Serie-20

Aufgabe 9

"Nun ist die Weihnachtszeit wieder vorbei, aber die Zweifarbigkeit meines Herrnhuter Sterns hat mich zu folgenden Aufgaben geführt", sagte Mike als er mit Bernd, Lisa und Maria zusammen saß. "Na dann zeig mal her," sagte Bernd.
Die Skizze zeigt die Färbung eines gleichschenkligen Dreiecks -- aus denen die Sternspitzen bestehen. Die Maße sind 5 cm für die Basis und je 23 cm für die Schenkel. Vergleiche den Flächeninhalt des gesamten Dreiecks mit dem oberen Dreieck, wenn dieses genau halb so hoch ist wie das große Dreieck und die Basen parallel liegen. (3 blaue Punkte). Welche Höhe müsste so ein oben liegendes Dreieck haben (Basen wieder parallel), damit der Flächeninhalt genau halb so groß ist wie der vom großen Dreieck? (4 rote Punkte.)

Lösung

Wenn man es genau liest, braucht bei der blauen Aufgabe nicht notwendigerweise gerechnet zu werden. Wird das obere Dreieck durch einen parallelelen Schnitt zur Basis des gleichschenkligen Dreiecks gebildet, so ist dieses zum Ausgangsdreieck ähnlich. (Lässt sich mittels Hauptähnlichkeitssatz auch schnell zeigen.) Bei der Halbierung der Höhe wird also das obere Dreieck halb so groß, so dass der gesuchte Flächeninhalt gerade mal 1/4 des ursprünglichen Flächeninhaltes beträgt.
A₁ = 1/2 · 1/2 h · 1/2 g = 1/4 · A
Gut sieht man dies auch an dem Bild, welches mir Felix Karu mit seiner Lösung mitschickte, danke.
roter Teil:
Es gibt viele Möglichkeiten die gesuchte Höhe zu ermitteln.
Eine Variante wäre den Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Flächeninhalt von zu einander ähnlichen Figuren zu wählen. Ich nehme mal die Flächeninhaltinhaltsformel A = 0,5 · a² sin γ
Der neue Flächeninhalt ist A ₁ = 0,5 · a₁² sin γ = 0,5 · 0,5 · a² sin γ
-->
a₁² = 0,5 · a² | Wurzel
a₁ = Wurzel (0,5) · a
-->
h₁ = Wurzel (0,5) · h (wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke)
h lässt sich mit dem Satz des Pythagoras ermitteln: h = Wurzel (a² - (basis/2)²)
h = 22,86 cm --> h₁ = 16,17 cm.