
Kugel entspricht - oder
  - um eins größer werden - wenn die neue diese Farbe und die entfallende die andere hat -.
Sind also im "ersten Ausschnitt" der 10 zuerst gezogenen Kugeln n < 5 rote Kugel enthalten, so sind es im "letzten Ausschnitt" der 10 zuletzt gezogenen 10 - n > 5, und auf Grund der obigen Überlegung muss es für jede ganze Zahl k mit n < k < 10 - n mindestens einen Ausschnitt geben, in dem die Anzahl der roten Kugeln genau k beträgt, - also auch für k = 5.
Das gleiche folgt natürlich auch für n > 5, und bei n =  sind wir ohnehin fertig.
Also: Es gibt stets einen "Ausschnitt" von 10 unmittelbar nacheinander gezogenen Kugeln, unter denen genau 5 rote und folglich auch genau 5 weiße Kugeln sind. Damit beträgt die am Schluss gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 bzw. 100 Prozent.