Serie-20

Serie 20
Aufgaben und Lösungen

Aufgabe 1

"Nach den Zaubereien auf dem Schachbrett, möchte ich mich mal mit der zauberhaften Parabel befassen." "Wie meinst du das?", wollte Mike von Lisa wissen. "Nun, ich habe etwas über eine tolle Eigenschaft der Parabel gelesen. Damit kann man schon jüngeren Schulkindern das kleine 1x1 beibringen." "Ehrlich, wie soll das gehen?" "Also, passt auf:
Du zeichnest das Bild der Funktion y = x² so groß es eben geht. Wenn du eine Aufgabe  der Form a * b, z.B. 3 * 2,  rechnen willst, ist dies ganz einfach. Der Wert für a wird auf der x-Achse links gesucht. Unter uns heißt das z.B. ist a = 3, dann nimmt du den x-Wert - 3. Setzt du das Verfahren bei jüngeren Schulkindern ein, kannst du das Minuszeichen ja weglassen. So nun weiter: Der Wert für b ist rechts auf der x-Achse zu suchen. (b=2 --> nimm x = 2). Von a und b aus gehst du zur Parabel selbst. Wenn du die Parabelpunkte mit einem Lineal verbindest, dann trifft diese Linie die y-Achse genau bei 6, dem Ergebnis von a * b."
"Und das klappt für jede so gemachte Rechnung?" "Ja, und dass dies so ist, bringt 6 rote Punkte". "Da lässt sich das Bild auch gleich noch für eure jüngere Gruppe nutzen oder man nimmt ein neues Blatt Millimeterpapier. Es sind der Reihe nach 10 Punkte einzutragen und in der Reihenfolge auch zu verbinden, zum Schluss den letzten mit dem ersten. Von der so entstandenen Figur sind Umfang und Flächeninhalt zu berechnen." "Von 0 bis 1 sind es 1 cm?" "Ja und hier die Punkte: (2;4), (3;4), (3;6), (5;6), (5;4), (6;4), (6;6), (8;6), (8;0) und (2;0)" dafür
gibt es 6 blaue Punkte.

Lösung

Die komplette Lösung von Felix Karu, danke
als pdf

Aufgabe 2

230. Wertungsaufgabe
"Ich habe gerade eine Matheoma getroffen.", sagte Lisa. "Was ist denn eine Matheoma?" "Na, das war die Oma von Valentin aus unserem Kurs, die mit dessen Bruder auf dem Spielplatz war und als ich sie fragte wie alt der sei, sagte sie mir das:" Er ist genau so viele Monate alt wie ich Jahre zähle, zusammen sind wir bei 91 Jahre." Da konnte ich das Alter der
beiden ausrechnen." 4 blaue Punkte.
"Mike, was stöhnst du denn so?" "Ach na ja, wahrscheinlich ist es gar nicht so schwer, aber irgendwie klappt das nicht." "Was denn?", fragten Lisa und Bernd. "In einen Kreis mit dem Radius r soll ein größtmögliches gleichseitiges Dreieck konstruiert werden. Das ist ja leicht (Konstruktionsbeschreibung 3 rote Punkte), aber wie kann ich den Flächeninhalt des Dreiecks ausrechnen, wenn ich nur den Radius des Kreises verwenden darf. Also, gesucht ist eine Flächeninhaltsformel in der als Variable nur dieser Radius vorkommt. (noch mal 4 rote Punkte)

Lösung

Ich bezeichne Anzahl der Monate von Valentin mit m.
Es sollen 91 Jahre herauskommen, das sind 91 * 12 = 1092 Monate. Die Oma ist 12 * m Monate alt, also gilt 12 m + m = 1092. Nun ist schnell klar.
m ist 84 (1092 : 13)
m : 12 ergibt 7.
Valentin ist 7 Jahre (= 84 Monate) und die Oma ist 84 Jahre, also zusammen 91 Jahre.
Eine Variante der Konstruktion ist ganz einfach. Auf dem Kreis wird der Radius 6 mal abgetragen. Würde man die 6 Punkte verbinden, entsteht ein regelmäßes Sechseck - bekannte Konstruktion.
Verbindet man nur jeden zweiten Punkt erhält man das gesuchte Dreieck.
Die gesuchte Formel mit r dem Umkreisradius, es gibt auch die Variante mit großem R.
Weg von Wadim, danke
Für dir Berechnungen der Flächeninhalt können wir die Formel benutzen: A=2r²sinαsinβsinγ, wobei r der Radius des Umkreises ist, sinα, sinβ , sinγ die Innenwinkel des Dreieckes sind. Da unser Dreieck gleichseitig ist, gilt sinα=sinβ=sinγ= 60 °
Mit sin60°= Wurzel (3) / 2 . führt das auf
A = 3· r² · Wurzel (3) / 4
Etwas konventioneller:
Die Formel für den Flächeninhalt lautet allgemein: A = g · h_g/2.
In dem Dreieck ist g = a und als h_g nehem ich die Strecke CX.
Der Punkt M teilt die Höhe im Verhältnis 2:1, denn M ist auch der Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks.
Also ist h = 3/2 r
Im Dreieck AXM nutze ich den Satz des Pythagoras:
(a/2)² = r² - (r/2)²
a²/4 = r² - r²/4
a²/4 = 3r²/4
a/2 = Wurzel(3) r/2
Nun setze ich A = g · h_g/2 = a/2 · h ein
A = Wurzel(3) r/2 ·3/2 r
A = 3· r² · Wurzel (3) / 4

Aufgabe 3

231. Wertungsaufgabe
"Bei der Mathematikausstellung gab es ein schönes Exponat zum Satz des Pythagoras. Da konnte man den durch abwiegen nachvollziehen", sagte Lisa, das hat unserer Gruppe sehr gefallen." "Durch abwiegen?", fragte Bernd, der die Ausstellung noch nicht gesehen hatte. "Das war so. An ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c wurden drei Quader gelegt. Diese hatten als Grundfläche jeweils ein Quadrat mit den Kantenlängen a, b und c - passten also genau an das Dreieck - und waren alle 2 cm hoch. Dann stand da eine einfache Balkenwaage. Wenn man die beiden kleineren Quader auf die eine Seite der Waage legte und den großen auf die andere Seite, dann war die Waage im Gleichgewicht. Verblüffend."
Nun gilt der Satz des Pythagoras ja für Flächen. Wieso funktioniert das dann für diese Quader auch? - 3 blaue Punkte.
"Nun, so richtig in 3-D wäre es ja mit Würfeln gewesen", meinte Mike, der sich inzwischen zu den beiden gesellt hatte. "Stimmt, die hätten es ja auch mal mit drei Würfeln probieren können, aber vielleicht geht das ja auch gar nicht", gab Lisa zu Bedenken. Tja, geht das mit Würfeln? Die Maße der Würfel sollen - in Millimetern gerechnet - ganze Zahlen sein. Für die Antwort gibt es 3 rote Punkte, wenn man sich auf bekannte Mathematiker verlässt. Für das Aufschreiben eines richtigen Beweises gibt es viele rote Punkte mehr.

Lösung

Zur Aufgabe sei noch ergänzt, dass die Quader oder auch die Würfel aus Material gleicher Dichte bestehen sollen und hinreichend homogen sind. Das haben aber sicherlich alle Teilnehmer vorausgesetzt.
Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, es sei c die längste Seite dann gilt der Satz des Pythagoras.
a² + b² = c² Dies gilt sowohl für die Zahlen als auch für die Flächeninhalte entsprechender Quadrate:
Wird diese Gleichung mit einer positiven Zahl h (gleichbedeutend als Höhe von Quadern) ergibt sich:
a²·h + b²·h = c²·h
Somit ergeben die kleineren Volumina genau das große Volumen.
Mit m = ρ · V und einer weiteren Multiplikation der 2. Gleichung mit ρ folgt die Massengleichheit sofort.
Die rote Aufgabe führt unter Berücksichtigung der ρ auf die Frage, gibt es eine Lösung der Gleichung:
a³ + b³ = c³, wobei a, b und c natüliche Zahlen verschieden von Null sein sollen.
Eine solche Lösung gibt es nicht. Das dies so ist, formulierte Fermat, als er meinte aⁿ + bⁿ = cⁿ habe keine ganzzahlige Lösung für n > 2. Für den Fall n = 3, also unsere Aufgabe, konnte als erster Euler einen Beweis vorlegen. Das gesamte Problem zu lösen, gelang erst Wiles im Jahr 1995.
Das Problem, welches in der Aufgabe formuliert ist, ist aber nur ein Spezialfall von a³ + b³ = c³, denn bei diesem wird die Rechtwinkligkeit des eines passenden Dreiecks ja nicht verlangt.
Deshalb ist die Idee von Felix Karu (danke für die Ausführungen) goldrichtig. Es soll ja, wenn a² + b² = c² gilt, mit diesen nat. Zahlen auch a³ + b³ = c³ gelten.
Löst man die untere Gleichung nach oder b auf, zeigt sich, dass es keine reellen und damit erst recht keine natürlichen Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Die komplette Lösung hatte vorgelegen.
Ein abschreckender Beweis ist hier zu finden. gefunden von XXX, danke.
Um so schöner der Beweis Eulers: gefunden von Wadim und Daniel, danke

Aufgabe 4

"Was machst du denn gerade, das kommt mir so bekannt vor?", fragte Mike. "Ich bastele Himmel und Hölle, das haben wir im Kindergarten schon gemacht", sagte Lisa. "Ach ja, stimmt und wofür ist das?" "Nun, in unserer Knobelgruppe sollen die Veränderungen der Quadrate während des Basteln untersucht werden. Wir beginnen mit einem 10 x 10 cm Quadrat und ermitteln jeweils den Umfang und die Flächeninhalte der Quadrate." Es gibt 4 blaue Punkte. Wie hoch wird ein solches Himmel-Hölle-Teil maximal (Ausgangskantenlänge a), wenn es auf den 4 Spitzen steht? Alle Flächen sollen dabei als eben betrachtet werden und "Verluste" durch die Dicke des Papiers werden vernachlässigt. - 5 rote Punkte.
Hier noch eine Anleitung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Himmel_oder_H%C3%B6lle

Lösung

Aufgabe 5

233. Wertungsaufgabe
Das Basteln hat allen Spaß gemacht, wir haben auch gleich noch Papierschiffchen gebastelt und diese gleich in dem quadratischen Schulhofteich schwimmen lassen. Leider konnten wir nicht alle wieder raus nehmen, da einige in die Mitte abgetrieben waren", sagte Maria. "Lagen da gestern nicht ein paar Bretter rum?", fragte Bernd. "Ja schon, aber die sind nicht lang genug, die Kantenlänge des Brunnens liegt bei 4m (blaue Fläche) und die zwei Bretter waren aber nur jeweils zwei Meter lang (Es waren eigentlich genau 2,03 m)." "Nun, dann hättet ihr doch die Schiffe retten können", meinte Mike. "Bist du sicher?" "Aber klar, doch." - 5 rote Punkte.
Wie breit müssten die zwei Bretter sein, damit aus diesen eine 6 cm breite Umrandung um den Brunnen herum gelegt werden kann? (Klar muss man sägen, aber so, dass nicht so viel ungenutzt bleibt, der Verlust durch das Sägen wird nicht gerechnet. - 6 blaue Punkte)

Lösung

blau: Die Bretter sind 2,03 m lang. Es werden für die Umrandung 4,06 m auf einer Seite gebraucht. 4 m wegen der Größe des Brunnens und die 6 cm, weil die Breite der Umrandung 6 cm sein soll. 8 Teilstücke werden gebraucht, also muss ein Brett in vier Teile je 6cm breite Teile (längs) gesägt werden. Damit müseen diese 24 breit sein.
Die Bretter einfach gerade auf das Wasser zu legen, würde zwar gehen, aber wer schon mal versucht hat, solche starken Bretter (24 cm siehe blau) zu bewegen, wenn man nur minimal anfassen kann, der wird wohl diese variante eher verwerfen, noch dazu wo die Chance die Schiffe wirklich ganz aus dem Wasser zu ziehen, nicht so einfach ist.
Man kann sich ausrechnen, wie groß wie die Lage von X und Z sein müssen, damit XZ und YB gleich lang sind. Dass dabei die Winkel mit 45° bzw. 90° angenommen werden können ist nicht zwingend, aber im Sinne der Aufgabenstellung sinnvoll. Diese Berechnung überlasse ich dem geneigten Leser. (Allerdings setzt eine solche Variante eine Brettlänge von mehr als 16/6 m (also rund 2,67 m), das ist immer noch deutlich weniger als die Kantenlänge von 4 m des Brunnens. Aufgaben mit den Angaben von 4 m (Brunnen) und 3 m (Bretter) sind die Klassiker bzw. 2 m (Bretter) und einem kreisförmigen Brunnen)
Aber irgend so eine "Abkürzung" müsste es schon sein.
Die Mitte des Teiches ist von einer Ecke 2,83 m (halbe Diagonale) entfernt. Das erste Brett wird im Sinne von der Punkte X und Z gelegt. Bei knapp zwei Meter effektiver Brettlänge ist dessen Mitte knapp einen Meter vom dem Eckpunkt entfernt.
Nun wird das zweite Brett vorsichtig darüber geschoben, so dass man es vom Rand aus halten kann. Dass Erreichen der Mitte ds Brunnens mit ausgestrecktem Arm eines Kindes (50 bis 70 cm), welches auf dem Brett liegt ist nun kein Problem mehr.

Aufgabe 6

Bernd saß etwas verloren zu Hause in seinem Zimmer, Lisa und Mike waren im Kino und Maria war vom Zahnarzt noch nicht zurück. Er nahm sich ein Buch und fand darin einen Zettel mit einer Konstruktionsbeschreibung, die ihn in seinen Bann zog.
Zeichne ein Quadrat ABCD. Verlängere die Seite  a über B hinaus, die Seite b über C hinaus, c über D und d über A. Nimm einen Zirkel. Zeichne einen Viertelkreis mit dem Radius b um den Punkt B, der C und die erste Verlängerung verbindet. Nun wird um A ein Viertelkreis gezogen, der den gerade entstandenen Schnittpunkt mit der zweiten Verlängerung verbindet. Ein neuer Schnittpunkt ist entstanden, der durch einen weiteren Viertelkreis (Mittelpunkt D, Radius so, dass es einen Anschluss an die Kurve gibt) ergänzt wird. Die passende Fortsetzung der Kurve erfolgt vom Punkt C aus. Zum Schluss wird die Kurve  von Punkt B aus verlängert. Damit ist der erste Viertelkreis von dem letzten Viertelkreis eingeschlossen. Wie heißt die so konstruierte krumme Form und wie groß ist der Flächeninhalt der Gesamtkonstruktion, wenn das Quadrat 1 cm groß ist? (1 + 5 blaue Punkte).  Das werde ich nachher den anderen zeigen, dachte sich Bernd und überlegte sich eine Formel für den Flächeninhalt und den Umfang einer solchen Figur, wenn die Ausgangsfigur ein regelmäßiges n-Eck der Länge a ist. (8 rote Punkte) Hinweis: bei einem n-eck sind es natürlich Kreis -n-tel die verwendet werden und die Figur ist fertig, wenn das erste Kreisstück überdeckt wird.

Lösung

Da Felix Karu wieder mal recht schnell war, verweise ich auf seine Lösungsvariante, danke
--> die Lösung <--

Aufgabe 7

"Hallo Bernd, die Konstruktionsaufgabe von letzter Woche war ja richtig attraktiv, das hat unseren kleinen richtig Spaß gemacht, sie haben es auch für 5- und 6-Ecke probiert", meinte Lisa, die eine Zeichnung mitgebracht hatte. Diese stellte eine vereinfachte Darstellung einer atemberaubenden Brücke dar, die sie Urlaub gesehen hatte.
"Was machst du denn damit?", fragte Mike. "Ich habe hier erst einmal ein paar Angaben: Die Fahrbahn ist 562,5 m lang, das Fundament auf der linken Seite liegt 330 m unter der Fahrbahn, rechts sind es 180 m. Die Fundamente sind 400 m voneinander entfernt." Was soll man da ausrechnen?" "Nun die sechs blauen Punkte gibt es, wegen folgender Geschichte. Der Architekt der Brücke nahm seinen kleinen Sohn kurz vor der Einweihung mit auf die Brücke. Sie veranstalteten ein kleines Wettrennen mit dem Fahrrad. Der Vater fuhr mit 27 km/h und der Sohn mit 18 km/h. Wie viel Meter Vorsprung müsste der Vater dem Sohn geben, damit beide gleichzeitig auf der linken Seite ankommen, wenn der Start auf der rechten Seite erfolgte?"
"Eine schöne Aufgabe und dazu auch noch nett von dem Papa."
"Nun aber die rote Aufgabe (8 Punkte). Der Brückenbogen ist eine Parabel, mit welcher Gleichung kann man diese Parabel beschreiben (01 = 1m), wenn der Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt?" "Das klingt nicht so einfach", meinte Bernd. Auch Mike bekam Grübelfalten. (Die Symmetrieachse liegt natürlich senkrecht zur waagerecht verlaufen Fahrbahn.)

Lösung

Eine sehr ausführliche Darstellung der Lösung von Linus, Klasse 4, danke.
hier klicken
Eine Parabel, deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, hat die Gleichung y =ax².
Bei der folgenden Rechnung wird auf die Angebe der Einheit Meter verzichtet.
(Bei eingereichten Lösungen wurde die schräg verlaufenden 400 m nicht beachtet.)
Den links liegenden Punkt nenne P1, den rechten mit P2. Der Abstand der x – Koordinaten (d) dieser Punkte lässt sich mit Hilfe des Satz des Pythagoras ermitteln:

Eine ganzzahlige Variante, von Felix Karu, danke
Mit der Parabel y = - 1/160 ·x² und den Stützstellen S₁ (-240; -360),S₂ (160 | -160) käme man mit ähnlichen Angaben zu "schönen" Werten.

Aufgabe 8

"Sagt mal, habt ihr gewusst, dass der Herrnhuter Stern möglicherweise von einem Mathematiklehrer erfunden wurde?", fragte Bernds Opa, der lange nicht mehr da gewesen war. „Wie das denn?" "Nun, der Lehrer hatte eine recht große Einheit zum Thema Polyeder geplant. Die Schüler sollten diese Polyeder basteln und deren Oberfläche und Volumen berechnen. Damit das nicht ganz so langweilig war, ließ der Lehrer auf die Flächen der Polyeder noch Pyramiden kleben, na ja und das sah dann eben aus wie ein Stern." "Na klar, wenn ich auf einen Würfel -- ein recht einfaches Polyeder -- sechs Pyramiden draufklebe, dann habe ich einen sechsstrahligen Stern", bemerkte Lisa. "Das stimmt, aber wenn du einen Herrnhuter Stern basteln willst, brauchst du einen Polyeder, dessen Netz so aussieht. Alle Kanten dieses Netzes sind gleichlang, sagen wir einfach 4 cm."
Was die Schüler damals konnten, können wir heute sicherlich auch. 4 blaue Punkte gibt es für die Oberfläche des Herrnhut-Polyeders. Für die Berechnung des Volumens gibt es mit Herleitung der Formel 8 rote Punkte, wer nur in die fertige Formel einsetzt bekommt aber nur zwei.
eine Bastelanleitung

Lösung

Die blauen Punkte sind schnell erreicht. 18 Quadrate --> 18 · 4 · 4 · = 288 cm²
Dazu kommen die 8 gleichseiten Dreiecke (man kann die Flächeninhaltsformel (A = a²/4 · Wurzel(3))) verwenden oder - wie es einiges gemacht haben - das Dreieck wird konstruiert und die Höhe abgemessen und in A = g · h/2 eingesetzen. Das ergibt dann noch einmal 55,43 cm² und damit sind es insgesamt 343,53 cm².
Hier nun ein Bild des Körpers.
Dieser Körper lässt sich in vielfältiger Art und Weise zusammensetzen bzw. als "Restkörper" eines umschreibenden Würfels betrachten.
 
 
(Die älteste bekannte Darstellung dieses Körpers - von Leonardo da Vinci.)
Die Lösung von Felix Karu, danke
--> als pdf <--
Dass es bei der Aufgabe recht viel zu beachten gibt, zeigen die sehr wichtigen Hinweise von Dr. Göring, vielen Dank dafür
--> als pdf <--
Quelle der Bilder: http://de.wikipedia.org/wiki/Rhombenkuboktaeder

Aufgabe 9

"Nun ist die Weihnachtszeit wieder vorbei, aber die Zweifarbigkeit meines Herrnhuter Sterns hat mich zu folgenden Aufgaben geführt", sagte Mike als er mit Bernd, Lisa und Maria zusammen saß. "Na dann zeig mal her," sagte Bernd.
Die Skizze zeigt die Färbung eines gleichschenkligen Dreiecks -- aus denen die Sternspitzen bestehen. Die Maße sind 5 cm für die Basis und je 23 cm für die Schenkel. Vergleiche den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks mit dem oberen Dreieck, wenn dieses genau halb so hoch ist wie das große Dreieck und die Basen parallel liegen. (3 blaue Punkte). Welche Höhe müsste so ein oben liegendes Dreieck haben (Basen wieder parallel), damit der Flächeninhalt genau halb so groß ist wie der vom großen Dreieck? (4 rote Punkte.)

Lösung

Wenn man es genau liest, braucht bei der blauen Aufgabe nicht notwendigerweise gerechnet zu werden. Wird das obere Dreieck durch einen parallelelen Schnitt zur Basis des gleichschenkligen Dreiecks gebildet, so ist dieses zum Ausgangsdreieck ähnlich. (Lässt sich mittels Hauptähnlichkeitssatz auch schnell zeigen.) Bei der Halbierung der Höhe wird also das obere Dreieck halb so groß, so dass der gesuchte Flächeninhalt gerade mal 1/4 des ursprünglichen Flächeninhaltes beträgt.
A₁ = 1/2 · 1/2 h · 1/2 g = 1/4 · A
Gut sieht man dies auch an dem Bild, welches mir Felix Karu mit seiner Lösung mitschickte, danke.
roter Teil:
Es gibt viele Möglichkeiten die gesuchte Höhe zu ermitteln.
Eine Variante wäre den Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt von zu einander ähnlichen Figuren zu wählen. Ich nehme mal die Flächeninhaltinhaltsformel A = 0,5 · a² sin γ
Der neue Flächeninhalt ist A ₁ = 0,5 · a₁² sin γ = 0,5 · 0,5 · a² sin γ
-->
a₁² = 0,5 · a² | Wurzel
a₁ = Wurzel (0,5) · a
-->
h₁ = Wurzel (0,5) · h (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke)
h lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ermitteln: h = Wurzel (a² - (basis/2)²)
h = 22,86 cm --> h₁ = 16,17 cm.

Aufgabe 10

"Ist schon erstaunlich, wie man sich verschätzen kann", gab Lisa zu, als sie von der Erledigung der letzten Aufgabe durch Ihre Mathematikgruppe berichtete. "Allerdings haben wir als Erweiterung der Aufgabe eine kleine Formeljagd unternommen". "Formeljagd -- was ist das denn?", fragte Bernd. "Formeljagd nennen wir das Aufspüren oder Finden von Formeln, die nicht im Tafelwerk stehen. So gibt es es in jedem Tafelwerk eine Formel, mit der man den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge a ausrechnen kann. Wir haben nun überlegt, wie lang (Formel) die Kantenlänge eines gleichseitigen Dreiecks sein muss, dessen Flächeninhalt genau halb so groß ist wie die  des ursprünglichen Dreiecks. Da wir einmal am Knobeln waren, haben wir auch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal gefunden, um diese Aufgabe zu lösen." (2x3 rote Punkte -- Formel + Konstruktionsbeschreibung.)" Das fanden einige recht kompliziert,  so dass wir noch eine Konstruktionsbeschreibung (mit Begründung) suchten: Wie kann man zu dem vorgegebenen gleichseitigen Dreieck ein Quadrat konstruieren, welches einen doppelt so großen Flächeninhalt (3 blaue Punkte) bzw. den gleichen Flächeninhalt  (5 blaue Punkte) wie das vorgegebene Dreieck hat."

Lösung

Wegen der Formeln und der Zeichnung die Lösung als
--> pdf <--

Aufgabe 11

"Hallo Lisa, wozu brauchst du denn die vielen Streichhölzer"; fragte Mike. "So viele sind das gar nicht. Es sind genau 12 Stück und aus denen lege ich vier gleichseitige Dreiecke, die kongruent zueinander sind. Das ist ja nicht schwer." "Stimmt und nun?"
Jetzt soll man drei Streichhölzer weglegen und aus den verbliebenen wieder vier  gleichseitige Dreiecke, die kongruent zueinander sind, bilden. Das ist nicht schwer, siehst du?" (ein Bild oder kurze Beschreibung 3 blaue Punkte) "Aber ich komme einfach nicht darauf, wie sich die Aufgabe mit nur 6 Streichhölzern lösen lassen soll?" (3 rote Punkte)

Lösung

Interessanterweise gab es für die rote Aufgabe mehr Varianten als bei der blauen. Zu unterscheiden sind dabei die Varianten beiden ausschließlich die geforderten zueinander kongruenten gleichseitigen Dreiecke auftreten (rot - Tetraeder) und denen, wo die Figuren die geforderten Dreiecken auch enthalten.
blau (Bild von Robin, danke) Die zwei Streichhölzer rechts könnten auch als Spitze oben angelegt werden, dann entstehen sogar 5 gleichseitige Dreiecke, von denen 4 kongruent zueinander sind.

rot:
Die Variante mit dem Quadrat und zwei übereinander gelegten Strechölzern liefert allerdings keine gleichseitigen Dreiecke, sondern gleichschenklige.


 
Hier sind es sogar 6 zueinander kongruente Dreiecke.

 
Der Klassiker

Aufgabe 12

"Nach so vielen eckigen Aufgaben haben wir uns in unserer Mathematikgruppe wieder mal dem Kreis zugewandt und sind dabei auf folgendes Problem gestoßen und das könnte dich interessieren", sagte Maria zu ihrem Vater, der sich seit längerem nicht um die Aufgaben kümmern konnte. "Eigentlich sollte ich es dir nicht erzählen, denn wenn wir uns das als echten Wettbewerb vornehmen würden, hättest du keine Chance gegen mich." Ist ja nett von dir, dass du deinen Vater nicht reinlegen willst oder denkst du ich bin zu alt?" Nein, das ist es natürlich nicht, es ist die Mathematik, die sich dahinter verbirgt, die mir eine Chance gibt. Du erinnerst dich doch noch an den ideal  kreisförmigen See vom letzten Urlaub in der Eiffel, an dessen Ufer ein Rundweg war." "Aber klar doch, der hatte einen Radius von ziemlich genau 100 m." (3 blaue Punkte für Flächeninhalt und Umfang eines halb so großen Sees.)
"Nun die nicht wirklich faire Wette. Du bist am Ufer. Ich sitze in einem Tretboot in der Mitte des See und wette mit dir, dass ich es schaffe, vor dir an einer bestimmten Stelle des Ufers zu sein." "Ich bin aber schneller als du, ich gehe mal von 4m/s aus, während du nur 1 m/s schaffst." "Von diesen Werten bin ich auch ausgegangen." "Na gut, wenn du geradewegs auf das Ufer zu ruderst, brauchst du 100 Sekunden, in der Zeit schaffe ich 400 Meter -- um den halben See herum sind es aber nur 314 Meter, also schaffe ich es locker." "Stimmt, aber wenn ich mich 24 Meter auf das Ufer zu bewege, dann brauche ich nur 76 Sekunden. Würdest du mir in dem Moment am Ufer genau richtig weit weg gegenüberstehen -- also 74 m Meter weg, dann würdest du in 76 Sekunden nur 304 m schaffen und keine 314 Meter, die du brauchst." "Das ist richtig, aber wie willst du es schaffen, dass ich dir so gegenüberstehe?" "Da habe ich eine Idee, ..." "Du meinst ohne Hilfe von irgendwelchen äußeren Einflüssen und bei meinem Willen eigentlich auch zu gewinnen, sollte das gehen?" "Ja, ich denke schon!" (6 rote Punkte für die Strategie + x Punkte für die Zeit vom Beginn des Experiments bis zum Erreichen des Ufers durch Maria.)

Lösung

Blau, nun das ist ja nicht schwer.
Antwort von Eric, danke.
Halber Radius geg.: r₁=100m-> r₂=50m
ges.: A, u
A=π*r² A=π*(50m)² A=7853,98m²
u=2π*r u=2π*50m u=314m
Der Flächeninhalt des halb so großen See's wäre also 7853,98m² und der Umfang wäre 314 m groß.
rot:
Maria rudert 24 Meter auf ihren Vater zu, ist also 76 m vom Ufer entfernt. Wenn sie nun beginnt im Kreis zu rudern, wird der Vater mit dem gleichen Umlaufsinn mit laufen. (macht er es nicht, erreicht sie ja nach einer halben Umkreisung schon den obigen Abstand.) Läuft er gegen ihren Umlauf erreicht Maria den gewünschten Punkt noch eher. ...
Der Umfang ihrer Bahn liegt bei π*2*24 m (rund) 151 m. Sie braucht dafür 151 Sekunden. In dieser Zeit schafft der Vater 604 m. Das aber ist weniger als der Umfang des Sees. Somit bleibt der Vater hinter Maria zurück. Also selbst, wenn man davon ausgeht, dass der Vater dieses Tempo sehr lange durchhält, kann er auf Dauer nicht verhindern, dass Maria auf Ihrer Bahn einen Punkt erreicht, von dem aus sie zum Ufer starten kann.
Wie lange dies mindestens dauert, mag der geneigte Leser selber noch nachrechnen.

Auswertung Serie 20 (rote Liste)

Auswertung Serie 20 (blaue Liste)