Serie-20

Aufgabe 3

231. Wertungsaufgabe
"Bei der Mathematikausstellung gab es ein schönes Exponat zum Satz des Pythagoras. Da konnte man den durch abwiegen nachvollziehen", sagte Lisa, das hat unserer Gruppe sehr gefallen." "Durch abwiegen?", fragte Bernd, der die Ausstellung noch nicht gesehen hatte. "Das war so. An ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c wurden drei Quader gelegt. Diese hatten als Grundfläche jeweils ein Quadrat mit den Kantenlängen a, b und c - passten also genau an das Dreieck - und waren alle 2 cm hoch. Dann stand da eine einfache Balkenwaage. Wenn man die beiden kleineren Quader auf die eine Seite der Waage legte und den großen auf die andere Seite, dann war die Waage im Gleichgewicht. Verblüffend."
Nun gilt der Satz des Pythagoras ja für Flächen. Wieso funktioniert das dann für diese Quader auch? - 3 blaue Punkte.
"Nun, so richtig in 3-D wäre es ja mit Würfeln gewesen", meinte Mike, der sich inzwischen zu den beiden gesellt hatte. "Stimmt, die hätten es ja auch mal mit drei Würfeln probieren können, aber vielleicht geht das ja auch gar nicht", gab Lisa zu Bedenken. Tja, geht das mit Würfeln? Die Maße der Würfel sollen - in Millimetern gerechnet - ganze Zahlen sein. Für die Antwort gibt es 3 rote Punkte, wenn man sich auf bekannte Mathematiker verlässt. Für das Aufschreiben eines richtigen Beweises gibt es viele rote Punkte mehr.

Lösung

Zur Aufgabe sei noch ergänzt, dass die Quader oder auch die Würfel aus Material gleicher Dichte bestehen sollen und hinreichend homogen sind. Das haben aber sicherlich alle Teilnehmer vorausgesetzt.
Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, es sei c die längste Seite dann gilt der Satz des Pythagoras.
a² + b² = c² Dies gilt sowohl für die Zahlen als auch für die Flächeninhalte entsprechender Quadrate:
Wird diese Gleichung mit einer positiven Zahl h (gleichbedeutend als Höhe von Quadern) ergibt sich:
a²·h + b²·h = c²·h
Somit ergeben die kleineren Volumina genau das große Volumen.
Mit m = ρ · V und einer weiteren Multiplikation der 2. Gleichung mit ρ folgt die Massengleichheit sofort.
Die rote Aufgabe führt unter Berücksichtigung der ρ auf die Frage, gibt es eine Lösung der Gleichung:
a³ + b³ = c³, wobei a, b und c natüliche Zahlen verschieden von Null sein sollen.
Eine solche Lösung gibt es nicht. Das dies so ist, formulierte Fermat, als er meinte aⁿ + bⁿ = cⁿ habe keine ganzzahlige Lösung für n > 2. Für den Fall n = 3, also unsere Aufgabe, konnte als erster Euler einen Beweis vorlegen. Das gesamte Problem zu lösen, gelang erst Wiles im Jahr 1995.
Das Problem, welches in der Aufgabe formuliert ist, ist aber nur ein Spezialfall von a³ + b³ = c³, denn bei diesem wird die Rechtwinkligkeit des eines passenden Dreiecks ja nicht verlangt.
Deshalb ist die Idee von Felix Karu (danke für die Ausführungen) goldrichtig. Es soll ja, wenn a² + b² = c² gilt, mit diesen nat. Zahlen auch a³ + b³ = c³ gelten.
Löst man die untere Gleichung nach oder b auf, zeigt sich, dass es keine reellen und damit erst recht keine natürlichen Zahlen gibt, die die Gleichung erfüllen.
Die komplette Lösung hatte vorgelegen.
Ein abschreckender Beweis ist hier zu finden. gefunden von XXX, danke.
Um so schöner der Beweis Eulers: gefunden von Wadim und Daniel, danke