Serie 36

Aufgabe 4

424. Wertungsaufgabe

„Wiederholst du gerade die Potenzgesetze?,“ fragte Mike. "Nein, nicht wirklich, aber dass x^0 für jedes x (ungleich 0) immer 1 ist, muss ich schon wissen“, antwortete Bernd. „Schau, unsere ehemalige Mathelehrerin hat uns dieses Rätsel mitgeteilt. x³ – x² – x¹ – x⁰ soll die aktuelle Jahreszahl 2014 ergeben und ich bin dabei, das x zu finden. Ich hoffe mal, es geht mit probieren.“ Für welches x gilt x³ – x² – x¹ – x⁰ = 2014 – 2 blaue Punkte
Ohne Taschenrechner ist die (Quadrat-)Wurzel aus 944784 zu ziehen. Für die Beschreibung eines Weges, diese spezielle Aufgabe wirklich im Kopf zu lösen, gibt es 3 rote Punkte.

Termin der Abgabe 27.03.2014. Deadline for solution is the 27th. March 2014. Ultimo termine di scadenza per l´invio è il 27.03.2014
“Are you revising the rules of exponentiation?” Mike asked.
“No, not really, but the fact that x⁰ = 1 for every x (not 0) is essential”, Bernd answered. “Look, our maths teacher set us this problem: x³ – x² – x¹ – x⁰ is meant to equal the number of the current year 2014 and I'm about to find x. I hope I can work it out by trial and error.”
For which x is x³ – x² – x¹ – x⁰ = 2014? - 2 blue points
Extract the square root of 944784 without using a calculator. Describe how to solve this task using mental calculation only. - 3 red points.

"Stai ripetendo le potenze?”, chiese Mike. “No, non proprio, che però x⁰ per ogni x (disuguale 0) sia sempre 1, lo dovrei sapere”, rispose Bernd. “Guarda, la nostra ex insegnante di matematica ci ha dato questo indovinello: x³-x²-x¹-x⁰ deve configurare l´attuale data 2014 e sono in procinto a trovare lo x. Spero che ci riuscirò provando.”
Per quale x vale x³-x²-x¹-x⁰=2014 – 2 punti blu.
Estraete senza calcolatrice la radice quadrata di 944784. Per la descrizione come risolvere questo esercizio particolare in testa, si danno 3 punti rossi.

Lösung/solution:

Für das Auffinden der Lösung, die auf eine natürliche Zahl führen soll, hilft das systematische Probieren:

x    x³-x²-x¹-x⁰
1    -2
2    1
3    14
4    43
5    94
6    173
7    286
8    439
9    638
10    889
11    1198
12    1571
13    2014
14    2533
15    3134
16    3823
17    4606
18    5489
19    6478
20    7579

Außerdem gibt es noch zwei komplexe Lösungen.

Für die rote Aufgabe gibt es mehrere Möglichkeiten. Z.B. die paarweise Zerlegung und damit verbunden das Wurzelziehen.: 94|47|84
Eine weitere Möglichkeiten ist die Nutzung der binomischen Formel: (1000 - x)² = 1 000 000 - 2000x + x², Die Million (1000²) wird verwendet weil die "kurz" vor der Million steht. Mit zwei drei Versuchen ist dann die Zahl leicht gefunden 972
Eine weitere Variante - wurde von den Einsendern aber nicht entdeckt- ist folgende:
944784= 16*59049 (da die Zahl auf 4 endet, muss die gesuchte Zahl gerade sein, als Faktor also die 4 oder eine fortlaufendendes Quadrat von 4 enthalten, die 59049 erhält man durch fortgesetztes Halbieren)
59049= 9*6561= 9*9*729=9*9*9*81=9*9*9*9*9 bietet sich durch die mehrfache Prüfung der Quersumme an.
--> Die Wurzel aus 944784=16 *9*9*9*9*9 ist dann 4 *3*3*3*3*3 = 12*9*9= 108*9=972