Serie-11

Aufgabe 9

Also weißt du Mike, da finde ich die Aufgaben, wo es Buchstaben sind und dann die Zahlen gefunden werden müssen deutlich einfacher, aber warum eben nicht auch mal so herum.
Hallo Opa, schön, dass du kommst, da können wir dir gleich von der Zeitreise berichten, auf die uns unser mathelehrer mitgenommen hat. Er hat uns in die Zeit von Pythagoras mitgenommen. Der hat eine Religion entwickelt, die auf Zahlen basierte. Grundlage war die 1. Aus diesem Ursprung resultiert die 2, die erste weibliche Zahl, der die 3 als männliche Zahl folgt. Alle geraden Zahlen sind dann weiblich und die ungeraden mänlich, wo bei die ungeraden Primzahlen stark sind. Eine ganz besondere Zahl war die 10, da sie sich aus 1 + 2 + 3 + 4 ergibt. Noch viel mehr hat der Lehrer erzählt. Am bekanntesten sind natürlich die rechtwinkligen Dreiecke. Da gilt ja bekanntlich der Satz des Pythagoras:
a² + b² = c², wobei a und b die kurzen Seiten und c die längste Seite in dem rechtwinkligen Dreieck sind. (a, b, c) wird pythagoräisches Tripel genannt, wenn eben a² + b² = c² gilt und a, b und c ganze Zahlen sind. Es gibt viele besondere unter diesen Dreiecken, so auch das bekannte mit (a, b, c) = (3, 4, 5), dessen Flächeninhalt aus nur einer 6 Ziffer, der 6 besteht. Es gibt aber dann nur noch ein einziges rechtwinkliges Dreieck, dessen Flächeninhalt nur aus einer gewissen Anzahl gleicher Ziffern besteht. Das sind ebenfalls alles Sechsen. Also 66 oder 666 oder 6666 ... Welches rechtwinklige Dreieck hat diese Eigenschaft. Als Hilfe sei gesagt, das sich a und b um 1231 unterscheiden.
Es gibt 5 Punkte, ein Nachweis, dass es wirklich - wenn gefunden - nur diese eine Lösung gibt - braucht nicht geführt werden. Also wie heißt, das gesuchte pythagoräische Tripel?

Im rechtwinkligen Dreieck git A = a*b/2 bzw. 2A=ab. 2A ist dann aber 132, 1332, 13332, ... a sei die kürzere der beiden Katheten, dann gilt a(a+1231) = 132 oder a(a+1231) = 1332 ...
a² + 1231a - 1332 = 0 , a² + 1231a - 13332 = 0, a² + 1231a - 133332 = 0, ...
Nach kurzen Probieren ergibt sich für a² + 1231a - 13333332 = 0 eine ganzahlige positive Lösung: a= 693, damit ist b = 1924 und c nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich zu 2045.