Serie 34

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Aufgaben der Woche

Serie 34

Aufgabe 1

397. Wertungsaufgabe
Logikaufgabe 
„Hast du schon von dem Filmprojekt der Jungen in der Klasse 9 a gehört?“, fragte Mike. Bernd schaute etwas verwundert drein. Deshalb sah Mike noch mal auf den Projektzettel.
Tom, Valentin, Heinrich und Gunnar spielen in verschiedenen Orten (Chemnitz, Erlenbach, Bamberg und Waldshut) in einem Kurzkrimi, jeweils eine der Rollen – Drogenfahnder, Mordkommissar, Informant, Gerichtsmediziner. Die Namen in den Filmen sind Adler, Bär, Drossel bzw. Eber. Wie heißen die Jungen in den Filmen, welche Rolle haben sie und wo
spielen die Filme? 6 blaue Punkte
Der Gerichtsmediziner wird von Gunnar gespielt. Gunnar heißt im Film nicht Drossel und spielt nicht in Waldshut.
Der Informant ist in Bamberg tätig.
Heinrich spielt nicht den Drogenfahnder.
Drossel ist in Erlenbach tätig. Tom aber ist weder in Erlenbach noch in Waldshut aktiv.
Der Mordkommissar heißt im Film Adler.
Eber ist nicht in Chemnitz im Einsatz.

Nun zu einigen Details aus der Serie mit dem Informanten.
Im Haus eines Verdächtigen stehen auf einem Tisch fünf Schachteln (A, B, C, D, E). Am Sonntag waren alle Schachteln leer, aber das sollte sich ändern (Montag, Dienstag, …, Freitag). An jedem dieser Tage wurde eine Schachtel mit Geld gefüllt (40, 60, 75, 100, 150 Euro). Wann wurde welche Schachtel mit welchem Betrag gefüllt? 6 rote Punkte
Die 100 Euro wurden einen Tag nach den 150 Euro in eine Schachtel getan.
Die 75 Euro wurden zwei Tage später nach dem Befüllen von Schachtel C in eine Schachtel getan.
In der Schachtel E war mehr als in Schachtel D und mehr als der Betrag vom Mittwoch.
In Schachtel D und in der vom Mittwoch war mehr drin als in der Schachtel, die am Freitag gefüllt wurde.
Schachtel A wurde einen Tag eher als Schachtel D gefüllt, wobei aber in D mehr Geld war als in A.

Termin der Abgabe 20.06.2013. Deadline for solution is the 20th. june 2013.
397
logic puzzle
“Have you heard about the film project of the boys of form 9a?”, Mike asked. Bernd looked a little puzzled which made Mike check the project outline again.
In their short detective story Tom, Valentin, Heinrich and Gunnar each play one of the roles (drug squad officer, homicide detective, whistleblower and forensic expert) in different locations (Chemnitz, Erlenbach, Bamberg and Waldshut). Their names are Adler, Baer, Drossel and Eber. Who plays which role and where are the six film located. - 6 blue points
The forensic expert is played by Gunnar, whose character's name is not Drossel and whose film is not set in Waldshut.
The whistleblower is based im Bamberg.
Heinrich doesn't play the drug squad officer.
Drossel is active in Erlenbach. Tom on the other hand is neither acting in Erlenbach nor in Waldshut.
The homicide detective is named Adler.
Eber is not based in Chemnitz.

Now to some details of the whistle blower episode:
In the home of the suspect there are three boxes on a table (A,B,C,D and E). On Sunday all of them were empty. However, this was about to change (Monday, Tuesday, … , Friday). On each of these days one of the boxes got filled with a certain amount of money (40, 60, 75, 100 and 150 Euros). When were the boxes filled with what amount of money? - 6 red points
The 100 Euros were put into a box one day after the 150 Euros.
The 75 Euros were put into a box two days after box C was filled.
Box E contained more than box D and more than Wednesday's money.
Both box D and the box filled on Wednesday contained more than the box filled on Friday.
Box A got filled one day before box D even though there was more money in D than in A.
Lösung/solution:
Tom spielt einen Informanten namens Eber in Bamberg
Valentin ist Drogenfahnder Drossel in Erlenbach
Heinrich ist Kommissar Adler in Waldshut
Gunnar Gerichtsmediziner Bär in Chemnitz
rot:
Montag 150 in E
Dienstag 100 in C
Mittwoch 60 in A
Donnerstag 75 in D
Freitag 40 in B

Aufgabe 2.

398. Wertungsaufgabe

„Hallo Maria, was machst du da?“, fragte Bernd seine Schwester. „Ich habe eine schnelle Aufgabe für zwischendurch.“ "Zeig mal,bitte.“ In einem Dreieck gibt es drei verschieden große Winkel. Der mittlere Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste. Der größte ist dreimal so groß wie der kleinste. Wie groß sind die drei Winkel? 2 blaue Punkte. Wie groß sind die Seiten des Dreiecks, wenn die kürzeste Seite 4,5 cm lang ist? (3 rote Punkte, wenn die Aufgabe konstruktiv gelöst wird. Für die rechnerische Lösung gibt es 5 rote Punkte. Wird beides gemacht, zählt die „Höherwertige“.)


Termin der Abgabe 27.06.2013. Deadline for solution is the 20th. june 2013.
398
“Hi Maria, what are you doing”, Bernd asked his sister.
“I've got a quick problem in between.”
“Show me, please.”
In a triangle there are three angles of different size. The medium one is twice as big as the smallest one. The biggest is three times as big as the smallest. What are the sizes of the different angles? - 2 blue points
How big are the sides of the triangle, if the shortest is 4.5 cm? (3 red points if your solution is found by constructing, if calculated there'll be 5 red points. If you do both you'll get whatever is more.)
Lösung/solution:
blau. Bezeichnet man den kleinsten Winkel mit x, so lässt sich folgende Gleichung aufstellen x + 2x + 3x = 180°. Damit ergibt sich x zu 30°. Die Winkel sind 30°, 60° und 90° groß.
Mit Hilfe der Winkelbeziehungen im Dreieck ergeben sich für die fehlenden Seiten die Werte 9 cm, und 7,9 cm.

Aufgabe 3

399.Wertungsaufgabe
„Hallo Lisa, für wen packst du denn die würfelförmige Kiste?“, fragte Maria. „Da ist ein Geschenk für Mike drin. Der hat übermorgen Geburtstag. So, jetzt schneide ich noch das Geschenkband auf die richtige Länge.“ Wie lang muss das Band mindestens sein, wenn der Würfel 20 cm groß ist und Lisa das Band kreuzweise in Diagonalenform über alle Eckpunkte legt. 4 blaue Punkte. In der Schachtel befinden sich zwei gleiche zehnseitige Pyramiden. Die Grundflächen sind magnetisch, so dass sie zu einem Körper zusammengesetzt werden können (wie bei einem Okataeder). Wie viele Raumdiagonalen hat der zusammengesetzte Körper. (Magnetflächen werden hier ignoriert.). 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 04.07.2013. Deadline for solution is the 4th. july 2013.
399
“Hi Lisa, who are you wrapping this cube shaped box for?”, Maria asked.
“It's a present for Mike. It's his birthday the day after tomorrow. Now I've only got to cut the ribbon to length.”
How long does the ribbon have to be at least if the cube is 20cm and if Lisa ties the ribbon diagonally over the corners. - 4 blue points
Inside the box are two identical ten-sided pyramids. Their bases are magnetic so they can be combined to form one solid (similar to an Octahedron). How many space diagonals does the combined solid have (ignore the magnetic bases). - 4 red points.
Lösung/solution:
rot: Die Anzahl der Raumdigonalen, entspricht der Anzahl der Diagonalen des Zehnecks (35) und der Diagonale von der Spitze zur Spitze. Es sind also insgesamt 36 Raumdiagonalen.
blau: Hier sind zwei Varianten denkbar: 1. vier Diagonalen, zum Beispiel oben und unten, dazu die vier Kanten, die nach oben führen, dann kommt man auf 1993, 1 cm.
2. Es dürfen nur Diagonalen verwendet werden., dann sind es rund 340 cm.

Aufgabe 4

400.Wertungsaufgabe


400

Hallo Mike, was hast du denn für ein interessantes Bild vor dir?“, fragte Bernd. „Das solltest du kennen, es ist Keplers Modell unseres Sonnensystems aus seinem Buch Mysterium Cosmographicum.“ Der Aufbau des Bildes: Die Merkurbahn wird auf eine Kugel gelegt. Diese Kugel wird zur Innenkugel eines Okataeders. Auf der das Oktaeder einschließenden Kugel liegt die Venusbahn. Diese Kugel ist die Innenkugel eines Ikasoeders. Um dieses Ikasoeder liegt die Kugel mit der Erdbahn, die gleichzeitig die Innenkugel eines Dodekaders ist. Um dieses Dodekaeder liegt die Kugel mit der Marsbahn, die als Innenkugel eines Tetraeders aufgefasst wird. Dieses Tetraeder wird von einer Kugel eingeschlossen, auf der die Jupiterbahn liegt, die als Innenkugel eines Würfels aufgefasst wird. Um den Würfel herum kommt zum Schluss noch die Saturnbahn auf einer Kugel.
Für die Schule von Bernd, Mike, Lisa und Maria soll dieses Gebilde als Modell gebaut werden, wobei alle Körper eine Wandstärke von 2 mm haben sollen. Das Material ist ein durchsichtiger Kunststoff mit der Dichte von 1,4 g/cm³.
Wie schwer wäre der Würfel, wenn dessen Außenmaß 120,00 cm groß ist? - 4 blaue Punkte.
Welche Abmessungen haben die anderen Teile des Modells und wie schwer ist es insgesamt? Weil es die 400. Wertungsaufgabe ist sind 30 rote Punkte möglich.


Termin der Abgabe 29.08.2013. Deadline for solution is the 29th. august 2013.



400
 “Hi Mike, that's an interesting picture you've got in front of you”, Bernd said.
“You should know this. It's Kepler's model of the solar system from his book Cosmographicum.”
Here is what the picture shows: The orbit of Mecury is fixed on a sphere. This sphere is the the inscribed sphere of an octahedron. The circumscribed sphere of the octahedron holds the orbit of Venus in place. It is also the inscribed sphere of an icosahedron of which the circumscribed sphere is where planet Earth orbits. It is also the inscribed sphere of a dodecahedron. Around the dodecahedron you find a sphere that holds the orbit of Mars and also functions as the inscribed sphere of a tetrahedron. The circumscribed sphere of this solid is where Jupiter orbits and also the inscribed sphere of a cube. Finally the circumscribed sphere of this cube keeps Saturn's orbit in place.
This model is to be made for the school of Bernd, mike, Lisa and Maria. All the solids will have a thickness of 2 mm. The material will be transparent plastic with a density of 1.4 g/cm³. What would be the weight of the cube if it was 120 cm big. - 4 blue points
What measurements would the other parts of the model have and how heavy would the model be all in all? - 30 red points are possible because it's the 400th problem.
Lösung/solution:

--> als pdf <--

Aufgabe 5

401. Wertungsaufgabe
„Hallo Lisa, was guckst du so verzweifelt auf dein Koordinatensystem?“, fragte Mike. „Ich bin nicht verzweifelt, sondern einfach nur am Überlegen. Ich habe eine Funktion eingetragen y = 2x -2 und dazu einen Punkt P (4; 1). Ich bestimme nun den Abstand von P zum Bild der Funktion.“ Wie groß ist der Abstand zwischen der Geraden und P? - drei blaue Punkte.
6 rote Punkte für die Herleitung eines Verfahrens der Abstandsbestimmung irgendeiner Geraden (Bild von y =mx +n) und eines Punktes P in einem Koordinatensystem.

Termin der Abgabe 05.09.2013. Deadline for solution is the 5th. september 2013.

401
“Hi Lisa, why are you looking at your coordinate system so desperately?”, Mike asked.
“I'm not desperate, I'm simply thinking. I entered a function y=2x – 2 and a point P(4;1). Now I'm calculating the distance between point P and the graph.”
What is the distance between the line and the P? - 3 blue points
6 red points for a general algorithm to determine the distance of any straight line (graph of y=mx+n) and any point P in a coordinate system.

Lösung/solution:

-- als pdf <--

Aufgabe 6

402. Wertungsaufgabe
„Hallo Maria, ausgehend von der vorletzten Aufgabe, habe ich mir die geostationären Satelliten vorgenommen“, sagte Bernd. „Was ist ein geostationärer Satellit?“ „Das ist ein Satellit, der eine Umlaufzeit von 24 Stunden hat und somit über einem Punkt der Erde still zu stehen scheint. Die Bahn ist kreisförmig und befindet sich 35 786 km über der Erdoberfläche“.
Blau: Wie schnell ist ein geostationärer Satellit? 4 blaue Punkte.
Könnte man für eine geplante Mondstation auch einen solchen Satelliten installieren, also einen lunarstationären Satelliten? Wie groß, falls es ginge, müsste der Bahnradius sein? Oder ist das vielleicht doch nicht möglich? 6 rote Punkte (Mond wird als ideale Kugel gesehen. d = 3476 km,
Siderische Rotation 27,322 Tage, Masse 7,349 · 10²²kg)

Termin der Abgabe 12.09.2013. Deadline for solution is the 12th. september 2013.

“Hi Maria, the problem befor the last one made me dig into the topic of geostationary satellites.” Bernd said. “What do you mean by geostationary satellite?” “It's a satellite whose orbit around the earth takes exactly 24 hours and thus seems to be fixed above a certain position of the planet.” Its orbit is circular and the satellite is 35 786 km above the Earth's surface. >How fast is such a geostationary satellite? - 4 blue points Would it be possible to install a satellite like this to support a base on the moon, a lunarstationary satellite as it were? How big – if at all possible – would the radius of the orbit have to be? Is it possibe? - 6 red points (Consider the moon to be an ideal sphere. Diametre: 3476km, Sideric rotation 27.322 days, mass: 7.349 · 10^22 kg)

Lösung/solution:

Lösung von Felicitas und Thomas G., danke -->als pdf<--

Aufgabe 7

403. Wertungsaufgabe
„Wie hast du denn das Bild in das Quadrat gezaubert?“, fragte Bernd. „Das ist mit Geogebra gar nicht so schwer, das kann ich dir mal zeigen, wenn etwas mehr Zeit ist, jetzt geht es erst einmal um den Flächeninhalt des Bildausschnittes“, meinte Mike. Das Quadrat ABCD hat eine Kantenlänge von 10 cm. Die rötlichen Dreiecke sind alle rechtwinklig. Die kürzeren Katheten dieser Dreiecke sind alle gleichlang und zwar 3 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt des Bildausschnittes? 3 blaue Punkte. Welche Länge müsste für diese Katheten gewählt werden, damit der Flächeninhalt des Bildausschnittes genau 50 cm² groß wird? 3 rote Punkte

 Bild groß. picture enlarge

Termin der Abgabe 19.09.2013. Deadline for solution is the 19th. september 2013.

“How did you manage to put the picture into the square?”, Bernd asked.

“It's not a problem if you use GeoGebra, I can show you if we have time. Right now I'm trying to calculate the area of the image section”, Mike said.

The square ABCD's edges are 10 cm. The reddish triangle are all rectangular. The shorter of the catheti all have the same length: 3 cm. What area is the image section? - 3 blue points

How long would these catheti have to be in order to get an image section of 50 cm²? - 3 red points

Lösung/solution:

Komplette Lösung von Linus, danke --> als pdf <--

Aufgabe 8

404. Wertungsaufgabe

„Ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren, ist ja nicht gerade schwer", meinte Bernd. „Das habe ich ja auch schon lange fertig“, antwortete Mike. „Ich überlege gerade, wie ich ein zweites gleichseitiges Dreieck in mein großes einfügen kann, so dass alle Seiten des kleinen Dreiecks den gleichen Abstand zu den Seiten des größeren Dreiecks haben“.
Gegeben ist das große gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a = 10,0 cm. Gesucht ist ein verkleinertes gleichseitige Dreieck,dessen Seiten einen Abstand von 2,0 cm vom großen Dreieck haben. Die Aufgabe ist konstruktiv zu lösen. Für die Konstruktionsbeschreibung gibt es 4 blaue Punkte. Für die Berechnung (keine Messwerte verwenden) der Flächeninhalte beider Dreiecke gibt es 5 rote Punkte.

Termin der Abgabe 26.09.2013. Deadline for solution is the 26th. september2013.

“It's not exactly hard to construct an equilateral triangle”, Bernd said. “I know that and I'm already finished with it”, Mike answered. “I'm now thinking of how to insert a second equilateral triangle within the first one so that all sides are the same distance from the bigger one.”
Let the big triangle have sides a = 10,0 cm. Find a smaller triangle whose sides are 2 cm from the big triangle. Solve the problem by constructing it. Describe your construction – 4 blue points
For the calculation of the areas of both triangles (no measured lenghts) you'll get 5 red points.

Lösung/solution:

Die Lösung der Aufgabe bei "blau" erforderte eine Konstruktionsbeschreibung - die aber nicht alle Einsender mitgeliefert haben.

Die einfachste Variante der Berechnung der Flächeninhalte ließ sich mittels der Formel zum Innenkreis des Dreiecks realsieren.

Die Lösung hier mal noch als GeogebraVariante: --> 404.gbb <--

Aufgabe 9

405. Wertungsaufgabe

„Schau mal, was ich für eine merkwürdige Zahlenfolge gefunden habe“, sagte Lisa zu Mike. Mike staunte. „Lässt sich die Folge 1; 2; 3; 4; 29; 126; 367; mit einer einzigen Formel gewinnen?“, fragte er zweifelnd. „Ich habe das irgendwo mal gelesen;“gab Lisa zurück, „aber wie das genau war, weiß ich leider nicht mehr.“ Mit welcher Formel lässt sich die obige Zahlenfolge ermitteln und wie würde die nächste Zahl der Folge heißen? (4 rote Punkte) Für 4 blaue Punkte ist die nächste Zahl dieser
Folge zu ermitteln: 3; 14; 39; 84; 155; 258; (Begründung nicht vergessen)

Termin der Abgabe 03.10.2013. Deadline for solution is the 3th. october 2013.

"Look what a strange numerical sequence I've found", Lisa said to Mike. Mike was quite astonished. "Can you really get the sequence 1; 2; 3; 4; 29; 126; 367 with a single formula?", ha asked doubtfully.
"I've read that somewhere," Lisa said, "but I don't remember exactly how it worked." What formula roduces the sequenve above and what would the following number be? (4 red points)
For 4 blue points find the following number of this sequence: 3; 14; 39; 84; 155; 258 (explain)

Lösung/solution:

Die Lösung zu blau und rot kann man der Tabellenkalkulation entnehmen. Die Lösung von rot mit Start bei n=0, wurde von Astrid F. gefunden, danke -->405.ods <-- In der Datei gibt es dann noch ein Beispiel für eine Folge, die mit mit 1, 2, 3 , 10 beginnt und dannt "explodiert".

Eine zweite Variante eines Lösungsweges zeigte stellvertretend für andere auch, die Variante von Frederike M, danke --> pdf <--

Aufgabe 10

406. Wertungsaufgabe
„Ich habe einen Zauberkreis entdeckt“, sagte Maria zu Bernd, nachdem sie ganz aufgeregt in dessen Zimmer gestürmt war. „Liebste Schwester“, beruhigte er sie, „dann zeig doch mal.“ „Da schau“. In einem Koordinatensystem hatte Maria die Punkte A (0; 1), B (0; 0), C (6; 0) und D (6; 5) eingetragen. Der Mittelpunkt des Zauberkreises, der durch A und D verlief, lag genau zwischen A und D.

Welche Koordinaten hat der Mittelpunkt des Zauberkreises und wie groß ist dessen Radius? - 3 blaue Punkte.
„Was ist denn nun das Zauberhafte an dem Kreis?“ Durch den Punkt D verläuft das Bild der Funktion y =x² – 6x + 5. Der Punkt D hat also die Koordinaten (-p; q). Ermittle die Koordinaten der anderen Schnittpunkte des Kreises und der Funktion. (zeichnerisch – 3 rote Punkte oder rechnerisch – 6 rote Punkte).  Die gemeinsamen Punkte von Kreis und Normalparabel gibt es immer, wenn D mit D (-p; q) eingetragen wird und p²/4 – q größer oder gleich Null gilt.

Termin der Abgabe 10.10.2013. Deadline for solution is the 10th. october 2013.

406
Look, I found a magic circle", Maria said to Bernd after she'd rushed into his room exitedly.
"My dear sister", he said in a soothing manner, "why don't you show me?”
"Look, here it is".
In a coordinate system Maria had marked the following points: A (0; 1), B (0; 0), C (6; 0) and D (6; 5). The centre of the magic circle was exactly between A and D, which were also part of the circle. Which coordinates does the magic circle have and what is it's radius? - 3 blue points
“What exactly is magical in your circle?”
The graph of the function y=x² – 6x + 5 passes right through point D. Point D has thus the coordinates (-p; q). Find the coordinates of the other points of intersection of the circle and the function. (graphically – 3 red points or by way of calculation – 6 red points).
There will always be points of intersection of circle and parabola if point D has the coordinates (-p; q) and p²/4 is greater or equal zero.

Lösung/solution:

Die Lösung ist im --> Mathelexikon <-- nachvollziehbar.

Aufgabe 11

407. Wertungsaufgabe
„Was grübelst du denn?“, fragte Lisa. Mike saß vor einem Quadrat und markierte darin einen Punkt.  „Schau mal, wenn ich irgendwo einen Punkt in das Quadrat setze und die Abstände des Punktes zu allen Seiten messe, die vier Ergebnisse dann addiere, dann erhalte ich immer die gleiche
Summe.“ Wie groß ist die Summe der Abstände in einem 10 cm großen Quadrat (2 blaue Punkte) Warum gilt das für jeden Punkte in einem Quadrat? (+ 2 blaue Punkte). Wenn Mike einen Punkt in ein regelmäßiges Sechseck setzt und die sechs Abstände addiert, ergibt sich die Frage, ob die  Summe der Abstände auch immer gleich ist. Wie lässt sich die Frage für ein regelmäßiges Sechseck mit der Kantenlänge a beantworten? (vollständige Herleitung 6 rote Punkte)

Termin der Abgabe 17.10.2013. Deadline for solution is the 17th. october 2013.

407
“What are you pondering?”, Lisa asked.
Mike sat in front of a square and marked a point right inside it. “Look, if I mark a point somewhere inside the square and then measure the distances to each side and then add them up I'll always get the same sum.”
What's the sum of the four distances in a 10 cm square? - 2 blue point. Why is this true for any point inside the square? - +2 blue points.
I Mike marked a point inside a regular hexagon and added the six distances would the sum be constant as well? Answer the question for a regular hexagon with an edge length of a. - 6 red points for a full explanation.

Lösung/solution:

Hier mal die allgemeine Variante der Lösung, In die Formeln muss dann lediglich der WErt a = 10 cm eingegeben werden.
http://www.matheraetsel.de/texte/viviani-allgemein-main.pdf

Aufgabe 12

408. Wertungsaufgabe
Du hast ja viele Drehpotenzen auf deinem Zettel“, meinte Bernd zu Maria. Drehpotenz steht hier für a^b und eben b^a. „Ja, das stimmt. Ich suche eine Drehpotenz, die den selben Wert hat, also a^b =b^a. Es soll eine geben.“ Finde eine solche Drehpotenz. 2 blaue Punkte.  Wie lässt sich nachweisen, dass es nur eine einzige „Drehpotenz“ größer 1 gibt?  (a verschieden b) 6 rote Punkte

Termin der Abgabe 07.11.2013. Deadline for solution is the 7th. november 2013.

408
“You've got a lot of rotating powers on your paper”, Bernd said. Rotating powers means  a^b and b^a.
“Yes, that's right. I'm looking for a rotating power that is equal, so a^b = b^a. There's supposed to be one.”
Find such a rotating power. - 2 blue points
Show that there is only one such rotating power >1 (a ≠b ) - 6 red points

Lösung/soluton:

Die blaue Lösung war nicht so schwer: 2⁴ = 4² = 16

Die rote Aufgabe hatte es in sich.  a^b = b^a Eine koplette Lösung stammt von XXX, danke.
Die Untersuchung führt auf die Nullstellen von: y = a^x - x^a-->Lösung als pdf<--

Auswertung Serie 34 (blaue Liste)