Serie-11

Aufgabe 1

Das mit den Kreisen war eine coole Sache. Da hat dein Vater ganz schön überlegen müssen. Aber wie der so ist, gab es gleich wieder eine Aufgabe aus seiner Jugendzeit. Der Vater von Bernd - er heißt Alfons - hat mal Bierdeckel gesammelt und sein bester Freund - auch ein Bernd - ebenfalls. Alle Leute, die sie kannten mussten unbedingt Bierdeckel mitbringen. So hatten Sie nach kurzer Zeit recht viele zusammen. Als sie wieder mal zusammensaßen, es war im Mai, ergab sich eine kuriose Situation. Alfons meinte, wenn ich dir 14 Deckel gebe, dann hast du genau so viele wie ich, wenn du mir 14 gibst, habe ich genau doppelt so viele wie du. Das ist richtig, vor 2 Monaten war das noch ganz anders, meinte darauf hin sein Freund Bernd. Wenn du mir da 14 Stück gegeben hättest, dann hätte ich sogar 3 mal so viele gehabt wie du, während es wieder gleich viele gewesen wären, wenn ich dir 14 Deckel überlassen hätte. So schnell kann es sich ändern. (Heute sammeln sie keine Bierdeckel mehr, aber befreundet sind sie immer noch)
Wie viele Bierdeckel hatten Alfons und Bernd im Mai? Wie viele waren es im März?
Das sind 3 + 3 Punkte
Sei die Zahl der zu tauschenden Deckel x. Zeige, dass es immer eine Bierdeckelverteilung gibt, so dass x Deckel hin oder her getauscht werden und es entweder gleich viele oder aber die doppelte bzw. die dreifache Anzahl wird.
Hier sind noch einmal 3 + 3 Punkte drin.

Wie sich das wieder mal ergibt: Alfons - a und Bernd -b
Mai:
a - 14 = b + 14 ==>a = b + 28 und
a + 14 = 2(b-14) ==>
b + 28 + 14 = 2b - 28 ==>
b = 70, also a = 98.
Im Mai hatte also Alfons 98 und Bernd 70 Bierdeckel, sie haben in Fall gleich viele - 84 im anderen Fall 112 bzw 56.
Im März:
a - 14 = b + 14 ==>a=b+28 und
a + 14 = 3(b-14) ==>
b + 28 + 14 = 3b - 42 ==>
-2b = -84==>
b = 42, also a = 70
Im März hatte also Alfons 70 und Bernd 42 Bierdeckel, sie haben in Fall gleich viele - 56 im anderen Fall 84 bzw 28.
Allgemein:
Aus der 14 wird ein x- die Anzahl der zu tauschenden Deckel
Mai:
a - x= b + x ==>a=b + 2x und
a + x = 2(b-x) ==>
b + 2x + x = 2b -2x ==>
b = 5x, also a = 7x, da x eine natürliche Zahl größer 0 sein soll, gibt es auch a und b die natürlich sind.
Im März:
a - x = b + x ==>a = b + 2x und
a + x = 3(b-x) ==>
b + 2x + x = 3b - 3x ==>
-2b = -6x ==>
b = 3x, also a = 5x, da x eine natürliche Zahl größer 0 sein soll, gibt es auch a und b die natürlich sind.
PS.: Leicht stellt sich heraus, dass auch Gleichheit und Vervierfachung geht, aber nur bei durch drei teilbarem x, bei Verfünffachung geht wieder jedes x.
Noch allgemeiner: Gleichheit und beliebige Vervielfachung v (natürliche Zahl größer 1)
Wann auch immer:
a - x = b + x ==>a = b + 2x und
a + x = v(b-x) ==>
b + 2x + x = vb - vx ==>
b - vb = - vx - 3x ==>
vb - b = vx + 3x ==>
(v - 1)b= vx + 3x ==>
b = (vx + 3x)/(v - 1) und wieder a = b + 2x

Aufgabe 2

Das war ja ein Hin und Her mit den Bierdeckeln, aber irgendwie auch klasse, ich wusste gar nicht, dass mein Vater Bierdeckel gesammelt hat und wahrscheinlich heiße ich Bernd wegen seines Freundes. So bekommt über die Mathematik so gar noch die eigene Familiengeschichte mit. Apropos, kannst du dich noch an die Geschichte erinnern, als ich dir das Schachspiel beigebracht habe, meinte Bernds Vater. Wie war das doch gleich, ach ja:
Ich konnte ja nun noch gar nicht Schach, nur eben die Spielregeln. Nach ein paar Wochen wurde es besser, aber trotzdem verlor ich jedes Spiel. Da hast du meinen Ehrgeiz angestachelt und gesagt wir erfinden eine Siegprämie. Wenn ich gewinne, bekomme ich den 10-fachen Einsatz, wenn du gewinnst brauche ich dir nur den Einsatz zu geben.
1. Spiel - 1 Cent verloren, trotzdem wurde ich mutiger, 2. Spiel - 2 Cent verloren, 3. Spiel - 3 Cent verloren, so ging das mit jedem Spiel weiter, aber dann der erste Sieg im x-ten Spiel und ich gewann genau so viel wie ich bis dahin eingesetzt hatte, man war ich stolz. Danach hast du recht schnell das Prinzip aufgegeben, denn das wäre dann doch für dich sehr teuer geworden. Seit dem ist diese Spielenummer meine Lieblingszahl.
In welchem Spiel besiegte Bernd zum ersten Mal seinen Vater?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die Lösung kann man wahrscheinlich gar nicht so sagen, denn je nach Interpretation kann zwei Varianten zulassen.
Variante 1: Spielen bis dahin wo der Einsatz von Bernd noch auf dem Tisch liegt und der Vater so viel verliert wie Einsätze von Bernd gemacht worden sind (verloren + der eine der da liegt), eigentliche Intention des Verfassers.
Man es durch Probieren oder auch mit einer Tabellenkalkulation, hier nun noch eine Variante:
Die Summe der Einsätze bis zum Spiel x ==> 1 + 2 + 3 + ... + x = x(x+1)/2 - Summenformel
10x = x(x+1)/2 ==>
10x = x²/2 + x/2 ==>
20x = x² + x ==>
0= x² - 19x ==>
0 = x(x-19) ==>
Es gibt zwei Lösungen 0 und 19, da sie ja aber wirklich spielen ist die zutreffende Lösung die 19.
x(x+1)/2 ==> 19(19+1)/2 = 190, das ist 10-fache von 19, jetzt kennen wir also die Lieblingszahl von Bernd.
 
Variante 2
Einige zählten nicht die Einsätze bis zum Spiel x, sondern die Verluste, die dann im nächsten Spiel wettgemacht werden.
Hier die Lösung von Sebastian Wallek, danke.
Einsatz = 1 Cent
Einsatz bei Spielnummer x = x*1 Cent = x * Cent
Bernds Verlust bis zum Spiel x-1 :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (x-1)
Verlust = (1 + (x-1)) * (x-1)/2 = (x*(x-1)) / 2 = (x²-x)/2
Bernds Gewinn bei Spiel x:
Gewinn = 10 * x
Da Verlust = Gewinn => (x²-x)/2 = 10*x
x² - x = 20 * x
x² - 21 * x = 0
x * ( x - 21) = 0
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist => x = 21
Antwort: Im 21 Spiel gewinnt Bernd genau so viel, wie er vorher an seinen Vater verloren hatte.
Die Lieblingszahl von Bernd ist demnach die 21.
So bleibt es also spannend, welches die Lieblingszahl von Bernd denn nun ist, irgendwann werden wir es wissen.
 
Interessant auch hier die Frage der Verallgemeinerung im Sinne wie viele Spiele, wenn der Vater den e-fachen Einsatz zahlt. Dann erfolgt der Ausgleich im Fall der Variante 1 nach 2e-1 und für die Variante 2 nach 2e+1 Spielen.

Aufgabe 3

Apropos Schach, meinte Bernds Opa als er beim nächsten Treffen die Geschichte auch erzählt bekam, ihr errinnert euch doch an die Aufgaben mit den 8 Damen ( Serie 6 Aufg. 3). Es ist auch leicht einzusehen, dass es auch mit höchtens 8 Türmen geht, aber wie ist das mit Königen, Läufern und Springern? Also wie viele Könige bzw. Läufer oder eben Springer - gemeint ist immer nur eine Art von Figur - lassen sich höchstens auf ein Schachbrett stellen, so dass kein König einen anderen König, kein Läufer einen anderen Läufer oder eben kein Springer einen Springer schlagen kann? Damit die Lösungen besser verglichen werden können, solle eine der Figuren immer auf a1 stehen.

Könige
Könige bedrohen alle Felder um sich herum, aber nur die benachbarten, wo bei auch diagonal benachbarte dazu zählen.
Steht der erste König auf a1 so kann der nächste König horizontal auf c1 stehen - ein leeres Feld dazwischen, dann geht es mit e1 und f1 weiter.
Vertikal kann nach a1 die a3 kommen. Horizontal davon dann c3, dieser König ist von a1, c1 und a3 jeweils durch ein leeres Feld getrennt, also nicht bedroht. Nun lässt sich der Rest schnell einsehen. Es geht vertikal mit a5 und a7 weiter, die jeweils den Beginn einer horizontalen Viererkette bilden. Damit gibt es maximal 16 Könige, die sich nicht bedrohen.Zwar kann man die Zeilen auch gegeneinander verschieben, aber es werden dadurch nicht mehr.
Läufer
Läufer bedrohen einander nur auf den Diagonalen, allerdings egal wie lang diese sind. Wie viele solche Diagonalen aber gibt es? Da a1 besetzt werden soll werden alle möglichen Diagonalen betrachtet die nach rechts oben vom Rand aus betrachtet gebildet werden können, dabei werden auch a8 und h1 als Einzelfeld - Spezialfall einer Einfelddiagonale betrachtet. Es gibt also die Diagonalen mit Startfeld a1, b1, c1, ..., h1 und a1, a2, a3, ... a8. Wegen der Doppelzählung von a1 sind es also genau 15 Diagonalen. Bei dieser Aufstellung aber werden die vertikalen Läufer von den horizontalen Läufern bedroht. Sie müssen also auf ihrer Diagonale ausweichen, wie man leicht sieht geht das am besten, wenn sie auf die Zeile 8 ausweichen. Nun hat aber der Läufer auf a8 keine Möglichkeit dazu, er wird von h1 bedroht. Diesen 15. Läufer kann man nicht retten, es bleiben also 14 Läufer, die nicht geschlagen werden können auf dem Spielfeld. Natürlich kann man auch die vertikal angeordneten Läufer lassen und die horizontalen retten, aber dann hat eben g1 keine Chance, es bleiben wieder 14 Läufer auf dem Feld.
Springer:
Springer sind schon eigenartige Figuren, wie der Name schon sagt überspringen sie Felder und bedrohen das Feld wo sie sich niederlassen.
Die Regel: Der Springer zieht auf eines der Felder, die seinem Standfeld am nächsten, aber nicht auf derselben Linie, Reihe oder Diagonalen mit diesem liegen. Er zieht nicht direkt über dazwischenliegende Felder.
Analysiert man die Fideregel, dann wird klar ein Springer der auf weißmen Feld startet kommt auf einem schwarzen Feld an und umgekehrt. Mit anderen Worten Springer auf schwarzen Feldern wie eben a1 bedrohen keine anderen schwarzen Felder.
Es lassen sich also alle 32 schwarzen Felder mit Springern besetzen ohne, dass sie sich bedrohen.

Aufgabe 4

Das waren ja echt überraschende Ergebnisse, dass gerade die Springer am besten abschneiden, hätte ich nicht gedacht, meinte Bernd, aber so kann man sich irren. Aber sag mal Opa, du hattest doch eine Aufgabe, die man zu zweit spielen kann, wie ging denn die?
Also zwei Spieler sagen abwechselnd eine Zahl zwischen 1 und 10 und addieren diese. Beispiel: A sagt 3, B sagt ich nehme 5 dazu, dann sind das 9, dann sagt A ich nehme 8 dazu und kommt auf 17, B sagt ich nehme jetzt wieder mal noch 5 und bin so bei 22. Jeder kann jede zulässige Zahl so oft nehmen wie er will.
Wer als erster die Zahl 100 erreicht hat gewonnen.
Gibt es da einen Trick? Nun es gibt eigentlich sogar zwei, meinte Opa. Der erste kann den Sieg mit einer Strategie immer erzwingen. Kennt aber der erste den Trick nicht, dann kann der zweite mit einer ähnlichen Strategie das Spiel immer für sich entscheiden.
Für die Beschreibung der beiden Strategien gibt es 6 bzw. 2 Punkte - wenn man eine beschrieben hat, ist die andere nicht mehr schwer.

Die Strategie für den ersten.
Wenn er es schafft die 89 zu erreichen, dann erreicht der Zweite als Ergebnis die 90 bis maximal 99, der der erste also mit Sicherheit die 100.
Um die 89 sicher zu erreichen, muss der erste die 78 schaffen, denn der Zweite erreicht dann als Ergebnis die 79, 80, ... bis maximal 88, der erste im nächsten Schritt sicher die 89.
Um die 78 sicher zu erreichen, muss der erste die 67 schaffen, denn der Zweite erreicht dann als Ergebnis die 68, 69, ... bis maximal 77, der erste im nächsten Schritt sicher die 67.
... Vor der 67 ist es die 56, 45, 34, 23, 12.
Beginnt der Erste mit 1 erreicht er dann mit Sicherheit die 12, dann 23, ... dann die 89 und gewinnt.
Beginnt er nicht mit 1, dann macht das der zweite bei seinem ersten Schritt und verfolgt dann die obige Strategie.
Hier lassen sich dann wieder viele Varianten der Aufgabe ableiten.

Aufgabe 5

Na Opa, dann ist das ja eigentlich kein richtiges Spiel, was du uns da erzählt hast. Wenn das einer als Grundlage zu irgend welchen Wetten nimmt, ist das dann ja eigentlich Betrug. Stimmt auch wieder, war ja auch eher dazu gedacht, eure Sinne zu aktivieren und nicht auf so etwas reinzufallen.
Aber mal was ganz anderes aus meinem Kalender. Ein großer Wasserbehälter wurde als Reserve gebaut, falls mal die Wasserzufuhr für vier Orte unterbrochen sein sollte. Zu den Orten führen vier Wasserleitungen, die alle einen anderen Durchmesser haben und mit einem Behälter in den einzelnen Orten verbunden sind. Wird die nur erste Leitung benutzt ist der Reservebehälter in 2 Tagen leer, wird nur die zweite Leitung benutzt ist der Reservebehälter in 3 Tagen leer, wird nur die dritte Leitung benutzt ist der Reservebehälter in 4 Tagen leer und wird nur die vierte Leitung benutzt ist der Reservebehälter in 5 Tagen leer - der Reservebehälter wird nicht nachgefüllt in der Zeit. Wie lange dauert es bis der Reservebehälter leer ist, wenn alle Leitungen geöffnet werden?
Zu erreichen sind 3 Punkte.

Hier die komplette Lösung von Sebastian W., danke
x = Fassungsvermögen des Reservebehälters
y = die Dauer bis der Reservebehälter leer ist
Durch die erste Leitung fließen am Tag x/2 Liter
Durch die zweite Leitung fließen am Tag x/3 Liter
Durch die dritte Leitung fließen am Tag x/4 Liter
Durch die vierte Leitung fließen am Tag x/5 Liter
x = (x/2)*y + (x/3)*y + (x/4)*y + (x/5)*y
x = (x/2 + x/3 + x/4 + x/5)*y
x = (30x/60 + 20x/60 + 15x/60 + 12x/60)*y
x = ((30x + 20x + 15x + 12x)/60)*y
x = (77x/60)*y
y = x /(77x/60)
y = 60x/77x
y = 60/77 Tage
Wenn alle vier Leitungen offen sind ist der Reservebehälter nach 0,78 Tagen bzw. nach 18,70 Stunden leer

Aufgabe 6

Da war ja beim letzten Mal die Aufgabe deutlich länger als die Antwort, aber so ist das. Das wird wohl kaum zu unterbieten sein, oh doch, meinte da Mike. Ich habe neulich in einem Krimi den Anfang einer Reihe gesehen. Wie jetzt Reihe. Na du du weißt doch, man gibt was vor und dann muss ein anderer die Sache logisch fortsetzen: Z.B. 1; 4; 9; 16; ... Das kann man mit 25; 36; fortsetzen weil die ersten vier Zahlen Quadratzahlen waren oder 2; 3; 5; 7; ... kann man fortsetzen mit 11; 13; 17; weil das alles Primzahlen waren. M; D; M; D; kann man fortsetzen mit M; D; M; D; ... eben immer abwechselnd aber auch mit F; S; S; wenn man Montag; Dienstag; Mittwoch; Donnerstag; Freitag; Samstag und Sonntag meint.
Allerdings steht eben hier auch nicht umsonst, "man kann", es kann auch anders interpretiert werden. Ist ja gut wie lautet denn nun die Aufgabe:
Wie lassen sich diese vier Zeichen logisch fortsetzen:

Nun mach mal halb lang, wie soll denn das gehen. Denke einfach nach und finde ein 5. Zeichen, das sich logischerweise einfügen lässt?
Das Zeichen mit Begründung ist 6 Punkte wert. Wer das Zeichen nicht schicken kann, der muss es eben beschreiben.

Meine Lösung:
Es sind Zahlen (schwarz) die gespiegelt (rot) werden und dann geht das so weiter:

Anmerkung von mawi: Die Spiegelrichtung mit der 4 wurde geändert, so dass bei der Nummer 5 die Spiegelungrichtung nicht "zwingend" festliegt. Daher auch das möglich , danke

Interessant waren auch die Erklärungen für den Wechsel der Spiegelungsrichtung bei der 4. Zum einen, dass es einen Spiegelungsrhythmus geben könne, drei so rum, drei so rum dann wieder Wechsel oder die noch bessere Erklärung (von 2 Leuten), dass die Spiegelungsrichtung von der Gestalt (gerade, runde Zahlenteile) abhänging sein könne.

Das sehr empfehlenswerte Buch, aus dem das Rätsel stammt, heißt Die Pythagoras-Morde und ist von Guillermo Martinez.
Es soll aber auch schon mal in einem Mickey Mouse - Heft gestanden haben.

Aufgabe 7

Mensch Mike, die letzte Aufgabe hat mich echt neugierig auf das Buch gemacht. Ich habe es mir von meinem Mathelehrer ausgeliehen, denn der hat einen Haufen solche Bücher. Wie heißt das Buch denn, fragte Mike. Es heißt "Die Pythagoras-Morde" und ist von Guillermo Martinez.
Das würde ich auch mal lesen meinte Bernds als er ins Zimmer kam. Schaut mal was ich ausgebuddelt habe - ein Spiel, ich habe es mir gedacht meinte Bernd. SoloHalma, komischer Name, aber warte mal, auf der letzten Spielemesse in Leipzig habe ich das in moderner Form gesehen, da hieß es Solitaire. Stimmt, das Spiel gibt es unter verschiedenen Namen, auch Einsiedler habe ich dafür gefunden, denn man spielt es in der Regel allein, meinte sein Vater. Die Idee ist schon sehr alt, so gibt es einen Hinweis von Leibniz aus dem Jahre 1716, wo der es in einem Brief beschreibt. Im 1887 ist es sogar als Patent angenommen worden. Es gibt ein deutsches und ein französisches Spielfeld. Das hier ist die deutsche Version. Wie wird das gespielt?
Alle 33 Spielsteine werden auf das Spielfeld gestellt. (Felder sind rot)

So schwierig war das diesmal nicht, auch wenn vereinzelt nicht auf die Kombination von Drehung und Spiegelung geachtet wurde.
Hier die Variante von Sebastian Wallek, vielen Dank.
1. Gruppe: 14; 41; 47; 74 (war vorgegeben)
2. Gruppe: 24; 42; 46; 64
3. Gruppe: 33; 35; 53; 55
4. Gruppe: 34; 43; 45; 54
5. Gruppe: 13; 15; 31; 37; 51; 57; 73; 75
6. Gruppe: 23; 25; 32; 36; 52; 56; 63; 65
7: Gruppe: 44

Aufgabe 8

Hallo Mike, ich werde immer besser, einmal sind sogar nur zwei stehen geblieben, aber ich habe mir leider nicht notiert wie ich es gemacht habe. Aber wenn über Weihnachten etwas Zeit ist, setzte ich mich noch mal ran.
Apropos Weinhachtszeit: Immer mal wieder gibt es komische Aufgaben wie send + more = money wo man rauskriegen soll, welche Ziffern sich hinter den Zahlen verbergen, diemal ist Genauigkeit und Kreativität gefragt. In der Geschichte ist eine Aufgabe drin, die Ziffern der Zahlen sollen in Buchstaben umgewandelt werden - gleiche Ziffern, gleiche Buchstaben, verschiedene Zahlen, verschiedene Buchstaben - wenn es eine zweistellige Zahl ist, dann ist auch das Wort mit zwei Buchstaben, ... Natürlich so, dass die Worte unter Weglassung der Rechensymbole in den laufenden Text passen. Scheint ja kompliziert zu sein, vielleicht, probiere es doch mal.
Zwei Freunde warten sehnsüchtig auf den Weihnachtsmann, da glauben sie im Flur Schritte zu vernehmen. 42 * 15007 = 630294, ob da wer zu uns will. Aber nein es war ein Irrtum, die angeblichen Schritte kamen aus dem lauten Radio des Nachbarn. Schade.
Wer eine sinnvolle Lösung beisteuern kann, der darf sich über 5 Punkte freuen.

Gedacht war an:
Da kommt jemand, dieser Ausdruck erfüllt die gestellten Bedingungen.
Eine weitere Variante von Kim: Da bellt Roland (Roland ist natürlich der Hund, der auch etwas gehört hat.)
Doreen. N. fand noch zwei Versionen, die nicht ganz "jugenfrei" sind.
mit der gedrückten linken Maustaste zu lesen --> "DU PISST GESUND" und "DU PISST ABSURD" < --

Aufgabe 9

Also weißt du Mike, da finde ich die Aufgaben, wo es Buchstaben sind und dann die Zahlen gefunden werden müssen deutlich einfacher, aber warum eben nicht auch mal so herum.
Hallo Opa, schön, dass du kommst, da können wir dir gleich von der Zeitreise berichten, auf die uns unser mathelehrer mitgenommen hat. Er hat uns in die Zeit von Pythagoras mitgenommen. Der hat eine Religion entwickelt, die auf Zahlen basierte. Grundlage war die 1. Aus diesem Ursprung resultiert die 2, die erste weibliche Zahl, der die 3 als männliche Zahl folgt. Alle geraden Zahlen sind dann weiblich und die ungeraden mänlich, wo bei die ungeraden Primzahlen stark sind. Eine ganz besondere Zahl war die 10, da sie sich aus 1 + 2 + 3 + 4 ergibt. Noch viel mehr hat der Lehrer erzählt. Am bekanntesten sind natürlich die rechtwinkligen Dreiecke. Da gilt ja bekanntlich der Satz des Pythagoras:
a² + b² = c², wobei a und b die kurzen Seiten und c die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck sind. (a, b, c) wird pythagoräisches Tripel genannt, wenn eben a² + b² = c² gilt und a, b und c ganze Zahlen sind. Es gibt viele besondere unter diesen Dreiecken, so auch das bekannte mit (a, b, c) = (3, 4, 5), dessen Flächeninhalt aus nur einer 6 Ziffer, der 6 besteht. Es gibt aber dann nur noch ein einziges rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächeninhalt nur aus einer gewissen Anzahl gleicher Ziffern besteht. Das sind ebenfalls alles Sechsen. Also 66 oder 666 oder 6666 ... Welches rechtwinklige Dreieck hat diese Eigenschaft. Als Hilfe sei gesagt, das sich a und b um 1231 unterscheiden.
Es gibt 5 Punkte, ein Nachweis, dass es wirklich - wenn gefunden - nur diese eine Lösung gibt - braucht nicht geführt werden. Also wie heißt, das gesuchte pythagoräische Tripel?

Im rechtwinkligen Dreieck git A = a*b/2 bzw. 2A=ab. 2A ist dann aber 132, 1332, 13332, ... a sei die kürzere der beiden Katheten, dann gilt a(a+1231) = 132 oder a(a+1231) = 1332 ...
a² + 1231a - 1332 = 0 , a² + 1231a - 13332 = 0, a² + 1231a - 133332 = 0, ...
Nach kurzen Probieren ergibt sich für a² + 1231a - 13333332 = 0 eine ganzahlige positive Lösung: a= 693, damit ist b = 1924 und c nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich zu 2045.

Aufgabe 10

Das ist ja wirklich eigenartig, dass es nur ein solches rechtwinkliges Dreieck geben soll, welches diese teuflische Eigenschaft hat, meinte Mike. Was heißt hier teuflisch, fragte Bernd. Nun du erinnerst dich doch sicher, dass die 666 in der Numerologie ein solches Symbol ist, ach ja stimmt, das habe ich mal gelesen, aber das ist doch Quatsch. Ich finde, das ja auch, aber trotzdem ist es weit verbreitet.
Nun ja, aber wenn wir gerade bei Pythagoras waren, wusstest du, dass er eine Zahl gar nicht leiden konnte (sagt man). Welche denn? Ich sage dir lieber warum. Die gesuchte ganze Zahl ist genau zwischen den ganzen Zahlen, die als Flächeninhalt von Rechtecken ergeben und wo aber auch der Umfang auf die gleiche Zahl führt.
Habe ich das richtig verstanden, ich ermittle den Flächeninhalt und den Umfang eines solchen Rechtecks und erhalte den gleichen Zahlenwert? Ja genau, wenn du cm verwendest sind das eben x cm² bzw. x cm.
Die Ergebniszahlen der beiden Rechtecke unterscheiden sich um 2 und sie sind gar nicht so groß.
Welche Abmessungen haben die Rechtecke, welche ganze Zahl konnte Pythagoras also nicht leiden? (5 Punkte dafür und noch einen dazu, wer es weiß, warum ausgerechnet diese Zahl zum Ruhm von Gauss beigetragen hat)

Da ein Quadrat auch ein Rechteck ist, lässt sich ja schauen, ob es dafür eine Lösung gibt.
Flächeninhalt = Umfang (als Zahlenwerte betrachtet)
a²=4*a, schon mit a = 4 ist eine Lösung gefunden.
Der zweite Ergebniswert sollte dann entweder 14 oder 18 sein.
Mit a = 3 und b = 6 ergibt sich Umfang und Flächeninhalt jeweils zu 18.
Die Zahl, die Pythagoras nicht leiden konnte ist also 17.
Gauss konnte zeigen, dass sich das regelmäße 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.

Die Anregungen zu den Aufgaben 9 und 10 stammen aus dem Buch "Die Mathematik und das Göttliche" von Pickover

Aufgabe 11

Na da haben wir es wieder, während Pythagoras, die 17 nicht leiden konnte, durfte Gauss auf sie echt stolz sein. Apropos stolz sein, es gibt sogar Zahlen, die auf sich sehr stolz sind. Wie das denn?
Die Bildungsvorschrift für diese natürlichen Zahlen ist so: n sei die Anzahl ihrer Stellen, dann werden die einzelnen Ziffern in die n-te Potenz erhoben. Die Summe der Potenzen muss dann gleich der Zahl sein. Was es nicht alles gibt, hast du mal ein Beispiel, Mike. Aber klar, das heißt, finde du doch die dreistelligen Zahlen, mit abc = a³ + b³ + c³ (a>0). Tipp 1, die Ziffern sind in den einzelnen Zahlen immer verschieden. Tipp 2 - Die kleinste der Zahlen ist von dem heiligen Augustinus verehrt worden.
Für jede gefundende Zahl (mit Angabe der Zerlegung) gibt es drei Punkte, also 12.
PS.: Die größte bekannteste Zahl, die man kennt ist dieses Monster:
115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Solche Zahlen werden auch als ArmstrongZahlen genannt. Insgesamt gibt es 88 davon, wenn man die Basis 10, sprich Dezimalzahlen verwendet. Die einstelligen Zahlen sind automatisch Armstrongzahlen, z.B. 2 = 2¹.
Das finden der Zahlen ohne Programm ist es schwierig, auch wenn der Tipp genutzt wurde, dass die Ziffern alle verschieden sind, so gab es ja damit 648 Zahlen, die zu untersuchen waren.
die Zahlen:
153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
Hier noch ein Script von Andreas, danke:
i=100
while(i<900){
j=0
while(j<90){
k=0
while(k<9){
i1=i/100
j1=j/10
if (i/100*i/100*i/100+j/10*j/10*j/10+k*k*k == i+j+k){
x=x+\" \"+number(i+j+k)
}
k++
}
j=j+10
}
i=i+100
}

PHP-Programm zur Ermittlung von 4stelligen Armstrongzahlen

Aufgabe 12

Bernd und Mike haben in der letzten Zeit, viel über Zahlen nachgegrübelt, da wird es Zeit doch mal wieder eine kleine Logelei aus Opas Kalender einzuschieben. Gesagt, getan auf dem letzten Blatt von Opas Kalender 2005 fanden sie diese Aufgabe:
Wie schon so oft hatte Sven zu Weihnachten und den folgenden Tagen viel zu viel gegessen. Die Waage hat ihm das am Neujahrstag deutlich gemacht, also stellte er sich einen Sport- und Speiseplan auf. Eigentlich wollte er jeden Tag 20 Minuten trainieren, aber da er nur jeden Tag eine Sportart ( Hometrainer benutzen, Liegestütze, Gewichte stemmen, Seilspringen und Jogging) betrieb- auch beim Essen (Toastbrotscheibe, Jogurth, Müsli, Apfelsinen und Quark) gab es jeden Tag was anderes - lagen seine Trainingszeiten bei 5, 6, 7, 8 bzw. 9 Minuten. Der Erfolg war nicht so groß, aber trotzdem war er recht zufrieden. Er begann am Montag und hielt eisern die 5 Tage durch. Am Samstag zeigte die Waage dann immerhin 1 kg weniger. In der folgenden Woche kombinierte er die Sportarten und fand so mehr Spaß dran.
Für die erste Woche aber war das so:
1. Nach dem 6 Minuten-Training gab es Obst.
2. Nach dem leichten Einstieg auf dem Hometrainer, gönnte er sich einen Jogurth, war allerdings auch 3 Minuten weniger auf diesem Rad, als an seinem Müslitag.
3. Das Jogging war vor dem Freitag gewesen.
4. Mittwoch hatte Sven Gewichte gestemmt und dazu gab es twas, was Getreide enthählt bzw. daraus hergestellt wird.
5. Am Donnerstag stand eines der Milchprodukte auf dem Speiseplan und er sann darüber nach, dass das Seilspringen an einem der vergangenen Tage genau 7 Minuten gedauert hatte.
6. Am Dienstag hatte er genau 8 Minuten trainiert.
Wie sah der Sport und Speiseplan in der ersten Woche aus und wie lang waren die Trainingseinheiten?
Zu erreichen sind 10 Punkte.

Super schnell die Lösung von Sebastian Wallek und so wird die hier gleich benutzt, danke.
Anmerkung: Obst und Apfelsinen wurde hier identisch verwendet.
Sport: Hometrainer benutzen, Liegestütze, Gewichte stemmen, Seilspringen und Jogging
Essen: Toastbrotscheibe, Jogurth, Müsli, Apfelsinen und Quark
Trainingszeit: 5, 6, 7, 8 bzw. 9 Minuten
aus 4. => Mittwoch: Gewichte stemmen + Getreideprodukt
aus 6. => Dienstag: 8 Minuten Training
aus 5. => Donnerstag: Milchprodukt
aus 5. => Montag: Seilspringen + 7 Minuten, denn das 7 minütige Seilspringen war vor Donnerstags. Am Mittwoch kann es nicht gewesen sein, denn da stemmte er Gewichte und auch am Dienstag kann es nicht gewesen sein, denn da trainierte er 8 Minuten
aus 1. => Freitag: Obst + 6 Minuten, denn am Montag trainierte er 7 Minuten, am Dienstag 8, am Mittwoch gab es etwas aus Getreide und am Donnerstag ein Milchprodukt
Es bleiben noch übrig:
Sport: Hometrainer benutzen, Liegestütze und Jogging
Essen: Toastbrotscheibe, Jogurth, Müsli und Quark
Trainingszeit: 5 bzw. 9 Minuten
aus 2. => Donnerstag: Hometrainer + Joghurt + 5 Minuten, denn als Zeiten kommen nur 5 und 6 Minuten in Frage, da er 3 Minuten weniger trainiert. Am Montag kann es nicht gewesen sein, weil er 3 Minuten weniger trainierte als an seinem Müslitag und wenn Montag der erste Tag ist, kann der Müslitag noch nicht gewesen sein. Dienstag auch nicht möglich, denn da trainiert er 8 Minuten, das heißt am Müslitag müsste er 11 Minuten trainiert haben, was aber nicht möglich ist. Am Mittwoch stemmt er Gewichte, also ist der Hometrainer am Mittwoch nicht möglich. Am Freitag ist er Obst und somit kein Joghurt möglich. somit bleibt nur noch Donnerstag
=> Dienstag: Müsli, denn da trainierte er 3 Minuten länger als an seinem Hometrainertag
aus 3. => Dienstag: Jogging denn an allen anderen Tagen findet bereits ein Sport statt
=> Freitag: Liegestützen, denn das ist der letzte übrige Sport
Nun bleiben noch übrig: Essen: Toastbrotscheibe und Quark Trainingszeit: 9 Minuten
=> Mittwoch: 9 Minuten + Toastbrot, denn alle anderen Tage sind bereits mit Zeiten besetzt und er aß etwas aus Getreide
=> Montag: Quark, denn alle anderen Tage sind bereits mit Essen besetzt
=> Wochenplan:
Montag: 7 Min., Seilspringen, Quark
Dienstag: 8 Min., Jogging, Müsli
Mittwoch: 9 Min., Gewichte stemmen, Toast
Donnerstag: 5 Min., Hometrainer, Joghurt
Freitag: 6 Min., Liegestützen, Obst