Serie 36

Serie 36

Aufgabe 1

421. Wertungsaufgabe

Bernd traf sich mit seinen Freunden aus der Grundschulzeit. Ging es zuerst um die „alten Zeiten“, so standen die Aufregungen um die bevorstehenden Prüfungen bald im Mittelpunkt.
Die Freunde heißen Mia, Matteo, Feli, Gunnar und Maria. Alle haben im März Geburtstag (4., 6., 8. 10. und 12. März.) Wenn Sie am Wochenende Hausaufgaben erledigen, dann beginnen sie zu verschiedenen Zeiten – am Morgen, am Vormittag, am Mittag, am Nachmittag bzw. am Abend.
Jeder der 5 hat ein anderes Lieblingsfach: Mathematik, Physik, Sport, Biologie bzw. Chemie.
Das Mädchen mit dem Lieblingsfach Biologie - es ist nicht Feli – beginnt nicht am Morgen mit dem Lernen.
Einer/eine aus dem Freundeskreis mit dem Lieblingsfach Mathematik beginnt immer abends zu lernen und hat zwei Tage später Geburtstag als der jüngste Junge.
Der /die am 6. März Geburtstag hat. beginnt nicht am Mittag.
Das Geburtstagskind vom 10. März beginnt am Nachmittag.
Gunnar, der zwei Tage älter ist als Maria, beginnt immer am Vormittag. Gunnars Lieblingsfach ist nicht Sport.
Das Geburtstagskind vom 8. März hat als Lieblingsfach Chemie.
Stelle die Namen, Geburtstagstage, Lieblingsfächer und Lernzeiten zusammen. 6 blaue Punkte
Mia, Matteo, Feli, Gunnar und Maria nahmen an einer Vorprüfung im Fach Mathematik teil. Jede Vorprüfung (mit 5 Aufgaben) wurde von einem anderen Lehrer entworfen – Herr Elbling, Herr Hase, Herr Meier, Herr Baum bzw. Herr Kurt. Jeder der Schüler saß in einem anderen Zimmer (1, 2, 3, 4, 5) und hatte bei jeweils einer der 5 Aufgaben Fehler gemacht. (Im Folgenden wird der Begriff Schüler auf die Jungen oder Mädchen gleichermaßen bezogen).
Maria wurde nicht von Herrn Baum geprüft.
Gunnar hatte die Aufgabe 1 falsch.
Feli saß im Zimmer 1. Ein anderes Mädchen saß in Zimmer 3.
Im Zimmer 4 saß ein Schüler mit einem Fehler bei Aufgabe 3, aber das war nicht Matteo.
Der Schüler von Herrn Meier machte den Fehler bei Aufgabe 2.
Mia schrieb die Arbeit von Herrn Kurt. Einer der Jungs schrieb den Test von Herrn Hase.
Der Schüler von Herrn Elbling saß in Zimmer 5.
Der Schüler von Herrn Baum, aber auch der Schüler, der in Zimmer 2 war, machten keinen Fehler bei Aufgabe 4.
Stelle zusammen, Name des Schülers, des Lehrers, die Aufgabennummer und die Zimmernummer. - 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 06.03.2014. Deadline for solution is the 6th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 06.03.2014.

Bernd incontrò con i suoi amici che frequentavano con lui la scuola elementare. Dopo essersi scambiati i ricordi dei “vecchi tempi”, ben presto si cominciò a incentrare le emozioni degli imminenti esami.
Gli amici si chiamano Mia, Matteo, Feli, Gunnar e Maria. Tutti quanti compiono gli anni a Marzo (4.,6.,8.,10. e 12. Marzo. Se il fine settimana completano i loro competi iniziano tutti ad un orario differente – di mattino, prima dell´ora di pranzo, per l´ora di pranzo, di pomeriggio e di sera. Ognuno dei cinque ha una materia preferita diversa: la matematica, la fisica, l´educazione fisica, la biologia e la chimica.
La ragazza a cui piace la biologia – non è Feli – non inizia di mattino a studiare.
Uno/una del giro di amici con la preferenza per la matematica inizia a studiare sempre di sera e compie gli anni due giorni dopo il più giovane ragazzo del gruppo.
Colui/colei che compie gli anni il 6. Marzo non inizia (a studiare) per l´ora di pranzo.
Il festeggiato/-a del dieci Marzo inizia di pomeriggio.
Gunnar, che è più grande di Maria di due giorni, inizia sempre prima dell´ora di pranzo.
La materia preferita di Gunnar non è educazione fisica.
Il festeggiato/-a dell´otto Marzo ha come materia preferita chimica.
Raggruppa i nomi, compleanni, materie preferite e gli orari di studio. 6 punti blu.

Mia, Matteo, Feli, Gunnar e Maria parteciparono ad un preesame di matematica. Ogni preesame (con cinque esercizi) è stato impostato da un professore diverso- dal Professor Elbling, dal Professor Hase, dal Professor Meier, dal Professor Baum e dal Professor Kurt. Ogni scolaro stava seduto in un’aula differente (1,2,3,4,5) e ha commesso errori in diversi dei cinque esercizi. (Di seguito il termine “scolaro” sarà usato sia per i ragazzi che per le ragazze).
Maria non è stata esaminata dal Prof. Baum.
Gunnar ha sbagliato l´esercizio 1.
Feli stava seduta nell´aula 1. Un´altra ragazza sedeva nell´aula 3.
Nell´aula 4 stava seduto uno scolaro con un errore nel terzo esercizio, che però non era Matteo.
Lo scolaro del Prof. Meier ha sbagliato nel secondo esercizio.
Mia è stata esaminata dal Prof. Kurt. Uno dei ragazzi è stato esaminato dal Prof. Hase.
Lo scolaro del Prof. Elbling sedeva nell´aula 5.
Lo scolaro del Prof. Baum, ma anche lo scolaro che sedeva nell´aula 2, non hanno sbagliato l´esercizio 4.
Raggruppa il nome dello scolaro, del professore, i numeri degli esercizi e delle aule.- 6 punti rossi.

 421 logic puzzle
Bernd met with his friends from primary school. First they did a bit of reminiscing, but soon they were discussing the upcoming final exams.
The friends are: Mia, Matteo, Feli, Gunnar and Maria. Strangely all of their birthdays are in March (4th, 6th, 8th, 10th and 12th of March). When doing their homework at the weekend they each start at different times: in the early morning, before noon, at noon, in the afternoon or in the evening. Each one of them has their favourite subject: Maths, Physics, PE, Biology and Chemistry.
The girl whose favourite subject is Biology is not Feli and does not start studying early in the morning.
On of the friends likes Maths and always starts studying in the evening. His birthday is two days after the youngest boy's birthday.
The student whose birthday is at the 6th of March never starts studying at noon.
The birthday child of March 10th starts doing homework in the afternoon.
Gunnar, who is two days older than Maria, always starts before noon.
Gunnar's favourit subject isn't PE.
The student whose birthday is on the 8th of March likes Chemistry more than any other subject.
What are the student's birthdays, favourite subjects and study times? - 6 red points
Mia, Matteo, Feli, Gunnar and Maria took a pre-exam in Maths. Each of the pre-exams (5 questions each) was made by a different teacher – Mr Elbling, Mr Hase, Mr Meier, Mr Baum and Mr Kurt. Each of the students sat in a different room (1, 2, 3, 4, and 5) and made a mistake in exactly one of the 5 questions.
Maria didn't take Mr Baum's exam.
Gunnar made a mistake at question 1.
Feli was in room 1. Another girl was in room 3.

The student in room 4 didn't solve question 3 correctly, but it wasn't Matteo.
Mr Meier's student made a mistake in number 2.
Mia solved Mr Kurt's exam.
One of the boys took Mr Hase's exam.
Mr Elbling's student sat in room 5.
Mr Baum's student didn't make a mistake in number 4 and neither did the student in room 2.
Put together: student, exam, question and room. - 6 red points

Lösung/solution:

Lösung von Marie-Sophie, danke:

Aufgabe 2

422. Wertungsaufgabe

„Was hast du da?“, fragte Lisa. „Das sind Zeichnungen für eine Uhr.“, antwortete Mike. „Bernd und ich haben überlegt, eine Uhr zu bauen, die keine Zeiger hat. Es gibt drei gleiche Kreisscheiben (r = 50 cm). Die an der Wand montierte Scheibe ist weiß. Dann kommt eine Glasscheibe mit einer  grünen  Ying-Yang-Zeichnung für die Stunden.(Der Punkt H an der Spitze zeigt die Stunden an.) Über den beiden Scheiben dreht sich eine Glascheibe mit  einer  rotenn Ying-Yang-Zeichnung für die Minuten. (Der Punkt M an der Spitze zeigt die Minuten an.) Du siehst hier die Ansichten für 13.00, 14.00 und 16.00 Uhr.“
„Das gefällt mir“, sagte Lisa ganz begeistert.

Meist gibt es also einen Anteil der weißen Kreisfläche, einen Anteil der nur grünen Ying-Yang-Zeichnung, einen Anteil der nur roten Ying-Yang-Zeichnung und einen Anteil, beim dem das rot einen Teil der grünen Ying-Yang-Zeichnung überdeckt. Gib zwei Zeiten an, bei denen keine weiße Fläche zu sehen ist. (1+3) blaue Punkte.Wobei z.B so etwas wie 15.00 Uhr und 3.00 Uhr nicht als verschieden gilt. Wie groß sind die Anteile der vier Flächenvarianten um 15.00 Uhr bzw. um 16.00 Uhr (2 + 6 rote Punkte)

Termin der Abgabe 13.03.2014. Deadline for solution is the 13th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 13.03.2014

“Cosa hai lì?”, chiese Lisa. “Sono disegni per un orologio.”, rispose Mike. “Bernd ed io abbiamo pensato di costruire un orologio, che non ha frecce. Ci sono tre piattaforme cerchiate identiche (r=50 cm). La piattaforma montata sulla parete è bianca. Poi viene una piattaforma vetrata con un disegno verde Ying-Yang per le ore. (Il punto H alla punta indica le ore). Sopra le due piattaforme si gira un´altra piattaforma con un disegno Ying-Yang color rosso per i minuti. (Il punto M alla punta indica i minuti). Vedi qui le indicazioni per le ore 13.00, 14.00 e 16.00.”

“Questo mi piace”, disse Lisa entusiasta.

Spesso si vede allora una percentuale/ quota della piattaforma bianca, una quota solo del disegno Ying-Yang verde, una quota solo del disegno rosso Ying-Yang e una quota, nella quale il disegno rosso copre una parte del disegno verde Ying-Yang. Indica due tempi, in quali non si vedono piattaforme bianche. (!13.00 <>1.00) (1+3 punti blu). Quanto sono grandi le quote delle varianti d´area alle 15.00 resp. alle 16.00? (2+6 punti rossi)

“What have you got there?”, Lisa asked.
“These are drawings for a clock”, Mike answered. “Bernd and me plan to make a clock without hands. It consists of three equal disks (r = 50cm). The disk that will be mounted on the wall is white. Then there is a disk made of glass with a green Yin-Yang symbol to mark the hours. (Point H at the tip marks the hours.) Another glass disk showing a red Yin-Yang symbol rotates on top of both disks to show the minutes. (Point M marks the minutes.) Here you can see the constellations for 1 o'clock, 2 o'clock and 4 o'clock.”

“I really like this”, Lisa said exited.
Usually there is the following to be seen: a part of the white area, a part of the green-only Yin-Yang symbol, a part of the red-only Yin-Yang symbol and a part where the red symbol covers a part of the green symbol. Give two times at which there is no white area to be seen. (But, 13.00 <>1.00) - 1+3 blue points.
How big are the parts of each of the four variants of visible areas at 3 o'clock and at 6 o'clock? - 2+6 red points

Lösung/solution:
blau: 6.00 Uhr (oder 18.00 Uhr) ist einfach. Für die den zweiten Teil gilt folgende Überlegung. Zwischen 6.00 Uhr und 18. Uhr triit der Fall 11 mal auf. (Immer wenn, der Zeiger, ...) es ist also 1/11 Stunden nach um 7., 2/11 Stunden nach um 8. ...
rot: 15: Flächenverteilung 1/4, 1/4, 1/4, 1/4. Bei 16.00 Uhr 1/3, 1/6, 1/3 und 1/6.

Aufgabe 3

423. Wertungsaufgabe

„Ach, sitzt du wieder mal vor einem (rechtwinkligen) Koordinatensystem?“, fragte Mike. „Das siehst du doch", gab Bernd zurück. „Ich trage die Punkte A (-1; -1) und B (4; 4) ein und soll jetzt zum Einen die zwei Punkte durch eine Strecke verbinden, das ist einfach, aber auch durch eine nach oben offene Normalparabel.“
Wie lang ist die Strecke von A nach B? (Ermittlung durch Abmessen 2 blaue Punkte, wird gerechnet gibt es vier blaue Punkte.) Wie lang ist der Parabelabschnitt von A nach B? (5 rote Punkte)
Tipp zu rot. Wenn die Parabel die Gleichung  y = x²  hat, dann ist der Parabelbogen b von x = 0 bis x = a (a>0) so ausrechenbar:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

Termin der Abgabe 20.03.2014. Deadline for solution is the 20th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 20.03.2014.

“Ah, che ti stai occupando di nuovo di questo sistema di coordinate rettangolare?”, chiese Mike. “Si, lo vedi pure tu”, rispose Bernd. “Riporto i punti A (-1;-1) e B (4;4) nel sistema e devo unire da una parte i due punti con un segmento, che è facile, ma anche con una parabola normale aperta verso l´alto.”
Quant´è lungo il segmento dal punto A al punto B? (accertamento tramite misurazione, 2 punti blu, se si calcola quattro punti blu). Quant´è lunga la parte della parabola da A a B? (5 punti rossi).

Suggerimento per il rosso. Se la parabola ha l´equazione y=x², allora l´arco della parabola b di x=0 fino a x=a(a>0) è calcolabile a tal modo:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

“Are you sitting in front of a (rectangular) coordinate system again?”, Mike asked.
“See for yourself”, Bernd replied. “I mark points A(-1 ; -1) and B (4 ; 4) and now I have to do two things. First, I have to connect the two points by a straight line, which is trivial. Secondly, I have to connect them by a basic parabola that opens to the top.”
How long is the line segment AB? Length by measuring – 2 blue points, length by calculating – 4 blue points
How long is the parabola segment from A to B – 5 red points
Hint: If the parabola's equation is y = x² you may calculate the length of its arc from x=0 to x=a (a>0) using this formula:
{tex}b=\frac{a}{2}\cdot \sqrt {1 + 4a^2} + \frac{1}{4} \cdot ln (2a +  \sqrt {1 + 4a^2}){/tex}

Lösung/solution:

blau. Das lässt sich am elegantesten mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Die Punkte A, und B bilden mit dem Punkt C (4; -1) ein rechtwinkliges Dreick mit den Katheten AC = 5 cm und BC = 5 cm. Aus c² = a² + b² folgt c mit 7,07 cm.

rot. Die Normalform der Parabel lautet y=²+px+q
Punkt A --> -1 = (-1)² -1p +q
Punkt B --> 4 = 4² + 4p + q

Die Subtraktion beider Gleichungen führt auf -5 = -15 -5p --> p = -2 und mit 4 = 16 - 4*2 +q erhält man q = -4. Also die Parabel hat die Gleichung y = x² - 2x -4. In der Scheitelpunktsform führt das auf y = (x-1)² -5.
Diese Normalparabel ist bogenlängentechnisch genau so händelbar wie y =x².
Für den rechten Parabelast setze ich in die obige Gleichung eine 3 ein und für den linken Ast setze ich 2 ein. Das ergibt 9,474.. + 4,6467 ... = 14,39387 ...

Aufgabe 4

424. Wertungsaufgabe

„Wiederholst du gerade die Potenzgesetze?,“ fragte Mike. "Nein, nicht wirklich, aber dass x^0 für jedes x (ungleich 0) immer 1 ist, muss ich schon wissen“, antwortete Bernd. „Schau, unsere ehemalige Mathelehrerin hat uns dieses Rätsel mitgeteilt. x³ – x² – x¹ – x⁰ soll die aktuelle Jahreszahl 2014 ergeben und ich bin dabei, das x zu finden. Ich hoffe mal, es geht mit probieren.“ Für welches x gilt x³ – x² – x¹ – x⁰ = 2014 – 2 blaue Punkte
Ohne Taschenrechner ist die (Quadrat-)Wurzel aus 944784 zu ziehen. Für die Beschreibung eines Weges, diese spezielle Aufgabe wirklich im Kopf zu lösen, gibt es 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 27.03.2014. Deadline for solution is the 27th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.03.2014
“Are you revising the rules of exponentiation?” Mike asked.
“No, not really, but the fact that x⁰ = 1 for every x (not 0) is essential”, Bernd answered. “Look, our maths teacher set us this problem: x³ – x² – x¹ – x⁰ is meant to equal the number of the current year 2014 and I'm about to find x. I hope I can work it out by trial and error.”
For which x is x³ – x² – x¹ – x⁰ = 2014? - 2 blue points
Extract the square root of 944784 without using a calculator. Describe how to solve this task using mental calculation only. - 3 red points.

"Stai ripetendo le potenze?”, chiese Mike. “No, non proprio, che però x⁰ per ogni x (disuguale 0) sia sempre 1, lo dovrei sapere”, rispose Bernd. “Guarda, la nostra ex insegnante di matematica ci ha dato questo indovinello: x³-x²-x¹-x⁰ deve configurare l´attuale data 2014 e sono in procinto a trovare lo x. Spero che ci riuscirò provando.”
Per quale x vale x³-x²-x¹-x⁰=2014 – 2 punti blu.
Estraete senza calcolatrice la radice quadrata di 944784. Per la descrizione come risolvere questo esercizio particolare in testa, si danno 3 punti rossi.

Lösung/solution:

Für das Auffinden der Lösung, die auf eine natürliche Zahl führen soll, hilft das systematische Probieren:

x    x³-x²-x¹-x⁰
1    -2
2    1
3    14
4    43
5    94
6    173
7    286
8    439
9    638
10    889
11    1198
12    1571
13    2014
14    2533
15    3134
16    3823
17    4606
18    5489
19    6478
20    7579

Außerdem gibt es noch zwei komplexe Lösungen.

Für die rote Aufgabe gibt es mehrere Möglichkeiten. Z.B. die paarweise Zerlegung und damit verbunden das Wurzelziehen.: 94|47|84
Eine weitere Möglichkeiten ist die Nutzung der binomischen Formel: (1000 - x)² = 1 000 000 - 2000x + x², Die Million (1000²) wird verwendet weil die "kurz" vor der Million steht. Mit zwei drei Versuchen ist dann die Zahl leicht gefunden 972
Eine weitere Variante - wurde von den Einsendern aber nicht entdeckt- ist folgende:
944784= 16*59049 (da die Zahl auf 4 endet, muss die gesuchte Zahl gerade sein, als Faktor also die 4 oder eine fortlaufendendes Quadrat von 4 enthalten, die 59049 erhält man durch fortgesetztes Halbieren)
59049= 9*6561= 9*9*729=9*9*9*81=9*9*9*9*9 bietet sich durch die mehrfache Prüfung der Quersumme an.
--> Die Wurzel aus 944784=16 *9*9*9*9*9 ist dann 4 *3*3*3*3*3 = 12*9*9= 108*9=972

Aufgabe 5

425. Wertungsaufgabe

„Hallo Bernd, du spielst wieder mal mit den Bauklötzern, die du zu deinem dritten Geburtstag bekommen hast?“, fragte Bernds Mutter erstaunt. „Ich habe mir den großen roten Würfel (10 cm), den etwas kleineren blauen Würfel (9 cm), den grünen Würfel (8 cm) und den gelben Würfel (7cm) aus dem Baukasten genommen. Die stapele ich jetzt übereinander, so dass der jeweils kleinere immer auf der Mitte des unteren Würfels steht.“ „Das konntest du nach kurzem Üben auch schon damals“, meinte die Mutter.
Wie groß ist das Volumen des Würfelturmes und wie groß ist der Flächeninhalt aller sichtbaren Flächen. 5 blaue Punkte.
Welche Abmessungen müssten der blaue, der grüne und der gelbe Würfel haben, wenn von oben gesehen, der rote, blaue, grüne und gelbe Flächenanteil jeweils 25 % betragen soll? 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 03.04.2014. Deadline for solution is the 3th. April 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 03.04.2014.

 425
“Ciao Bernd, stai giocando di nuovo con le costruzioni che ti sono state regalate per il tuo terzo compleanno?”, chiese la madre di Bernd meravigliata. “Mi sono preso dalla scatola il grande cubo rosso (10cm), quello blu un po` più` piccolo (9cm), quello verde (8cm) e quello giallo (7cm).
Questi ora l´impilo uno sull´altro, cosicché ciascun cubo che `e più piccolo dell´altro stia sempre nel mezzo del cubo inferiore a lui.” “Questi lo sapevi fare dopo un po` di esercizio anche allora”, disse la madre. Quant´e` grande il volume del torre di cubo e quanto sono grandi le superficie di tutte quelle visibili? 5 punto blu.Quale misura dovrebbero avere il cubo blu, verde e giallo se, visto da sopra, la superficie rossa, blu, verde e gialla devono ammontare ciascuna 25%? 6 punti rossi.

 425
“Hi Bernd, again playing with the building blocks that you got for your third birthday?”, Bernd's mum inquired curiously.
“I only need four cubes. The big red one (10 cm), the slightly smaller blue cube (9cm), the green one (8 cm) and the yellow one (7 cm). I stacked them on top of each other so that the smaller ones sits exactly in the centre of the next bigger ones.”
“With a little practise you were able to do this even then”, his mum remarked.
What's the volume of the tower and what is the total of all visible areas. - 5 blue points
Which size would the blue, green and yellow cube have to be, if – when seen from the top - the red, blue, green and yellow part of the area should each be 25% of the total floor plan? - 6 red points

Lösung/solution:

blau Für das Gesamtvolumen musst man lediglich die Werte in V=a³ einsetzen und die Teilergebnisse addieren. Das führt auf 2584 cm³. Der sichtbare Teil der Oberfläche setzt sich aus je vier Seitenflächen (a²) zusammen und einmal 100 cm² , die man von oben erkennt. Das sind dann zusammen 1276 cm². Betrachtet man die Oberfläche als Ganzes, dann kommen die 100 cm² der Standfläche des Turmes noch dazu.

rot Eine vereinfachende Sicht ergibt sich beim Anblick von oben. Vier Farben --> 25 cm² pro Farbe, die man sieht. Ganz oben gelb a² = 25 cm² also Kantenlänge 5 cm. Unter dem gelben Würfel stehen 25 cm² grün über. Die Fläche von grün ist also 50 cm² groß. Aus a²=50 cm² folgt. a = 7,07 cm.
Der blaue steht wieder 25 cm² über --> A = 75 cm² --> a = 8,66 cm. Na ja der rote Würfel bleibt.

Aufgabe 6

426. Wertungsaufgabe

„Schau mal Lisa, eine süße Seite der Mathematik“, sagte Mike. „Sind das solche Tüten, die es zum Kaffee dazu gibt?“ „Stimmt genau.“
Welcher Würfel passt zum Netz oder ist der gar nicht dabei? 2 blaue Punkte
Es sind alle Lösungen für das Zahlenrätsel zu finden, falls es überhaupt welche gibt. Pro Lösung zwei rote Punkte.

Termin der Abgabe 10.04.2014. Deadline for solution is the 10th. April 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 10.04.2014.

426
Guarda Lisa, un lato dolce della matematica“, disse Mike. „Ma che sono di quelle buste, che si ricevono insieme al caffè?” “Esatto.”
Quale cubo si adatta alla rete, oppure non ci sta? 2 punti blu
Sono da trovare tutte le soluzioni per l´indovinello dei numeri, se ci sono. A soluzione due punti rossi.

 
426
“Lok, Lisa, a sweet side of mathematics”, Mike said. “Are these the sachets that you get with you coffee?” “Exactly.”
Which cube belongs to the net, if any? - 2 blue points
Find all solutions for the puzzle, if there are any. - 2 red points for each solution

Lösung/solution:
blau: Wer es nicht sieht, der sollte das Netz abzeichnen und falten. Dann merkt man es ist der Würfel drei.
rot: Die Aufgabe war alle Lösungen zu finden, das schließt letztlich ein, die "Vollständigkeit" zu zeigen - deshalb gab es bis zur 4 rote Punkte:
Die Lösung 000 + 000 + 000= 000 war eher nicht gemeint.
Die systematische Untersuchung für bbb 111; 222; ...; 999 zeigt, dass es nur eine Variante gibt.
111:3 = 037 --> 037 + 037 + 037 = 111 Widerspruch b=1=3
...

148 + 148 + 148 = 444

Aufgabe 7

427. Wertungsaufgabe

Hallo Mike, ist das nicht ein Bild von Archimedes?“, fragte Bernd. „Ja, aber mir geht es ganz konkret um die Aufgabe, die ich im Arkimedeion in Syrakus gesehen habe. Es ging darum, die Situation nachzustellen, wie Archimedes möglicherweise die Schiffe der Römer in Brand gesetzt haben könnte.“ „Hat er da nicht Parabolspiegel verwendet?“ „Nein, eher nicht. Wenn die Legende überhaupt stimmen sollte, so war das so, dass er mit ebenen Spiegeln eine Parabel angenähert hat. Das siehst du auf dem Bild.“

Wie groß müsste ein Halbkreis sein, wenn man 6 Strecken zu je 2 cm auf dem Halbkreisbogen lückenlos einzeichnen soll? (Gesucht ist der Radius, 6 blaue Punkte.) (Bei konstruktiver Lösung die Beschreibung nicht vergessen.)
8 rote Punkte gibt es für die Lösung dieses Problems: Das Schiff der Römer befindet sich „auf der y-Achse“ - Punkt (0; 5000 m). Archimedes nutzt 12 Spiegel zu je 10 m Länge um das Sonnenlicht (verläuft Parallel zur y-Achse) auf das Schiff zu richten. Gesucht ist eine passende Funktionsgleichung für eine solche „Archimedes-Parabel“. (01=1m) Die Spiegel müssen sich nicht berühren.

Termin der Abgabe 08.05.2014. Deadline for solution is the 08th. May 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 08.05.2014.

Ciao Mike, questa non è un´immagine di Archimede?”, chiese Bernd. “Si, però a me interessa concretamente il problema che ho visto nell´Archimedeion a Siracusa. Si trattava di come poter riscoprire il modo con quale Archimede, probabilmente mise fuoco alle navi romane.” “Ma non ha usato specchi parabolici?” “No, probabilmente no. Se la leggenda dovesse essere vera, allora sarà stato piuttosto così che ha avvicinato tramite specchi piani una parabola. Questo lo vedi sull´immagine.”

Quanto grande dovrebbe essere un emiciclo, se si dovessero segnare senza interruzione sull´arco dell´emiciclo 6 segmenti di 2 cm di lunghezza l´una? (Cercasi il raggio, 6 punti blu.) (In caso di soluzione positiva non è da dimenticare una descrizione.)

8 punti rossi si assegnano per la soluzione di seguente problema: La nave dei romani si trova “sull´asse delle ordinate” – punto (0;5000 m). Archimede usa dodici specchi, ciascuno lungo 10 m per rivolgere la luce solare (parallela all’asse delle ordinate) verso la nave. Richiesta è una funzione per tale “parabola di Archimede”. (01=1m) I specchi non si devono toccare.

427

“Hi Mike, isn't that a picture of Archimedes?”, Bernd asked.
“Yes, it is. But I'm more interested in the problem that was set in the Arkimedeion at Syracuse. It was about reenacting the setup that Archimedes allegedly used to set fire to the roman's ships.”
“He used parabolic mirrors, didn't he?”
“No, not likely. If there is at all some truth to that legend he used plane mirrors to approximate a parabola. You can see it in the picture.”

How big would the semicircle have to be in order to mark 6 line segments of 2 cm each on the arc? (Find the radius – 6 blue points. Don't forget a description of your construction when solving the problem with compass and ruler)
8 red points will be awarded for the solution to the following problem: The ship of the Romans are on the y-axis of a coordinate system at point (0; 5000 m). Archimedes is using 12 mirrors of 10m each to focus the sunlight (coming in parallel to the y-axis) on the ship. Find a function for an “Archimedian parabola”. (0-1 = 1m) The mirrors don't have to touch.

Lösung/solution:

Aufgabe 8

428. Wertungsaufgabe

„Hallo Mike, du bist ja immer noch bei den Bildern von Sizilien.“, sagte Bernd. „Natürlich, es war ja auch beeindruckend. Hier ist ein Bild mit dem Hera-Tempel in Agrigento.“
--> Bild groß <--
„Ich bin da einmal komplett herum gelaufen. Dabei gab es Stellen, da konnte ich durch die Zwischenräume zwischen den Säulen schauen, an anderen Stellen ging das nicht, aber ich kann mich nicht mehr genau erinnern, wo diese Durchblicke möglich waren und wo nicht.“
„Am besten du machst mal eine Skizze - einen Grundriss.“
In einem Koordinatensystem (01 = 1) sähe das so aus. Es sind Kreise mit dem Radius 1, deren Mittelpunkte liegen alle auf der x-Achse. Der erste Mittelpunkt ist bei (5; 0), der zweite Mittelpunkt ist bei (9; 0). Dann geht es immer im Abstand 4 bis zum 13. Kreis weiter. Der Beobachter bewegt sich auf der y-Achse.
Wohin muss sich der Beobachter von (0; 0) in positiver Richtung mindestens bewegen, damit er zwischen den ersten beiden Säulen (Kreisen) durchschauen kann? (Konstruktion oder Berechnung) 4 blaue Punkte.
Wohin muss sich der Beobachter von (0; 0) in positiver Richtung mindestens bewegen, damit er zwischen allen 13 Säulen (Kreisen) durchschauen kann? (Konstruktion oder Berechnung) 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 15.05.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 15.05.2014. Deadline for solution is the 15th. May 2014.

428

Ciao Mike, ti stai guardando ancora le immagini della Sicilia.”, disse Bernd. “Certamente, infatti era impressionante. Qui ho una foto del tempio di Era in Agrigento.”
--> Bild groß <--
L’ho girato intorno completamente. C´erano punti, da dove potevo vedere attraverso gli spazi della colonnata, da altri lati invece non andava, anche se non mi ricordo più bene dove queste viste erano possibili e dove no.”
Ti conviene fare un bozzetto – una pianta.”
In un sistema di coordinate(01=1) sembrerebbe così. Ci sono cerchi con il raggio di 1 che hanno i loro punti centrali sull´asse della ascisse. Il primo punto centrale si trova sul punto (5;0), il secondo sul punto (9; 0). Ad intervalli di 4 si prosegue così fino al 13° cerchio. L´osservatore si muove sull´asse delle ordinate.
In quale direzione positiva si deve muovere l´osservatore partendo da (0;0) come minimo per vedere attraverso le prime due colonne(cerchi)? (costruzione o calcolo) 4 punti blu.
In quale direzione positiva si deve muovere l´osservatore partendo da (0;0) come minimo per vedere attraverso tutte le 13 colonne (cerchi)? )? (costruzione o calcolo) 4 punti rossi.

428
“Hi Mike, you are still going over the photos from Sicily.”, Bernd remarked.
“Of course, it really was impressive. Look, this is a photo of the temple of Hera in Agrigento.”
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“I went all around it. There were spots where I could see through the gaps between the columns and there were spots where I couldn't, but I can't quite remember where it was possible to see through and where it wasn't.”
“It's probably useful to have a ground plan.”
In a coordinate system (01 = 1) it would look like this: There are circles with a radius of 1, whose centres are all on the x-axis. The first centre is at (5; 5), the second at (9; 0). Continue like this - with a distance of 4 between centres – up to the 13th circle. An observer moves along the y-axis.
Up to what point does the observer have to move (beginning at (0; 0) in a positive direction) before he can see through the gap between the first two columns? Constructive or analytical solution – 4 blue points.
Where does the observer has to move (beginning at (0; 0) in a positive direction) before he can see through the gaps between all 13 columns (circles)? Constructive or analytical solution – 4 red points.

Lösung/solution:

Hier die Lösung von Linus, danke --> als pdf <--

Aufgabe 9

429. Wertungsaufgabe

„Hallo Lisa, was grübelst du denn so verzweifelt“; fragte Mike. „Schau her. Ich habe hier ein Quadrat – 2 cm groß – und soll ein gleichseitiges Dreieck finden. Die Bedingungen sind, dass das Dreieck möglichst klein ist und dass das Quadrat in das Dreieck passt.“ „Verstehe“.
Für eine Konstruktion (Beschreibung nicht vergessen) oder eine Berechnung gibt es 4 blaue Punkte.
Wie groß muss ein gleichseitiges Dreieck sein, so dass 2 sich nicht überschneidende Quadrate hineinpassen. 3 rote Punkte bzw. drei solche Quadrate – noch mal 6 rote Punkte.

Termin der Abgabe 22.05.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 22.05.2014. Deadline for solution is the 22th. May 2014.

429

“Ciao Lisa, su cosa ti stai scervellando?”, chiese Mike. “Guarda qui. Ho un quadrato – grande 2 cm – e devo trovare un triangolo equilatero. Le condizioni sono che il triangolo deve essere il più piccolo possibile e che il quadrato centri nel triangolo.” “Ho capito”.
Per una costruzione (non da dimenticare una descrizione) oppure un calcolo si ricevono 4 punti blu.
Quanto grande deve essere un triangolo equilatero cosicché centrino due quadrati che non si incrociano? 3 punti rossi; per tre quadrati di questo tipo altri 6 punti rossi.

429
“Hi Lisa, what are you brooding about so desperately?”, Mike asked.
“Look, I've got a square – 2cm – and have to find an equilateral triangle which is to be as small as possible and still big enough to be around the square.”
“Understood.”
Construction (with description) or calculation – 4 blue points.
How big would an equilateral triangle have to be so as to accommodate 2 non-intersecting triangles? - 3 red points
Solve the same problem for 3 such squares – another 6 red points.

Lösung/solution:
Gezeigt werden hier jetzt nur die Bilder der Lösungen (enlarge picture). Es gab gute Zusendungen, in denen gezeigt wurde, wie man rechnet bzw. konstruiert. Die links zu sehende Lösung für drei Quadrate aber wurde nicht entdeckt. Dieses Dreieck ist kleiner wie das untersuchte Dreieck, welches rechts zu sehen ist.
Hat das Quadrat die Länge a, so gilt:
ein Quadrat: Seitenlänges des Dreiecks: (1 + 2/3*Wurzel(3))*a
zwei Quadrate: Seitenlänge des Dreiecks: (2 + 2/3 *Wurzel(3))*a
drei Quadrate: Seitenlänge des Dreiecks: (3/2 + Wurzel(3))*a

 Quelle der Aufgabe bzw. der Lösungen: Heinrich Hemme: Palasträtsel ISBN 978-3-86647-509-0 (tolles Buch)

Aufgabe 10

430. Wertungsaufgabe

„Die letzte Aufgabe mit den Dreiecken und Quadraten, fand ich richtig schön“, sagte Bernds Opa, der wieder mal zu Besuch war. „Da wird euch diese Aufgabe mit Quadraten und Kreisen sicherlich auch gefallen.“
In ein 10 cm großes Quadrat sind zwei möglichst große, sich nicht überdeckende Kreise einzuzeichnen. (Konstruktion oder Beschreibung – 3 blaue Punkte)
In ein 10 cm großes Quadrat sind drei möglichst große, sich nicht überdeckende Kreise einzuzeichnen. (Konstruktion oder Beschreibung – 4 rote Punkte)

Termin der Abgabe 29.05.2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 29.05.2014. Deadline for solution is the 29th. May 2014.

 “L´ultimo esercizio con i triangoli e i quadrati la trovavo veramente bella”, disse il nonno di Bernd, che ancora una volta era ospite da lui. “Allora anche il seguente problema con i quadrati ed i cerchi vi piacerà”.
In un quadrato grande 10 cm sono da segnare due cerchi con la massima grandezza possibile e che non si coprano. (Costruzione o descrizione – 3 punti blu).
In un quadrato grande 10 cm sono da segnare tre cerchi con la massima grandezza possibile e che non si coprano. (Costruzione o descrizione – 4 punti rossi).

430
“I really enjoyed this last problem concerning triangles and squares”, Bernd's grandpa said when he came to visit. “I'm sure you'll like this problem about squares and circles, too.”
Into a given square of 10cm you are to inscribe two non-overlapping circles of maximum radius. Construction or description of it – 3 blue points
Inscribe three such non-overlapping circles into a square of 10cm. Again the circles should be as big as possible. Construction or description of it – 4 red points

Lösung/solution:

 Die Bemerkung möglichst große Kreise zielt in die Richtung, dass die Kreise letztlich gleich groß sein sollen. Denn könnte man bei blau einen Kreis mit r = 5 cm verwenden und einen "Minikreis in eine Ecke setzen. Dann wäre aber eben nur ein Kreis (der beiden) möglichst groß.
Lösung blau und rot von Linus, danke --> pdf <--

Aufgabe 11

431. Wertungsaufgabe

„Nach so vielen Geometrieaufgaben ist es an Zeit. wieder mal nur mit Zahlen zu hantieren“, meinte Mike. „Aber klar doch, hier eine Aufgabe, die in einem alten Rechenbuch als Gedicht formuliert ist.“ sagte Lisa.
Ein Junger Hirte ließ mit Freuden
1008 Schafe weiden,
bis dass der letzte Strahl
entwich aus seinem grünen Tal
und grauer Abend war geworden.
Jetzt führt er sie in 12 Horden,
doch so, dass jegliche 2 mehr
enthielt, als das nächstvor'ge Heer.
Sag' wie viel in die erste kommen
und jede andere aufgenommen?
3 blaue Punkte
Nicht als Gedicht, aber trotzdem ein Rätsel:
Eine vierstellige Dezimalzahl der Form ABCD – alle Ziffern also verschieden – ist gesucht. Benutzt man diese Ziffern, so sind ABC, ACB, BCA, AC und B alle samt Quadratzahlen. Wie heißt die gesuchte Zahl ABCD? 3 rote Punkte. Für den Nachweis, dass es nur eine solche Zahl oder aber dass es weitere Lösungen gibt, erhält man noch einmal 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 05.06. 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 05.06.2014. Deadline for solution is the 5th. June 2014.

431
“Dopo tanti esercizi di geometria, ora vorrei lavorare di nuovo solo con i numeri”, disse Mike. “Certo, eccoti un esercizio che in forma di una poesia si trova in un vecchio libro di aritmetica”, disse Lisa.

Un giovane pastore fece pascolare con gioia 1008 pecore,
fino a che l´ultimo raggio scampo` dalla sua valle verde
e scese la grigia sera.
Ora le conduce in 12 orde,
ma cosi` che una aveva 2 in piu` dell´orda avanti a lei.
Di´ quante sono entrate nella prima
e quante ne hanno prese le restanti orde?
3 punti blu.
Non in forma di una poesia, ma lo stesso un indovinello:
Cercasi un numero decimale di quattro cifre con la forma ABCD – quindi tutte cifre diverse. Se si usano questi numeri, ABC, ACB, BCA, AC e B sono tutti quanti numeri quadrati. Qual´e` il numero cercato ABCD? 3 punti rossi. Per la prova, che esiste solo un tale numero, oppure che esistono piu` soluzioni vengono assegnati ulteriormente 3 punti rossi.

431
“After that many geometrical problems it's time to do something with numbers only”, Mike said.
“Why not, here is a problem from an old arithmetic book, put in rhyme”, Lisa said.

A shepherd young on a hillside steep
let graze one thousand-eight of sheep,
until the sun's last warming ray
to grey cool evening gave way.
Twelve flocks he drives to the valley floor,
in each of them he counts two more
than in the herd that went before.
How many did the first flock hold,
and the next, I need be told. - 3 blue points

Not a poem but still a puzzle:
We are looking for a four digit decimal number of the form ABCD – all digits different in other words. With these figures ABC, ACB, BCA, AC an B are all square numbers. What's the number? - 3 red points
Show that there is only one such number or – alternatively show that there are more – another 3 red points.

Lösung/solution/soluzione:
In der Herde sind 73 + 75 + 77 + ... Tiere. Das lässt sich mittels Tabellenkalkulation schön testen oder aber mittels Gleichung x + (x+2) + (x+4) + ... = 1008
rot:
B kann 0, 1, 4 oder 9 sein. (B-Quadratzahl)
AC kann 16, 25, 36, 49, 64, 81 sein.
Nun wird mit den den dreistelligen Quadratzahlen verglichen. Wegen der Verschiedenheit der Ziffern sind
169, 196, 256, 289, 324, 361, 529, 576, 625, 729, 784, 841, 961 nach dem Vertauschen der Ziffern müssen es Quadratzahlen bleiben.Das trifft nur für 169, 196 und 961 zu. Damit bleibt von den zweistelligen Zaheln AC nur die 16 und somit für ABC die 196.
196D. Da es über D keine weiteren Informationen gibt, kann D 0, 2, 3, 4, 5, 7 oder 8 sein.
(Ergänzt man die Aufgabe so, dass CD auch noch eine Quadratzahl sein soll, dann gibt es nur die eine Lösung 1964.)

Aufgabe 12

„Wo ist denn Bernd?“, fragte Mike. „Der ist in der Werkstatt von unserem Vater und sägt viele gleichgroße gleichseitige Dreiecke aus einer Holzplatte aus.“, sagte Maria. „Und was macht er dann damit?“, fragte Mike verwundert. „Das werden Spielsteine für ein Spiel für unseren Opa, der hat das früher mal gespielt, aber das ist ihm beim Umzug verloren gegangen. Auf jeweils eine dreieckige Seite der Spielsteine werde ich, wenn Bernd mir die Spielsteine bringt, Punkte aufbringen. (Die andere Dreiecksseite bleibt leer). In die Ecken eines solches Dreiecks kommen dann 0, 1, 2 oder 3 Punkte.“
„Es sind also 0 bis maximal 9 Punkte auf so einer Fläche.“ „Genau, aber jedes Dreieck ist anders bemalt. Es gibt also zum Beispiel nur eines mit 1 Punkt, aber zwei mit zwei Punkten. Die Dreiecke gelten als verschieden, wenn sie nicht nach einer Drehung gleich aussehen.“
Wie viele solche Dreiecke müsste Bernd (höchstens) aussägen, damit Maria alle möglichen Muster anfertigen kann und wie viele Punkte hat sie dann auf all die Dreiecke gemalt? 4 blaue Punkte
Wie viele verschiedene Spielsteine sind möglich, wenn in die Ecken 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 Punkte gemalt werden? 4 rote Punkte.

Termin der Abgabe 12.06.2014. Deadline for solution is the 12th. June 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 12.6. 2014.

“Ma dove sta` Bernd?”, chiese Mike. “Sta` nell´officina di nostro padre e sta tagliando da una tavoletta di legno tanti triangoli equilateri e di grandezza uguale.”, disse Maria. “E che cosa ci vuole fare?”, chiese Mike meravigliato. “Questi saranno delle pedine per un gioco per nostro nonno, un gioco che gli piaceva giocare; pero` con il trasloco gli e` andato perduto. Su una parte triangolare di ogni pezzo applicherò dei punti, appena Bernd me le ha portati.” (l´altro lato rimano vuoto). Negli angoli di tale triangolo verranno i punti 0,1,2 o 3.
“Sono allora al massimo 0 fino a 9 punti su ogni superficie.” “Esatto, pero` ogni triangolo e` colorato diversamente. Ci sta per esempio solo uno con 1 punto, pero` due con due punti. I triangoli sono da ritenere diversi, se non si assomigliano dopo una rotazione.”
Quanti triangoli tali dovrebbe segare (al massimo) Bernd, cosicché Maria può fare tutti i disegni possibili; quanti punti avrebbe colorato in questo caso su tutti i triangoli? 4 punti blu.
Quante pedine diverse sono possibili, se negli angoli si applicano 0,1,2,3,4 o 5 punti? 4 punti rossi.

432
“Where is Bernd?”, Mike asked. “He is in the workshop of our dad sawing lots of equal sized, equilateral triangles out of a wooden panel.”, Maria said.
“And what's he going to do with them?”, Mike asked puzzled.
“These are going to be pieces for a game for our grandfather which he used to play and which unfortunately got lost during moving house. I will mark dots on one of the sides of the triangles once Bernd is finished. (The other side remains blank.) There will be 0, 1, 2 or 3 dots in the corners of these triangles.”
“That means there will be 0 to maximal 9 dots on such a triangle.”
“Exactly, but each triangle will be different. So there will be only one triangle with one dot but two with two dots. Triangles count as different if they don't look the same after rotation.” How many of these triangles would Bernd have to saw out at most in order to allow Maria to mark all possible patterns and how many dots will she have painted in the end? - 4 blue points
How many different pieces are possible if their corners may show 0, 1, 2, 3, 4, or 5 dots? - 4 red points.

Lösung/solution/soluzione:

Das Spiel, das hier beschrieben wurde, heißt Trioker. Im Originalspiel - es ist in Frankreich sehr verbreitet- werden die Steine der Aufgabe blau benutzt. Es gibt 24 Steine, die verschieden sind. Auf denen befinden sich insgesamt 108 Punkte, die Maria zu malen hat. Werden die Driecke als Dreiecke mit den Eckpunkten ABC aufgefasst, so wird die Bezeichnung 112 bedeuten Bei A einen Punkt, bei B 1 Punkt und bei C 2 Punkte.

Gruppe 1: Alle  Ecken gleich: 000, 111, 222, 333.
Gruppe 2: Zwei Ecken gleich: 001, 002, 003, 112, 113, 110, 223, 220, 221, 330, 331, 332
Gruppe 3: Alle Ecken verscheiden: 012, 021, 123, 132, 230, 203, 301, 310.

Verwendet man 0 bis 4 Punkte, so sind 45 Spielsteine möglich, bei 0 bis 5 Punkten sind es 76 Spielsteine.
Hier noch die Formeln von XXX, danke.
Allgemein, bei 0 bis n Punkten, können wir die gesuchte Anzahl der Steine als Term berechnen:
Steine mit 3 gleichen Zahlen: (n + 1)
Steine mit zwei verschiedenen Zahlen: (n + 1) * n
Steine mit 3 verschiedenen Zahlen: (n + 1) * n *(n - 1) / 3   ,
zusammen Anahl( n ) =   (n + 1)/3 * [3 +3n + n² - n] = (1/3)*(n + 1)*(n² +2n+3), Formel gültig ab n = 2, da es sonst keine drei verschiedenen Zahlen gibt
n = 2, Anz(2) = 3*11/3 = 11, nämlich 000, 111, 222; 001, 002, 110, 112, 220, 221; 012, 021.
n = 3, Anz(3) = 4*18/3 = 24, nämlich xxx (4), xxy (12), xyz ( 8 ).
n=4, Anz = 5*27*3 = 45
n = 5, Anz = 6*38/3 = 76