Serie-11

Aufgabe 2

Das war ja ein Hin und Her mit den Bierdeckeln, aber irgendwie auch klasse, ich wusste gar nicht, dass mein Vater Bierdeckel gesammelt hat und wahrscheinlich heiße ich Bernd wegen seines Freundes. So bekommt über die Mathematik so gar noch die eigene Familiengeschichte mit. Apropos, kannst du dich noch an die Geschichte erinnern, als ich dir das Schachspiel beigebracht habe, meinte Bernds Vater. Wie war das doch gleich, ach ja:
Ich konnte ja nun noch gar nicht Schach, nur eben die Spielregeln. Nach ein paar Wochen wurde es besser, aber trotzdem verlor ich jedes Spiel. Da hast du meinen Ehrgeiz angestachelt und gesagt wir erfinden eine Siegprämie. Wenn ich gewinne, bekomme ich den 10-fachen Einsatz, wenn du gewinnst brauche ich dir nur den Einsatz zu geben.
1. Spiel - 1 Cent verloren, trotzdem wurde ich mutiger, 2. Spiel - 2 Cent verloren, 3. Spiel - 3 Cent verloren, so ging das mit jedem Spiel weiter, aber dann der erste Sieg im x-ten Spiel und ich gewann genau so viel wie ich bis dahin eingesetzt hatte, man war ich stolz. Danach hast du recht schnell das Prinzip aufgegeben, denn das wäre dann doch für dich sehr teuer geworden. Seit dem ist diese Spielenummer meine Lieblingszahl.
In welchem Spiel besiegte Bernd zum ersten Mal seinen Vater?
Zu erreichen sind 5 Punkte.

Die Lösung kann man wahrscheinlich gar nicht so sagen, denn je nach Interpretation kann zwei Varianten zulassen.
Variante 1: Spielen bis dahin wo der Einsatz von Bernd noch auf dem Tisch liegt und der Vater so viel verliert wie Einsätze von Bernd gemacht worden sind (verloren + der eine der da liegt), eigentliche Intention des Verfassers.
Man es durch Probieren oder auch mit einer Tabellenkalkulation, hier nun noch eine Variante:
Die Summe der Einsätze bis zum Spiel x ==> 1 + 2 + 3 + ... + x = x(x+1)/2 - Summenformel
10x = x(x+1)/2 ==>
10x = x²/2 + x/2 ==>
20x = x² + x ==>
0= x² - 19x ==>
0 = x(x-19) ==>
Es gibt zwei Lösungen 0 und 19, da sie ja aber wirklich spielen ist die zutreffende Lösung die 19.
x(x+1)/2 ==> 19(19+1)/2 = 190, das ist 10-fache von 19, jetzt kennen wir also die Lieblingszahl von Bernd.
 
Variante 2
Einige zählten nicht die Einsätze bis zum Spiel x, sondern die Verluste, die dann im nächsten Spiel wettgemacht werden.
Hier die Lösung von Sebastian Wallek, danke.
Einsatz = 1 Cent
Einsatz bei Spielnummer x = x*1 Cent = x * Cent
Bernds Verlust bis zum Spiel x-1 :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (x-1)
Verlust = (1 + (x-1)) * (x-1)/2 = (x*(x-1)) / 2 = (x²-x)/2
Bernds Gewinn bei Spiel x:
Gewinn = 10 * x
Da Verlust = Gewinn => (x²-x)/2 = 10*x
x² - x = 20 * x
x² - 21 * x = 0
x * ( x - 21) = 0
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist => x = 21
Antwort: Im 21 Spiel gewinnt Bernd genau so viel, wie er vorher an seinen Vater verloren hatte.
Die Lieblingszahl von Bernd ist demnach die 21.
So bleibt es also spannend, welches die Lieblingszahl von Bernd denn nun ist, irgendwann werden wir es wissen.
 
Interessant auch hier die Frage der Verallgemeinerung im Sinne wie viele Spiele, wenn der Vater den e-fachen Einsatz zahlt. Dann erfolgt der Ausgleich im Fall der Variante 1 nach 2e-1 und für die Variante 2 nach 2e+1 Spielen.