Serie-20

Aufgabe 2

230. Wertungsaufgabe
"Ich habe gerade eine Matheoma getroffen.", sagte Lisa. "Was ist denn eine Matheoma?" "Na, das war die Oma von Valentin aus unserem Kurs, die mit dessen Bruder auf dem Spielplatz war und als ich sie fragte wie alt der sei, sagte sie mir das:" Er ist genau so viele Monate alt wie ich Jahre zähle, zusammen sind wir bei 91 Jahre." Da konnte ich das Alter der
beiden ausrechnen." 4 blaue Punkte.
"Mike, was stöhnst du denn so?" "Ach na ja, wahrscheinlich ist es gar nicht so schwer, aber irgendwie klappt das nicht." "Was denn?", fragten Lisa und Bernd. "In einen Kreis mit dem Radius r soll ein größtmögliches gleichseitiges Dreieck konstruiert werden. Das ist ja leicht (Konstruktionsbeschreibung 3 rote Punkte), aber wie kann ich den Flächeninhalt des Dreiecks ausrechnen, wenn ich nur den Radius des Kreises verwenden darf. Also, gesucht ist eine Flächeninhaltsformel in der als Variable nur dieser Radius vorkommt. (noch mal 4 rote Punkte)

Lösung

Ich bezeichne Anzahl der Monate von Valentin mit m.
Es sollen 91 Jahre herauskommen, das sind 91 * 12 = 1092 Monate. Die Oma ist 12 * m Monate alt, also gilt 12 m + m = 1092. Nun ist schnell klar.
m ist 84 (1092 : 13)
m : 12 ergibt 7.
Valentin ist 7 Jahre (= 84 Monate) und die Oma ist 84 Jahre, also zusammen 91 Jahre.
Eine Variante der Konstruktion ist ganz einfach. Auf dem Kreis wird der Radius 6 mal abgetragen. Würde man die 6 Punkte verbinden, entsteht ein regelmäßes Sechseck - bekannte Konstruktion.
Verbindet man nur jeden zweiten Punkt erhält man das gesuchte Dreieck.
Die gesuchte Formel mit r dem Umkreisradius, es gibt auch die Variante mit großem R.
Weg von Wadim, danke
Für dir Berechnungen der Flächeninhalt können wir die Formel benutzen: A=2r²sinαsinβsinγ, wobei r der Radius des Umkreises ist, sinα, sinβ , sinγ die Innenwinkel des Dreieckes sind. Da unser Dreieck gleichseitig ist, gilt sinα=sinβ=sinγ= 60 °
Mit sin60°= Wurzel (3) / 2 . führt das auf
A = 3· r² · Wurzel (3) / 4
Etwas konventioneller:
Die Formel für den Flächeninhalt lautet allgemein: A = g · h_g/2.
In dem Dreieck ist g = a und als h_g nehem ich die Strecke CX.
Der Punkt M teilt die Höhe im Verhältnis 2:1, denn M ist auch der Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks.
Also ist h = 3/2 r
Im Dreieck AXM nutze ich den Satz des Pythagoras:
(a/2)² = r² - (r/2)²
a²/4 = r² - r²/4
a²/4 = 3r²/4
a/2 = Wurzel(3) r/2
Nun setze ich A = g · h_g/2 = a/2 · h ein
A = Wurzel(3) r/2 ·3/2 r
A = 3· r² · Wurzel (3) / 4